Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Complete

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Complete, che ti permetteranno di prepararti al quiz dedicato [(Nota per te: qui puoi inserire il link al quiz se l’articolo è visto prima, o semplicemente “presenti nel quiz correlato”)].

Ripasso: Come Risolvere le Equazioni di Secondo Grado Complete

Un’equazione di secondo grado è “completa” quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero. La sua forma canonica è:

$ax^2 + bx + c = 0$ (con $a, b, c \neq 0$)

A differenza delle equazioni incomplete, che si risolvono con scorciatoie (raccoglimento o isolamento), le equazioni complete richiedono una formula risolutiva universale.

1. Il Discriminante (Delta: $\Delta$)

Il cuore della soluzione è il Discriminante, indicato con la lettera greca Delta ($\Delta$). Il suo valore ci dice quante e quali soluzioni (reali) ha l’equazione.

La formula per calcolarlo è:

$$\Delta = b^2 – 4ac$$

Esistono tre casi possibili:

• $\Delta > 0$ (Delta Positivo): L’equazione ha due soluzioni reali e distinte.
• $\Delta = 0$ (Delta Nullo): L’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti (spesso chiamate “una soluzione doppia”).
• $\Delta < 0$ (Delta Negativo): L’equazione non ha soluzioni nel campo reale (Impossibile in $\mathbb{R}$).

2. La Formula Risolutiva

Se $\Delta \ge 0$, le soluzioni $x_1$ e $x_2$ si trovano usando la formula:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

3. La Formula Ridotta (Opzionale ma utile)

Se il coefficiente $b$ è un numero pari, possiamo usare una formula “ridotta” per semplificare i calcoli.

Si pone $k = b/2$ e si calcola il $\Delta/4$:

$$\frac{\Delta}{4} = k^2 – ac$$

Le soluzioni si trovano con:

$$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{\Delta/4}}{a}$$

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Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Complete

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente, dalla più semplice alla più complessa.

Livello Semplice (Casi Standard, $\Delta$ perfetto)

Esercizio 1: Caso $\Delta > 0$ (Perfetto)

Domanda: Risolvi $x^2 – 5x + 6 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Identifica: $a=1, b=-5, c=6$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta = 1 > 0$, abbiamo due soluzioni reali e distinte.
• Applica Formula: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
• Soluzioni:
  • $x_1 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3$
  • $x_2 = (5 – 1) / 2 = 4 / 2 = 2$
• $S = \{2, 3\}$.

Esercizio 2: Caso $\Delta > 0$ (con $a \neq 1$)

Domanda: Risolvi $2x^2 + 5x – 3 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1/2; x = -3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Identifica: $a=2, b=5, c=-3$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = b^2 – 4ac = (5)^2 – 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta = 49 > 0$, abbiamo due soluzioni reali e distinte.
• Applica Formula: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
• Soluzioni:
  • $x_1 = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 1/2$
  • $x_2 = (-5 – 7) / 4 = -12 / 4 = -3$
• $S = \{-3, 1/2\}$.

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Livello Intermedio (Casi $\Delta=0$ e $\Delta$ non perfetto) -Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Complete

Esercizio 3: Caso $\Delta = 0$ (Soluzioni Coincidenti)

Domanda: Risolvi $4x^2 – 4x + 1 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1/2$ (Doppia)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Identifica: $a=4, b=-4, c=1$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(4)(1) = 16 – 16 = 0$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta = 0$, abbiamo due soluzioni reali coincidenti. (L’equazione è un quadrato di binomio: $(2x-1)^2$).
• Applica Formula: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2(4)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
• Soluzione: $x_1 = x_2 = 1/2$.
• (Nota: Usando la formula ridotta con $b=-4 \rightarrow k=-2$, $\Delta/4 = k^2 – ac = (-2)^2 – (4)(1) = 0$. $x = -k/a = -(-2)/4 = 2/4 = 1/2$.)

Esercizio 4: Caso $\Delta > 0$ (Non perfetto, con Radicali)

Domanda: Risolvi $x^2 + 6x + 2 = 0$.

Risposta Corretta: $x = -3 + \sqrt{7}; x = -3 – \sqrt{7}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Identifica: $a=1, b=6, c=2$.
• Metodo (Formula Ridotta): $b=6$ è pari, usiamo $k = b/2 = 3$.
• Calcola $\Delta/4$: $\Delta/4 = k^2 – ac = (3)^2 – (1)(2) = 9 – 2 = 7$.
• Analisi $\Delta$: $\Delta/4 = 7 > 0$. Avremo due soluzioni con radicali.
• Applica Formula Ridotta: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{\Delta/4}}{a} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{1}$.
• Soluzioni: $x_1 = -3 + \sqrt{7}$ e $x_2 = -3 – \sqrt{7}$.
• $S = \{-3 – \sqrt{7}, -3 + \sqrt{7}\}$.

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Livello Avanzato (Casi $\Delta < 0$ e Equazioni da Riordinare)

Esercizio 5: Caso $\Delta < 0$ (Impossibile)

Domanda: Risolvi $x^2 + 2x + 5 = 0$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Identifica: $a=1, b=2, c=5$.
• Metodo (Formula Ridotta): $b=2$ è pari, usiamo $k = b/2 = 1$.
• Calcola $\Delta/4$: $\Delta/4 = k^2 – ac = (1)^2 – (1)(5) = 1 – 5 = -4$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta/4 = -4 < 0$ (e quindi $\Delta < 0$), l’equazione non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali.
• Soluzioni: $\emptyset$ (Insieme vuoto).

Esercizio 6: Equazione da Riordinare ($\Delta < 0$)

Domanda: Risolvi $x(x + 3) = 2x – 5$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Sviluppa Calcoli: Dobbiamo prima portare l’equazione alla forma $ax^2+bx+c=0$.
• $x^2 + 3x = 2x – 5$.
• Porta in Forma Normale: $x^2 + 3x – 2x + 5 = 0$.
• $x^2 + x + 5 = 0$.
• Identifica: $a=1, b=1, c=5$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = b^2 – 4ac = (1)^2 – 4(1)(5) = 1 – 20 = -19$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta = -19 < 0$, l’equazione è impossibile.
• Soluzioni: $\emptyset$.

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Livello Molto Avanzato (Equazioni Nascoste – Prodotti e Frazioni) – Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Complete

Esercizio 7: Nascosta (Prodotti Notevoli)

Domanda: Risolvi $(x+1)^2 + (x-2)^2 = 9$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sviluppa Calcoli: Sviluppiamo i due quadrati di binomio.
• $(x^2 + 2x + 1) + (x^2 – 4x + 4) = 9$.
• Somma Termini Simili: $2x^2 – 2x + 5 = 9$.
• Porta in Forma Normale: $2x^2 – 2x + 5 – 9 = 0$.
• $2x^2 – 2x – 4 = 0$.
• Semplifica (MCD): Dividiamo tutto per 2 per facilitare i calcoli: $x^2 – x – 2 = 0$.
• Identifica: $a=1, b=-1, c=-2$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
• Applica Formula: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
• Soluzioni:
  • $x_1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2$
  • $x_2 = (1 – 3) / 2 = -2 / 2 = -1$
• $S = \{-1, 2\}$.

Esercizio 8: Nascosta (Frazionaria)

Domanda: Risolvi $\frac{x^2 – 1}{3} – \frac{x+1}{2} = -2$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• m.c.m.: Il minimo comune multiplo tra 3 e 2 è 6.
• Elimina Denominatore: $2(x^2 – 1) – 3(x+1) = 6(-2)$.
• Sviluppa Calcoli: $2x^2 – 2 – 3x – 3 = -12$.
• Somma Termini Simili: $2x^2 – 3x – 5 = -12$.
• Porta in Forma Normale: $2x^2 – 3x – 5 + 12 = 0$.
• $2x^2 – 3x + 7 = 0$.
• Identifica: $a=2, b=-3, c=7$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = (-3)^2 – 4(2)(7) = 9 – 56 = -47$.
• Analisi $\Delta$: Poiché $\Delta = -47 < 0$, l’equazione è impossibile.
• Soluzioni: $\emptyset$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Sostituzione e Parametriche)

Esercizio 9: Equazione Biquadratica (Sostituzione)

Domanda: Risolvi $x^4 – 3x^2 – 4 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Tipo: Equazione Biquadratica. Si risolve con una variabile ausiliaria.
• Sostituzione: Poniamo $y = x^2$. (Nota: $x^4 = (x^2)^2 = y^2$).
• Equazione in $y$: L’equazione diventa: $y^2 – 3y – 4 = 0$.
• Risolvi in $y$: Calcoliamo il $\Delta_y = (-3)^2 – 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.
• $y_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
  • $y_1 = (3 + 5) / 2 = 4$
  • $y_2 = (3 – 5) / 2 = -1$
• Contro-Sostituzione: Torniamo alla $x$.
  • Caso 1: $x^2 = y_1 \rightarrow x^2 = 4$. Risolvendo questa equazione pura otteniamo $x = \pm\sqrt{4} \rightarrow x = 2; x = -2$.
  • Caso 2: $x^2 = y_2 \rightarrow x^2 = -1$. Questa equazione pura è impossibile nel campo reale.
• Soluzioni Reali: Le uniche soluzioni reali sono quelle del Caso 1.
• $S = \{-2, 2\}$.

Esercizio 10: Equazione Parametrica ($\Delta=0$)

Domanda: Per quale valore del parametro $k$ l’equazione $x^2 – (k+1)x + k = 0$ ha due soluzioni reali e coincidenti?

Risposta Corretta: $k = 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Condizione: L’equazione ha soluzioni coincidenti (doppie) se e solo se il suo Discriminante è uguale a zero ($\Delta = 0$).
• Identifica (in $k$): $a=1, b=-(k+1), c=k$.
• Imposta $\Delta=0$: $\Delta = b^2 – 4ac = 0$.
• $[-(k+1)]^2 – 4(1)(k) = 0$.
• Risolvi Equazione in $k$:
  • $(k+1)^2 – 4k = 0$. (Nota: il $-$ scompare con il quadrato).
  • $(k^2 + 2k + 1) – 4k = 0$.
  • $k^2 – 2k + 1 = 0$.
• Analisi (in $k$): Questa è un’equazione di secondo grado in $k$. Riconosciamo un quadrato di binomio.
• $(k-1)^2 = 0$.
• Soluzione: L’equazione è vera solo se $k-1 = 0$, ovvero $k=1$.
• Verifica: Se $k=1$, l’equazione originale diventa $x^2 – 2x + 1 = 0$, che è $(x-1)^2 = 0$, e ha la soluzione doppia $x=1$. La condizione è verificata.
• Risposta: $k=1$.

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