Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni polinomiali che si presentano nella forma generica:
a cui possiamo aggiungere anche >= 0 e <=0
dove abbiamo un polinomio di secondo grado in x sulla sinistra e lo zero sulla destra.
In mezzo ai due è presente un simbolo di disequazione, maggiore (>) o minore (<).
Ma potrebbe comparire anche maggiore o uguale (>=) oppure minore o uguale (<=)
Esempi concreti di disequazioni di secondo grado sono:
PROCEDURA PER RISOLVERE LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per risolvere le disequazioni di secondo grado utilizziamo due strumenti:
PRIMO PASSO – RISOLVERE LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Il primo passo da compire per risolvere le disequazioni di secondo grado è quello di trovare le (eventuali) soluzioni dell’equazione di secondo grado associata:
Ricordiamo che le soluzione di questa equazione dipendono dal discriminante o delta (∆) che è una quantità che dipende da tutti i coefficienti dell’equazione:
Riportiamo sotto le regole generali:
Chiaramente laddove è possibile possiamo avvalerci anche delle classiche scomposizioni dei polinomi per trovare le soluzioni
SECONDO PASSO – RAPPRESENTARE LA PARABOLA ASSOCIATA
Il nostro secondo passo da compiere è quello di rappresentare la parabola associata.
Di questa parabola associata ci interessano due cose.
La prima è la concavità che dipende dal segno del parametro a:
La seconda cosa importante sono le intersezioni con gli assi.
Queste intersezioni sono le soluzioni all’equazione associata che abbiamo visto prima.
Queste soluzioni dipendono dal segno del delta:
Sotto riportiamo le schema generale che tiene conto di queste due informazioni:
TERZO PASSO – SOLUZIONE ALLA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Il terzo passo è ovviamente quello decisivo e si tratta di trovare la soluzione alla disequazionedi secondo grado.
In particolare una volta individuata la parabola che ci interessa abbiamo due opzioni principali.
Se nella disequazione c’è il simbolo di maggiore di zero (>0)
prendiamo la parte si parabola che si trova sopra l’asse delle x.
Ovviamente se compare anche l’uguale (>=0) prendiamo anche le intersezioni
Diversamente se vediamo il simbolo di minore di zero (<0)
Consideriamo la parte di parabola che si trova sotto l’asse delle x (con l’eventuale intersezione)
La soluzione della disequazione è rappresentata dalla proiezione o ombra di quella parte di parabola sull’asse delle x.
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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA POSITIVO
Fino a qui abbiamo dato un sacco di definizione, ma per entrare nel vivo del problema adesso ci tocca fare tanti esercizi per affrontare il problema.
ESERCIZIO 1 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO- DELTA POSITIVO
Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:
STEP 1 – EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Per prima cosa andiamo a risolvere l’equazione associata:
In questo caso ricorriamo alle scomposizioni dei polinomi, in particolare raccogliamo a fattor comune la x:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:
Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.
Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado possiamo scriverla anche come segue:
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Dunque è un numero positivo!
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Le soluzioni che abbiamo trovato sono i punti di intersezione della parabola con l’asse delle x.
Inoltre sappiamo che nella nostra parabola di riferimento:
La concavità è rivolta verso l’alto (convessa) perché il coefficiente a vale 1 e dunque è positivo.
Andiamo dunque a rappresentare la parabola con l’aiuto della calcolatrice di geogebra:
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Adesso abbiamo tutti gli elementi che ci servono per chiudere l’esercizio.
La nostra disequazione di partenza:
ci chiede di individuare i valori della x che fanno in modo che la parabola di equazione:
Sia maggiore o detto in termini geometrici si trovi al di sopra del livello zero, ovvero l’asse delle x, che è la retta di equazione:
Per questo motivo dobbiamo prendere i pezzi di parabola che si trovano al sopra dell’asse x, con la relativa proiezione sull’asse delle x.
Questa proiezione è la soluzione della disequazione e nel nostro caso sono i valori esternialle due soluzioni dell’equazione, ovvero:
ESERCIZIO 1 – PROCEDURA ALTERNATIVA ALGEBRICA
Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.
Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.
Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.
Partiamo dalla disequazione iniziale:
Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:
Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:
Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.
In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.
Mentre altrove mettiamo i segni negativi (–)
L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.
Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori esterni:
ESERCIZIO 1 – VARIANTE UNO
La variante più semplice per questa disequazione è la presenza del maggiore uguale (>=0)
In questo caso i primi due step sono uguali a prima, mentre nel trovare la soluzione finaleandiamo semplicemente ad includere le intersezioni
ESERCIZIO 1 – VARIANTE UNO – METODO ALGEBRICO
Utilizziamo la procedura algebrica per risolvere la disequazione
Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:
Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado.
Con la sola differenza rispetto a prima che li studiamo maggiori o uguali a zero:
Nella tabella dei segni segnaliamo l’espetto di uguale con dei puntini rossi:
Nella soluzione finale prendiamo dunque le zone esterne inclusi dei valori con il puntino rosso:
ESERCIZIO 1 – VARIANTE DUE
Una seconda variante che possiamo inventarci è mettere minore di zero (<0)
Anche in questo caso andiamo direttamente nella parte della soluzione finale e prendiamo il pezzo di parabola sotto l’asse delle x.
La soluzione ci risulta dunque la zona compresa tra le intersezioni
ESERCIZIO 1 – VARIANTE DUE – METODO ALGEBRICO
Con il mero algebrico procediamo sempre nel modo già visto, ovvero scomponiamo e studiamo i fattori
Dobbiamo stare attenti che il segno dei due fattori di primo grado va studiato sempre positivo.
Questo indipendentemente dal fatto che nel testo il segno della disequazione è minore di zero.
Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto:
In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.
Mentre altrove mettiamo i segni negativi (–)
L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.
Quello che ci interessa è prendere la zona negativa che corrisponde ai valori interni:
ESERCIZIO 1 – VARIANTE TRE
Una terza ovvia variante che possiamo inventarci è mettere minore o uguale di zero (<=0)
Anche in questo caso andiamo direttamente nella parte della soluzione finale e prendiamo il pezzo di parabola sotto l’asse delle x, ma in più andiamo a prendere anche i punti di intersezione
La soluzione ci risulta dunque la zona compresa o uguale tra le intersezioni
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ESERCIZIO 1 – VARIANTE QUATTRO
Una ulteriore variante che possiamo ottenere a partire dalla disequazione iniziale:
È quella di ottenere una disequazione equivalente cambiando i segni e il verso della disequazione:
Da notare che questa disequazione ha la stessa soluzione della disequazione di partenza:
Poiché sono disequazioni equivalenti.
Andiamo comunque a vedere step by step per vedere che cosa cambia rispetto a prima:
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Il primo passo è identico a prima, e si tratta di risolvere l’equazione associata:
Cambiamo i segni e procediamo come prima:
In questo caso ricorriamo alle scomposizioni dei polinomi, in particolare raccogliamo a fattor comune la x:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente, però la parabola in questione:
presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo e vale –1
Possiamo anche dire che è simmetrica alla parabola:
Rispetto all’asse x
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sotto dell’asse x ovvero della retta:
Le proiezioni finiscono nella zona esterna alle intersezioni
Ovviamente se in questa disequazione avessimo avuto maggiore di zero:
avremmo preso la parte di parabola superiore (sopra l’asse x) e la conseguente soluzione sarebbe stata la zona compresa:
ESERCIZIO 2 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO
Adesso che abbiamo un bel po’ di carne al fuoco proseguiamo con il secondo esempio vero e proprio:
Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:
Possiamo ancora ricorrere alle scomposizioni dei polinomi, in particolare usiamo la differenza di quadrati:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:
Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.
Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado possiamo scriverla anche come segue:
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Dunque è un numero positivo!
Se avessimo applicato la formula risolutiva:
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente
La parabola associata a questa disequazione è:
presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo e vale –1
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sopra dell’asse x ovvero della retta:
Le proiezioni finiscono nella zona interna alle intersezioni
ESERCIZIO 2 – VARIANTE CON MINORE
Ovviamente se in questa disequazione avessimo avuto minore di zero:
avremmo preso la parte di parabola inferiore (sotto l’asse x) e la conseguente soluzione sarebbe stata la zona esterna:
Come mostrato nella figura sotto:
ESERCIZIO 2 – METODO ALGEBRICO
Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.
Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.
Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.
Partiamo dalla disequazione iniziale:
Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:
Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:
Attenzione proprio a questo ultimo passaggio!
perché nelle disequazione quando cambiamo il segno cambiamo anche il verso della disequazione!
Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.
In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.
Mentre altrove mettiamo i segni negativi (–)
Attenzione ai segni sulla seconda riga che presentano prima i segni positivi e successivamente quelli negativi!
L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.
Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori interni:
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ESERCIZIO 3 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO
Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:
Possiamo ancora ricorrere alle scomposizioni dei polinomi, in particolare con il trinomio speciale con somma –1 e prodotto –6.
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo equazioni di primo grado:
Anche se non lo abbiamo calcolato sappiamo che il delta o determinante è maggiore di zero.
Infatti se riconsideriamo l’equazione di secondo grado
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Dunque è un numero positivo!
Se avessimo applicato la formula risolutiva:
Troviamo le soluzioni:
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente
La parabola associata a questa disequazione è:
presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo e vale 1
Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sopra dell’asse x ovvero della retta:
Le proiezioni finiscono nella zona esterna alle intersezioni
ESERCIZIO 3 – METODO ALGEBRICO
Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.
Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.
Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.
Partiamo dalla disequazione iniziale:
Fattorizziamo con il raccoglimento a fattor comune:
Ora studiamo il segno dei due fattori di primo grado:
Attenzione proprio a questo ultimo passaggio!
perché nelle disequazione quando cambiamo il segno cambiamo anche il verso della disequazione!
Adesso costruiamo la tabella dei segni da cui rileviamo il segno del prodotto.
In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.
Mentre altrove mettiamo i segni negativi (–)
Attenzione ai segni sulla seconda riga che presentano prima i segni positivi e successivamente quelli negativi!
L’ultima riga rappresenta il segno del prodotto dove andiamo a moltiplicare il segno dei due fattori.
Quello che ci interessa è prendere la zona positiva che corrisponde ai valori esterni:
ESERCIZIO 4 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA POSITIVO
Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:
Per una questione di comodità di calcolo cambiamo i segni di ambo i membri in modo da rendere positivo il coefficiente della x al quadrato:
Diversamente dai casi precedenti risulta impossibile agire con le classiche scomposizioni.
Pertanto risolviamo questa equazione con il metodo del discriminante
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Dunque è un numero positivo, quindi l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte.
Applichiamo la formula risolutiva:
Troviamo le soluzioni:
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Le intersezioni rimangono sempre quelle calcolate al punto precedente
La parabola associata a questa disequazione è:
(ricordiamo che stiamo facendo fede alla disequazione iniziale!)
presenta una concavità rivolta verso il basso, in quanto il coefficiente a è negativo e vale –1
Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sopra dell’asse x ovvero della retta:
Le proiezioni finiscono nella zona interna alle intersezioni
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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA UGUALE A ZERO
Fino ad ora abbiamo visto solamente esempi di disequazioni di secondo grado con delta positivo.
Quindi ci comparivano equazioni di secondo grado con due soluzioni .
Di conseguenza abbiamo rappresentato parabole sempre con due intersezioni.
Vediamo ora una serie di esempi di disequazioni di secondo grado con un delta nullo.
ESEMPIO 5 – DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA NULLO
Per non farci scappare tutti i casi vediamo questo esempio:
Con alcune delle sue tante varianti:
Partiamo dal caso base (il primo)
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:
Applichiamo direttamente la formula risolutiva
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Il delta è pari a zero, quindi l’equazione ammette una soluzione reale o possiamo anche dire due soluzioni reali e coincidenti.
Applichiamo la formula risolutiva:
C’è una sola soluzioni (due soluzioni che coincidono)
Ricordiamo per chi di noi che si è dimenticato che per risolvere l’equazione:
Possiamo usare le scomposizioni del polinomi, un particolare un prodotto notevole molto importante che è il quadrato di binomio:
Se annulliamo la base del quadrato:
Otteniamo il valore cercato della x:
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
Il punto di intersezione con l’asse è (2;0)
La parabola associata a questa disequazione è:
presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo e vale 1
Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sopra dell’asse x ovvero della retta:
Stiamo dunque prendendo tutti i punti dell’asse dei numeri reali ad eccezione di x=0
Per ogni x appartenente ai numeri reali con x diverso da zero
Potremmo anche scriverla così:
L’insieme dei reali eccetto lo zero
Oppure anche in questo modo:
L’insieme che va dal meno infinito a zero (escluso) e riparte da zero (escluso) per arrivare al più infinito
Mostriamo lo nel grafico
ESERCIZIO 5 – METODO ALGEBRICO
Notiamo bene che per risolvere questa disequazione avremmo potuto agire anche con il metodo algebrico.
Questo metodo consiste nel fattorizzare i termini della disequazione e studiarne il segno attraverso la risoluzione di disequazioni di primo grado.
Infine mettere il tutto nel grafico dei segni e selezionare il segno che ci interessa.
Partiamo dalla disequazione iniziale:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio:
A questo punto possiamo porci questa domanda:
“quando un quadrato è positivo?”
La risposta è:
” quadrato è sempre positivo tranne quando vale zero“
Quindi ci basta porre la base del quadrato diversa da zero!
Risolvendo questa equazione di primo grado ricaviamo la nostra soluzione:
In alternativa avremmo potuto fare anche un ragionamento basato sullo studio dei segni.
Scrivere la disequazione:
equivale a scrivere:
In pratica abbiamo due fattori uguali da studiare e per entrambi avremo:
Nella tabella dei segni mettiamo perciò due linee identiche.
In questa tabella mettiamo i segni positivi (+) dove i fattori di primo grado x e (x-1) sono risultati positivi.
Mentre altrove mettiamo i segni negativi (–)
Nell’ultima riga del segno del prodotto vediamo segni tutti positivi (a parte nel punto 2 dove il prodotto vale zero)
Prendiamo quindi tutti i valori reali eccetto il 2.
Possiamo anche dire che la disequazione di secondo grado è verificata per tutti i numeri prima e dopo il 2.
ESERCIZIO 5 – VARIANTI PARTE 1
Analizziamo ora alcune varianti dell’esercizio appena proposto cui possiamo trovarci di fronte.
ESERCIZIO 5 – VARIANTE 1
Partiamo dalla prima con il maggiore o uguale:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio:
In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata per ogni numero reale
Infatti un quadrato è sempre maggiore o uguale a zero.
Se proprio ci interessa specificare tra le infinite soluzione quella particolare soluzione che rende zero il quadrato , scriviamo:
In questo modo stiamo dicendo: “la disequazione è sempre verificata ed in particolare quando x è uguale a 2 il quadrato si annulla”.
ESERCIZIO 5 – VARIANTE 2
Proseguiamo con la seconda variante con il minore:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio:
In questo caso la disequazione di secondo grado non è mai verificata
Oppure possiamo dire che nessun numero reale soddisfa la condizione di rendere un quadrato negativo
Infatti un quadrato non è mai negativo!
Possiamo anche indicare l’insieme delle soluzioni come l’insieme vuoto, ovvero privo di elementi
ESERCIZIO 5 – VARIANTE 3
Chiudiamo con la terza variante con il minore o uguale:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio:
In questo caso la disequazione di secondo grado è verificata solamente per il valore di x che annulla il quadrato
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GRAFICO DELLE VARIANTI PARTE 1
Qui sotto mostriamo le soluzioni grafiche delle varianti appena viste:
ESERCIZIO 5 – VARIANTI PARTE 2 – DELTA =0
Analizziamo ora alcune varianti dell’esercizio appena proposto cui possiamo trovarci di fronte.
ESERCIZIO 5 -VARIANTE 4
Continuiamo a vedere varianti del caso base ed in particolare cambiamo tutti i segni del polinomio di secondo grado
Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno
Ci stiamo chiedendo quando l’opposto di un quadrato è positivo.
La risposta è ovviamente mai!!!
Notiamo bene che risolvere questa disequazione equivale a scrivere questa disequazione in cui cambiamo i segni e il verso della disequazione:
Questa tipologia l’abbiamo già vista e ci chiedeva quando un quadrato risulta negativo.
Ovviamente mai!!!
ESERCIZIO 5 -VARIANTE 5
Proseguiamo con la quinta variante con il maggiore o uguale:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno
In questo caso la disequazione di secondo grado
è verificata solamente per il valore di x che annulla il quadrato
ESERCIZIO 5 -VARIANTE 6
Chiudiamo con la sesta variante con il minore :
Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno
In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata tranne quando la x vale 2
Infatti l’opposto di un quadrato è sempre minore di zero tranne quando la base vale zero.
Notiamo bene che la disequazione equivalente a questa è:
Già vista come prima variante e sempre verificata.
ESERCIZIO 5 -VARIANTE 7
Chiudiamo con la settima variante con il minore o uguale:
Fattorizziamo con il quadrato di binomio raccogliendo il segno meno
In questo caso la disequazione di secondo grado è sempre verificata per ogni numero reale
Infatti l’opposto di un quadrato è sempre minore o uguale a zero.
Se proprio ci interessa specificare tra le infinite soluzione quella particolare soluzione che rende zero il quadrato , scriviamo:
Notiamo bene che la disequazione equivalente a questa è:
Già vista come prima variante e sempre verificata.
GRAFICO DELLE VARIANTI PARTE 2
Qui sotto mostriamo le soluzioni grafiche delle varianti appena viste:
Si tratta di verificare quando la parabola:
Risulta sopra o sotto l’asse delle x, ovvero la retta:
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DELTA NEGATIVO
Concludiamo questo lungo articolo con un paio di esercizi di disequazioni di secondo grado con un delta negativo
ESEMPIO 6 -DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO – DELTA NEGATIVO
Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:
STEP 1 – EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Procediamo con il primo passo e risolviamo l’equazione di secondo grado:
Applichiamo direttamente la formula risolutiva
I coefficienti associati all’equazione sono:
Il delta o discriminante è dunque:
Il delta è minore di zero, quindi l’equazione è impossibile nei numeri reali!
STEP 2 – PARABOLA ASSOCIATA
La parabola associata a questa disequazione è:
non ha punti di intersezione con l’asse delle x e presenta una concavità rivolta verso l’alto, in quanto il coefficiente a è positivo e vale 1
Aiutiamoci con geogebra per fare il grafico
STEP 3 – RISOLVIAMO LA DISEQUAZIONE
La nostra disequazione:
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sopra dell’asse x ovvero della retta:
Questa parabola si trova sempre sopra l’asse delle x per tutti i numeri reali
Per ogni x appartenente ai numeri reali
Potremmo anche scriverla così:
L’insieme che va dal meno infinito a più infinito
Mostriamo lo nel grafico
ESERCIZIO 6 – VARIANTE COL MINORE
Se ci avessero chiesto
Risulta verificata per tutte le x che rendono la parabola:
al di sotto dell’asse x ovvero della retta:
Questa parabola non si trova mai sotto l’asse delle x per tutti i numeri reali
Non esiste x appartenente ai numeri reali
Potremmo anche scriverla così:
La soluzione è l’insieme vuoto
Mostriamo lo nel grafico
HAI QUALCHE DOMANDA???
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