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Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni polinomiali che si presentano nella forma generica:

 a cui possiamo aggiungere anche >= 0     e  <=0

 dove  abbiamo un polinomio di secondo grado in x sulla sinistra e lo zero sulla destra.

In mezzo ai due è presente un simbolo di disequazione, maggiore (>) o minore (<).

Ma potrebbe comparire anche maggiore o uguale (>=) oppure minore o uguale (<=)

Esempi concreti di disequazioni di secondo grado sono:

INDICE

PROCEDURA PER RISOLVERE LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Per risolvere le disequazioni di secondo grado utilizziamo due strumenti:

PRIMO PASSO – RISOLVERE LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Il primo passo da compire per risolvere le disequazioni di secondo grado è quello di trovare le (eventuali) soluzioni dell’equazione di secondo grado associata:

Ricordiamo che le soluzione di questa equazione dipendono dal discriminante o delta () che è una quantità che dipende da tutti i coefficienti dell’equazione:

Riportiamo sotto le regole generali:

Chiaramente laddove è possibile possiamo avvalerci anche delle classiche scomposizioni dei polinomi per trovare le soluzioni

SECONDO PASSO – RAPPRESENTARE LA PARABOLA ASSOCIATA

Il nostro secondo passo da compiere è quello di rappresentare la parabola associata.

Di questa parabola associata ci interessano due cose.

La prima è la concavità che dipende dal segno del parametro a:

La seconda cosa importante sono le intersezioni con gli assi.

Queste intersezioni sono le soluzioni all’equazione associata che abbiamo visto prima.

Queste soluzioni dipendono dal segno del delta:

Sotto riportiamo le schema generale che tiene conto di queste due informazioni:

TERZO PASSO – SOLUZIONE ALLA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Il terzo passo è ovviamente quello decisivo e si tratta di trovare la soluzione alla disequazionedi secondo grado.

In particolare una volta individuata la parabola che ci interessa abbiamo due opzioni principali.

Se nella disequazione c’è il simbolo di maggiore di zero (>0)

 prendiamo la parte si parabola che si trova sopra l’asse delle x.

Ovviamente se compare anche l’uguale (>=0) prendiamo anche le intersezioni 

Diversamente se vediamo il simbolo di minore di zero (<0

Consideriamo la parte di parabola che si trova sotto l’asse delle x (con l’eventuale intersezione) 

La soluzione della disequazione è rappresentata dalla proiezione o ombra di quella parte di parabola sull’asse delle x.

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA POSITIVO

Fino a qui abbiamo dato un sacco di definizione, ma per entrare nel vivo del problema adesso ci tocca fare tanti esercizi per affrontare il problema.

ESERCIZIO 1 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO- DELTA POSITIVO

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

STEP 1 – EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Per prima cosa andiamo a risolvere l’equazione associata:

In questo caso ricorriamo alle scomposizioni dei polinomi, in particolare raccogliamo a fattor comune la x:

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:

Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.

Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado possiamo scriverla anche come segue:

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Dunque è un numero positivo!

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Le soluzioni che abbiamo trovato sono i punti di intersezione della parabola con l’asse delle x.

Inoltre sappiamo che nella nostra parabola di riferimento:

La concavità è rivolta verso l’alto (convessa) perché il coefficiente a vale 1 e dunque è positivo.

Andiamo dunque a rappresentare la parabola con l’aiuto della calcolatrice di geogebra:

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Adesso abbiamo tutti gli elementi che ci servono per chiudere l’esercizio.

La nostra disequazione di partenza:

 ci chiede di individuare i valori della x che fanno in modo che la parabola di equazione:

Sia maggiore o detto in termini geometrici si trovi al di sopra del livello zero, ovvero l’asse delle x, che è la retta di equazione:

Per questo motivo dobbiamo prendere i pezzi di parabola che si trovano al sopra dell’asse x, con la relativa proiezione sull’asse delle x.

Questa proiezione è la soluzione della disequazione e nel nostro caso sono i valori esternialle due soluzioni dell’equazione, ovvero:

ESERCIZIO 1 – PROCEDURA ALTERNATIVA ALGEBRICA

Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.

Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.

Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.

Partiamo dalla disequazione iniziale:

Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:

Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:

Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.

In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.

Mentre altrove mettiamo i segni negativi ()

L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.

Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori esterni:

ESERCIZIO 1 – VARIANTE UNO

La variante più semplice per questa disequazione è la presenza del maggiore uguale (>=0)

In questo caso i primi due step sono uguali a prima, mentre nel trovare la soluzione finaleandiamo semplicemente ad includere le intersezioni 

ESERCIZIO 1 – VARIANTE UNO – METODO ALGEBRICO

Utilizziamo la procedura algebrica per risolvere la disequazione

Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:

Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado.

Con la sola differenza rispetto a prima che li studiamo maggiori o uguali a zero:

Nella  tabella dei segni segnaliamo l’espetto di uguale con dei puntini rossi:

Nella soluzione finale prendiamo dunque le zone esterne inclusi dei valori con il puntino rosso:

ESERCIZIO 1 – VARIANTE DUE

Una seconda variante che possiamo inventarci è mettere minore di zero (<0)

Anche in questo caso andiamo direttamente nella parte della soluzione finale e prendiamo il pezzo di parabola sotto l’asse delle x.

La soluzione ci risulta dunque la zona compresa tra le intersezioni

ESERCIZIO 1 – VARIANTE DUE – METODO ALGEBRICO

Con il mero algebrico procediamo sempre nel modo già visto, ovvero scomponiamo e studiamo i fattori

Dobbiamo stare attenti che il  segno dei due fattori di primo grado va studiato sempre positivo.

Questo indipendentemente dal fatto che nel testo il segno della disequazione è minore di zero.

Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto:

In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.

Mentre altrove mettiamo i segni negativi ()

L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.

Quello che ci interessa è prendere la zona negativa che corrisponde ai valori interni:

ESERCIZIO 1 – VARIANTE TRE

Una terza ovvia variante che possiamo inventarci è mettere minore o uguale di zero (<=0)

Anche in questo caso andiamo direttamente nella parte della soluzione finale e prendiamo il pezzo di parabola sotto l’asse delle x, ma in più andiamo a prendere anche i punti di intersezione

La soluzione ci risulta dunque la zona compresa o uguale tra le intersezioni

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ESERCIZIO 1 – VARIANTE QUATTRO

Una ulteriore variante che possiamo ottenere a partire dalla disequazione iniziale:

È quella di ottenere una disequazione equivalente cambiando i segni e il verso della disequazione:

Da notare che questa disequazione ha la stessa soluzione della disequazione di partenza:

Poiché sono disequazioni equivalenti.

Andiamo comunque a vedere step by step per vedere che cosa cambia rispetto a prima:

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Il primo passo è identico a prima, e si tratta di risolvere l’equazione associata:

Cambiamo i segni e procediamo come prima:

In questo caso ricorriamo alle scomposizioni dei polinomi, in particolare raccogliamo a fattor comune la x:

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente, però la parabola in questione:

 presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo e vale –1

Possiamo anche dire che è simmetrica alla parabola:

Rispetto all’asse x

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sotto dell’asse x ovvero della retta:

Le proiezioni finiscono nella zona esterna alle intersezioni

Ovviamente se in questa disequazione avessimo avuto maggiore di zero:

 avremmo preso la parte di parabola superiore (sopra l’asse x) e la conseguente soluzione sarebbe stata la zona compresa:

ESERCIZIO 2 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO

Adesso che abbiamo un bel po’ di carne al fuoco proseguiamo con il secondo esempio vero e proprio:

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:

Possiamo ancora ricorrere  alle scomposizioni dei polinomi, in particolare usiamo la differenza di quadrati:

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:

Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.

Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado possiamo scriverla anche come segue:

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Dunque è un numero positivo!

Se avessimo applicato la formula risolutiva:

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente

La  parabola associata a questa disequazione è:

 presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo e vale –1

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sopra dell’asse x ovvero della retta:

Le proiezioni finiscono nella zona interna alle intersezioni

ESERCIZIO 2 – VARIANTE CON MINORE

Ovviamente se in questa disequazione avessimo avuto minore di zero:

 avremmo preso la parte di parabola inferiore (sotto l’asse x) e la conseguente soluzione sarebbe stata la zona esterna:

Come mostrato nella figura sotto:

ESERCIZIO 2 – METODO ALGEBRICO

Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.

Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.

Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.

Partiamo dalla disequazione iniziale:

Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:

Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:

Attenzione proprio a questo ultimo passaggio!

 perché nelle disequazione quando cambiamo il segno cambiamo anche il verso della disequazione!

Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.

In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.

Mentre altrove mettiamo i segni negativi ()

Attenzione ai segni sulla seconda riga che presentano prima i segni positivi e successivamente quelli negativi!

L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.

Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori interni:

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ESERCIZIO 3 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:

Possiamo ancora ricorrere  alle scomposizioni dei polinomi, in particolare con il trinomio speciale con somma –1 e prodotto –6.

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:

Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.

Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Dunque è un numero positivo!

Se avessimo applicato la formula risolutiva:

Troviamo le soluzioni:

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente

La  parabola associata a questa disequazione è:

presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo vale 1

Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sopra dell’asse x ovvero della retta:

Le proiezioni finiscono nella zona esterna alle intersezioni

ESERCIZIO 3 – METODO ALGEBRICO

Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.

Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.

Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.

Partiamo dalla disequazione iniziale:

Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:

Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:

Attenzione proprio a questo ultimo passaggio!

 perché nelle disequazione quando cambiamo il segno cambiamo anche il verso della disequazione!

Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.

In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.

Mentre altrove mettiamo i segni negativi ()

Attenzione ai segni sulla seconda riga che presentano prima i segni positivi e successivamente quelli negativi!

L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.

Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori esterni:

ESERCIZIO 4 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:

Per una questione di comodità di calcolo cambiamo i segni di ambo i membri in modo da rendere positivo il coefficiente della x al quadrato:

Diversamente dai casi precedenti risulta impossibile agire con le classiche scomposizioni.

Pertanto risolviamo questa equazione con il metodo del discriminante

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Dunque è un numero positivo, quindi l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte.

Applichiamo la formula risolutiva:

Troviamo le soluzioni:

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente

La  parabola associata a questa disequazione è:

(ricordiamo che stiamo facendo fede alla disequazione iniziale!) 

 presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo vale –1

Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sopra dell’asse x ovvero della retta:

Le proiezioni finiscono nella zona interna alle intersezioni

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA UGUALE A ZERO

Fino ad ora abbiamo visto solamente esempi di disequazioni di secondo grado con delta positivo.

Quindi ci comparivano equazioni di secondo grado con due soluzioni .

Di conseguenza abbiamo rappresentato parabole sempre con due intersezioni.

Vediamo ora una serie di esempi di disequazioni di secondo grado con un delta nullo.

ESEMPIO 5 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA NULLO

Per non farci scappare tutti i casi vediamo questo esempio:

Con alcune delle sue tante varianti:

Partiamo dal caso base (il primo)

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:

Applichiamo direttamente la formula risolutiva

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Il delta è pari a  zero, quindi l’equazione ammette una soluzione reale o possiamo anche dire due soluzioni reali e coincidenti.

Applichiamo la formula risolutiva:

C’è una sola soluzioni (due soluzioni che coincidono)

Ricordiamo per chi di noi che si è dimenticato che per risolvere l’equazione:

Possiamo usare le scomposizioni del polinomi, un particolare un prodotto notevole molto importante che è il quadrato di binomio:

Se annulliamo la base del quadrato:

Otteniamo il valore cercato della x:

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

Il punto di intersezione con l’asse è (2;0)

La  parabola associata a questa disequazione è:

 presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo vale 1

Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sopra dell’asse x ovvero della retta:

Stiamo dunque prendendo tutti i punti dell’asse dei numeri reali ad eccezione di x=0

Per ogni x appartenente ai numeri reali con x diverso da zero

Potremmo anche scriverla così:

L’insieme dei reali eccetto lo zero

Oppure anche in questo modo:

L’insieme che va dal meno infinito a zero (escluso) e riparte da zero (escluso) per arrivare al più infinito

Mostriamo lo nel grafico

ESERCIZIO 5 – METODO ALGEBRICO

Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.

Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.

Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.

Partiamo dalla disequazione iniziale:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio:

A questo punto possiamo porci questa domanda:

“quando un quadrato è positivo?”

La risposta è:

” quadrato è sempre positivo tranne quando vale zero

Quindi ci basta porre la base del quadrato diversa da zero!

Risolvendo questa equazione di primo grado ricaviamo la nostra soluzione:

In alternativa avremmo potuto fare anche un ragionamento basato sullo studio dei segni.

Scrivere la disequazione:

 equivale a scrivere:

In pratica abbiamo due fattori uguali da studiare e per entrambi avremo:

Nella tabella dei segni mettiamo perciò due linee identiche.

In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.

Mentre altrove mettiamo i segni negativi ()

Nell’ultima riga del segno del prodotto vediamo segni tutti positivi (a parte nel punto 2 dove il prodotto vale zero) 

Prendiamo quindi tutti i valori reali eccetto il 2.

Possiamo anche dire che la disequazione di secondo grado è verificata per  tutti i numeri prima e dopo il 2.

ESERCIZIO 5 – VARIANTI PARTE 1

Analizziamo ora alcune varianti dell’esercizio appena proposto  cui possiamo trovarci di fronte.

ESERCIZIO 5 – VARIANTE 1

Partiamo dalla prima con il maggiore o uguale:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio:

In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata per ogni numero reale 

Infatti  un quadrato è sempre maggiore o uguale a zero.

Se proprio ci interessa specificare tra le infinite soluzione quella particolare soluzione che rende zero il quadrato , scriviamo:

In questo modo stiamo dicendo: “la disequazione è sempre verificata ed in particolare quando x è uguale a 2 il quadrato si annulla”.

ESERCIZIO 5 – VARIANTE 2

Proseguiamo  con la seconda variante con il minore:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio:

In questo caso la disequazione di secondo grado  non è mai verificata

Oppure possiamo dire che nessun numero reale soddisfa la condizione di rendere un quadrato negativo

Infatti  un quadrato non è mai negativo!

Possiamo anche indicare l’insieme delle soluzioni come l’insieme vuoto, ovvero privo di elementi

ESERCIZIO 5 – VARIANTE 3

Chiudiamo   con la terza variante con il minore o uguale:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio:

In questo caso la disequazione di secondo grado  è verificata solamente per il valore di x che annulla il quadrato

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GRAFICO DELLE VARIANTI PARTE 1

Qui sotto mostriamo le soluzioni grafiche delle varianti appena viste:

ESERCIZIO 5 – VARIANTI PARTE 2 – DELTA =0

Analizziamo ora alcune varianti dell’esercizio appena proposto  cui possiamo trovarci di fronte.

ESERCIZIO 5 -VARIANTE 4

Continuiamo a vedere varianti del caso base ed in particolare cambiamo tutti i segni del polinomio di secondo grado

Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno

Ci stiamo chiedendo quando l’opposto di un quadrato è positivo.

La risposta è ovviamente mai!!! 

Notiamo bene che risolvere questa disequazione equivale a scrivere questa disequazione in cui cambiamo i segni e il verso della disequazione:

Questa tipologia l’abbiamo già vista e ci chiedeva quando un quadrato risulta negativo.

Ovviamente mai!!!

ESERCIZIO 5 -VARIANTE 5

Proseguiamo  con la quinta variante con il maggiore o uguale:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno

In questo caso la disequazione di secondo grado 

è verificata solamente per il valore di x che annulla il quadrato

ESERCIZIO 5 -VARIANTE 6

Chiudiamo   con la sesta variante con il minore :

Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno

In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata tranne quando la x vale 2 

Infatti  l’opposto di un quadrato è sempre  minore di zero tranne quando la base vale zero.

Notiamo bene che la disequazione equivalente a questa è:

Già vista come prima variante e sempre verificata.

ESERCIZIO 5 -VARIANTE 7

Chiudiamo   con la settima variante con il minore o uguale:

Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno

In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata per ogni numero reale 

Infatti  l’opposto di un quadrato è sempre  minore o uguale a zero.

Se proprio ci interessa specificare tra le infinite soluzione quella particolare soluzione che rende zero il quadrato , scriviamo:

Notiamo bene che la disequazione equivalente a questa è:

Già vista come prima variante e sempre verificata.

GRAFICO DELLE VARIANTI PARTE 2

Qui sotto mostriamo le soluzioni grafiche delle varianti appena viste:

Si tratta di verificare quando la parabola:

Risulta sopra o sotto l’asse delle x, ovvero la retta:

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA NEGATIVO

Concludiamo questo lungo articolo con un paio di esercizi di disequazioni di secondo grado con un delta negativo

ESEMPIO 6 -DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA NEGATIVO

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:

Applichiamo direttamente la formula risolutiva

coefficienti associati all’equazione sono:

Il delta o discriminante è dunque:

Il delta è minore di zero, quindi l’equazione è impossibile nei numeri reali!

STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA

La  parabola associata a questa disequazione è:

 non ha punti di intersezione con l’asse delle x e presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo vale 1

Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico

STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE

La nostra disequazione:

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sopra dell’asse x ovvero della retta:

Questa parabola si trova sempre sopra l’asse delle x per tutti i numeri reali

Per ogni x appartenente ai numeri reali 

Potremmo anche scriverla così:

L’insieme che va dal meno infinito a più infinito

Mostriamo lo nel grafico

ESERCIZIO 6 – VARIANTE COL MINORE

Se ci avessero chiesto

Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:

 al di sotto dell’asse x ovvero della retta:

Questa parabola non si trova mai sotto l’asse delle x per tutti i numeri reali

Non esiste x appartenente ai numeri reali 

Potremmo anche scriverla così:

La soluzione è l’insieme vuoto 

Mostriamo lo nel grafico

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Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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