PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

In questo articolo parliamo delle proprietà dei logaritmi.

Tali proprietà riguardano la relazione tra i logaritmi e le operazioni di somma, differenza, moltiplicazione e divisione.

Per certi versi ricordano molto le proprietà delle potenze.

Dopo tutto ricordiamo che i logaritmi sono gli esponenti da dare ad una certa base per ottenere l’argomento del logaritmo.

Possiamo dire che i logaritmi offrono una panoramica completa di tutti gli argomenti che li precedono.

Quindi li possiamo anche vedere come un enorme contenitore che contiene in maniera ordinata e dettagliata tutto quello che è stato scoperto prima della loro introduzione.

PROPRIETÀ’ DELLA SOMMA – MOLTIPLICAZIONE

La prima proprietà che andiamo a vedere e a dimostrare è quella che lega all’interno dei logaritmi la più semplice operazione matematica, ovvero quella della somma alla moltiplicazione.

Il logaritmo con una certa base di un prodotto è la somma dei logaritmi con la stessa base die fattori che formano il prodotto.

$$ \log_c (a \cdot b) = \log_c a +\log_c b $$

Proviamo a dimostrare questa affermazione.

Partiamo dal termine di sinistra:

$$ \log_c (a \cdot b)$$

Il logaritmo in base c di (a·b) è l’esponente da dare alla base c per ottenere il prodotto (a·b).

Pertanto deve per forza valere che:

$$ c^{\log_c (a \cdot b)} = a \cdot b $$

D’altro canto il primo fattore a che compare sul lato destro può essere riscritto come

$$ a = c^{\log_c a} $$

Notiamo che il logaritmo si porta via l’esponenziale dal momento che hanno la stessa  e quindi resta solo a.

Per lo stesso ragionamento anche il secondo fattore b può essere riletto come:

$$ b = c^{\log_c b} $$

Riscriviamo ora l’equazione:

$$ c^{\log_c (a \cdot b)} = a \cdot b $$

Sostituendo al posto della a  della b i valori che abbiamo ricavato:

$$ c^{\log_c (a \cdot b)} = c^{\log_c a} \cdot c^{\log_c b} $$

Sul lato destro dell’equazione abbiamo una moltiplicazione di potenze con la stessa base, per cui possiamo riportare la base e andare a sommare gli esponenti:

$$c^{\log_c b} = c^{\log_c a + \log_c b} $$

Si tratta a questo punto di un’uguaglianza tra due potenze che hanno certamente la stessa base.

Pertanto deve per forza valere che i suoi esponenti siano uguali, quindi abbiamo dimostrato la nostra prima proprietà:

ESEMPI DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMA E MOLTIPLICAZIONE

Vediamo alcune applicazioni pratiche per quanto riguarda questa proprietà dei logaritmi:

Prendiamo ad esempio:

$$ \log_2 6$$

Sappiamo  che il numero naturale 6 può essere fattorizzato nel 2 e nel 3, infatti:

$$ 6 = 2 \cdot 3 $$

Quindi possiamo riscrivere il logaritmo come segue:

$$ \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3 ) $$

Applicando dunque la proprietà appena vista diremo:

$$ \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3 ) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 $$

Prendiamo un altro esempio numerico.

$$ \log_3 30$$

Fattorizziamo il 30 come segue:

$$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$

Quindi riscriviamo il logaritmo:

$$ \log_3 30 = \log_3 ( 2 \cdot 3 \cdot 5) $$

Che per la proprietà diventa:

$$ \log_3 30 = \log_3 ( 2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 $$

Siccome il logaritmo in base 3 di 3 vale 1, possiamo anche scrivere:

$$ \log_3 30 = \log_3 ( 2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 2 + 1 + \log_3 5 $$

Mari sarebbe un po’ più estetico scrivere:

$$ \log_3 30 = 1 + \log_3 2 + \log_3 5 $$

Prendiamo un esempio con un il logaritmo di un monomio:

$$ \log(10ax) $$

Il fatto che non abbiamo messo la base del logaritmo significa che il logaritmo è in base 10 oppure e, scegliete voi.

In ogni caso questo non ci interezza molto la base di questo logaritmo.

Fattorizziamo il monomio all’interno:

$$ \log(10ax) = \log(2 \cdot 5 \cdot a \cdot x) $$

 e applichiamo la proprietà:

$$ \log(10ax) = \log(2 \cdot 5 \cdot a \cdot x) = \log 2 + \log 5 +\log a +\log x$$

Ora prendiamo come esempio il logaritmo di un polinomio:

$$ \log (a^3-ab) $$

Procediamo con la solita fattorizzazione dell’argomento:

$$ a^3 -ab = a \cdot (a+b) \cdot (a-b) $$

Quindi abbiamo:

$$ \log (a^3-ab) = \log[a \cdot (a+b) \cdot (a-b)]$$

Che possiamo scrivere come:

$$ \log (a^3-ab) = \log[a \cdot (a+b) \cdot (a-b)] = \log a + \log (a+b) +\log(a-b)$$

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA ?

Afronta l’esame con successo e accedi ai corsi per una conoscenza matematica completa!

PROPRIETÀ’ DELLA DIFFERENZA – DIVISIONE

Questa proprietà lega nel logaritmo l’operazione della differenza all’operazione della divisione:

Il logaritmo con una certa base di un rapporto è la differenza tra il logaritmo con la stessa del numeratore e del denominatore.

$$ \log_c \frac{a}{b} = \log_c a – \log_c b $$

Proviamo a dimostrare la validità di questa proprietà dei logaritmi partiamo dal termine di sinistra:

$$ \log_c \frac{a}{b} $$

Il logaritmo in base c di (a·b) è l’esponente da dare alla base c per ottenere il prodotto (a·b).

Pertanto deve per forza valere che:

$$ c^{\log_c \frac{a}{b}} = \frac{a}{b} $$

Esattamente come nella dimostrazione precedente a e b possono essere riscritti come:

$$ a = c^{\log_c a} \quad a = b^{\log_c b}$$

Riscriviamo quindi l’equazione:

$$ c^{\log_c \frac{a}{b}} = \frac{ c^{\log_c a}}{b^{\log_c b}} $$

Sul lato destro dell’equazione abbiamo una divisione di potenze con la stessa base, per cui possiamo riportare la base e andare a sottrarre gli esponenti:

$$ c^{\log_c \frac{a}{b}} = c^{\log_c a – \log_c b}$$

Si tratta a questo punto di un’uguaglianza tra due potenze che hanno certamente la stessa base.

Pertanto deve per forza valere che i suoi esponenti siano uguali, quindi abbiamo dimostrato la nostra prima proprietà:

$$ \log_c \frac{a}{b} = \log_c a – \log_c b $$

ESEMPI DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMA E MOLTIPLICAZIONE

Facciamo qualche esempio per chiarire le idee:

Mettiamo sotto logaritmo in base 2 la frazione 2/3

$$ \log_2 \frac{2}{3} $$

Applicando la regola appena enunciata avremo che:

$4 \log_2 \frac{2}{3} = \log_2 2 – \log_2 3 = 1-\log_2 3 $$

Svolgiamone ora uno con le frazioni algebriche con monomi:

$$ \log \frac{3ab}{2xy} $$

Se applichiamo la regola appena vista otteniamo che questo logaritmo può essere riscritto come segue:

$$ \log \frac{3ab}{2xy} = \log (3ab) – \log (2xy)$$

Se poi ci mettiamo anche la prima regola, possiamo scrivere:

$$ (\log 3 + \log a + \log b ) – ( \log 3 + \log a + \log b )$$

 che, togliendo le parentesi diventa:

$$ \log 3 + \log a + \log b – \log 3 – \log a – \log b $

Vi faccio notare che tutti i fattori presenti al numeratore sono finiti singolarmente dentro un logaritmo con segno positivo davanti.

Mentre tutti i fattori presenti al denominatore sono finiti dentro un logaritmo con segno negativo davanti.

Concludiamo questa parte con un esempio che riguarda frazioni algebriche con polinomi:

$$ \log \frac{x^2-4}{x^2-2x-3} $$

Cominciamo con il fattorizzare il numeratore e il denominatore

$$ \log \frac{(x+2)(x-2)}{(x-3)(x+1)} $$

Possiamo quindi riscriverlo nel seguente modo:

$$ \log(x+2) + \log(x-2) – \log(x-2) – \log(x+1)$$

PROPRIETÀ’ DELLA POTENZA – MOLTIPLICAZIONE

Andremo ora a dimostrare la proprietà dei logaritmi che lega la potenza alla moltiplicazione.

Il logaritmo di una potenza (base ed esponente) è il prodotto tra l’esponente della potenza e il logaritmo della base.

$$ \log_c a^\color{red}{n} = \color{red}{n} \cdot \log_c a $$

Per dimostrare questa proprietà ritorniamo per un attimo alla prima proprietà vista.

$$ \log_c (a \cdot b) = \log_c a +\log_c b $$

Se avessimo tre fattori:

$$ \log_c (a \cdot b \cdot c) = \log_c a +\log_c b + \log_c c$$

Se questi tre fattori fossero uguali tra di loro avremo:

$$ \log_c (a \cdot a \cdot a) = \log_c a +\log_c a + \log_c a = 3 \log_c a$$

Questo chiaramente a scrivere che:

$$ \log_c (a^3) = 3 \log_c a$$

Questo giochetto può essere fatto anche per n fattori identici e quindi si dimostra la proprietà:

$$ \log_c a^\color{red}{n} = \color{red}{n} \cdot \log_c a $$

Diciamo che quando l’argomento è una potenza possiamo prendere l’esponente e portarlo davanti al logaritmo.

ATTENZIONE ALLA POSIZIONE DELL’ESPONENTE

Molti di voi che sono alle prime armi con la nozione di logaritmo e delle sue proprietà fanno una certa confusione tra queste due scritture che sono però diverse tra di loro:

$$ \log_c a^\color{red}{n} \ne \log_c^\color{red}{n} a $$

Il termine presente sul lato sinistro è il logaritmo di una potenza, ovvero l’esponente è riferito all’argomento del logaritmo.

In questo caso si applica la proprietà vista per il logaritmo della potenza:

$$ \log_c a^\color{red}{n} = \color{red}{n} \cdot \log_c a $$

Mentre il termine contenuto sul lato di destra è la potenza di un logaritmo:

$$ \log_c^\color{red}{n} a $$

Questo significa che il logaritmo diventa la base di una potenza che in una moltiplicazione viene ripetuta identica per n volte:

$$ \log_c^\color{red}{n} a = ( \log_c a )^\color{red}{n} = \\ = ( \log_c a ) \cdot ( \log_c a ) \cdot ( \log_c a ) \cdot \cdots \cdot ( \log_c a ) \quad n \text{ volte} $$

In questo caso l’esponente n si riferisce al logaritmo (e non al suo argomento)

In questo caso non possiamo applicare la proprietà di portare davanti l’esponente:

$$ \log_c^\color{red}{n} a \ne \color{red}{n} \log_c a $$

ESEMPIO

Facciamo un esempio molto elementare circa questa situazione, che alle prime armi può creare una marea di confusione.

Consideriamo le suegenti due quantità:

$$ \log_3 3^2 \quad \log^2_3 3 $$

Nel primo caso l’esponente 2 è certamente riferito all’argomento 3 del logaritmo, dunque non ci sono dubbi che la quantità in questione vale 2, per la stessa definizione di logaritmo:

$$ \log_3 3^2 = 2 $$

Qui possiamo certamente applicare la proprietà dell’esponente che viene “portato davanti” al logaritmo, infatti:

$$ \log_3 3^2 = 2 \cdot \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$$

Nella seconda situazione il quadrato è riferito al logaritmo e dunque il risultato è palesemente diverso in quanto fa 1

$$ \log_3^2 3 = (\log_3 3)^2 = 1^2 = 1 $$

Questo risultato è diverso dal 2 ottenuto prima.

Un conto è fare il quadrato di un certo logaritmo e una cosa diversa è prendere quel logaritmo e moltiplicarlo per 2.

Il logaritmi non sono astronauti extraterrestri ma sono dei semplici numeri una volta ch vengono calcolati.

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA ?

Afronta l’esame con successo e accedi ai corsi per una conoscenza matematica completa!

ESEMPI DI REGOLA DELLA POTENZA – MOLTIPLICAZIONE

Vediamo qualche esempio della proprietà che collega la potenza alla moltiplicazione.

Il primo caso che vediamo è numerico:

$$ \log 1.000 = \log 10^3 = 3 \log10 \text{ il risultato vale 1 se la base è 10}$$

Ovviamente potremmo andare ancora avanti con la regola della somma di logaritmi:

$$ 3 \log10 = 3 \log (2 \cdot 5) = 3 ( \log 2 + \log 5) $$

Vediamo un secondo esempio con i monomi:

$$ \log (8a^2b^3 c^5) $$

Applichiamo per prima cosa la proprietà che trasforma il logaritmo di una moltiplicazione in una somma di logaritmi:

$$ \log (8a^2b^3 c^5) = \log 2^3 + \log a^2 + \log b^3 + \log c^5 $$

Procediamo quindi spostando davanti gli esponenti:

$$ = 3 \log 2 +2 \log a+3 \log b +5 \log c $$

Da ultimo vediamo un esempio con frazioni algebriche polinomiali:

$$ \log \frac{a^2+2ab+b^2}{x^3+3x^3+3x} $$

Risulta abbastanza chiaro a tutti che il numeratore è un quadrato di binomio mentre il denominatore è un cubo di binomio:

$$ \log \frac{a^2+2ab+b^2}{x^3+3x^3+3x} = \log \frac{(a+b)^2}{(x+1)^3} $$

Applicando la regola della differenza abbiamo che:

$$\log \frac{(a+b)^2}{(x+1)^3} = \log (a+b)^2 – \log(x+1)^3$$

Ora chiudiamo applicando la regola della potenza:

$$= \log (a+b)^2 – \log(x+1)^3 =2 \log (a+b) – 3 \log(x+1) $$

REGOLA DELLA RADICE – DIVISIONE

Il logaritmo di una radice risulta uguale al logaritmo del radicando diviso per l’indice della radice.

$$ \log \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n} \cdot \log_c a $$

Per dimostrare questa proprietà dei logaritmi basta ricordare la regola appena vista sulla potenza che ci dice che:

$$ \log_c a^\color{red}{n} = \color{red}{n} \cdot \log_c a $$

E che un radicale altro non è che una potenza ad esponente frazionario:

$$ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $$

Mettendo insieme le due cose possiamo affermare che:

$$ \log \sqrt[n]{a} = \log_c a^\color{red}{\frac{1}{n}} = \color{red}{\frac{1}{n}} \cdot \log_c a $$

ESEMPI CON TUTTE LE PROPRIETA’

Vediamo ora tre esempi che riguardano tutte le proprietà viste fino ad ora:

Partiamo come al solito da un esempio numerico:

$$ \log_3 \frac{\sqrt[3]{24}}{25}$$

Andiamo per prima cosa ad applicare le regole sui radicali e scomponiamo i numeri:

$$ \log_3 \frac{\sqrt[3]{24}}{25} =\log_3 \frac{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}}{5^2} = \log_3 \frac{2 \cdot \sqrt[3]{ 3}}{5^2} = \log_3 \frac{2 \cdot 3^\frac{1}{3}}{5^2} $$

In virtù delle proprietà dei logaritmi possiamo anche scrivere:

$$ = \log_3 2 + \frac{1}{3} \log_3 3 -2 \log_3 5 = \log_3 2 + \frac{1}{3} -2 \log_3 5$$

Passiamo al secondo esempio:

$$ \log \frac{9a^2 \sqrt{b}}{125 x^4 \sqrt[5]{y^2}} $$

Risolviamolo immediatamente:

$$ \log \frac{9a^2 \sqrt{b}}{125 x^4 \sqrt[5]{y^2}} = 2 \log 3 + 2 \log a + \frac{1}{2} \log b – 3 \log 5 -4 \log x – \frac{2}{5} \log y$$

Prendiamo un esempio misto con polinomi:

$$ \log \frac{\sqrt{a^3-b^3}}{\sqrt[3]{x^2-4}} $$

Scomponiamo i termini:

$$ \log \frac{\sqrt{(a-b)(a^2+ab+b^2)}}{\sqrt[3]{(x+2)(x-2)}} = \\ = \log \frac{(a-b)^\frac{1}{2}(a^2+ab+b^2)^\frac{1}{2}}{(x+2)^\frac{1}{3}(x-2)^\frac{1}{3}} = \\ = \frac{1}{2} \log(a+b) + \frac{1}{2} \log(a^2+ab+b^2) + \frac{1}{3} \log(x+2) + \frac{1}{3} \log(x-2) + $$

HAI QUALCHE DOMANDA SULLE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI?

Se questo articolo ha creato qualche dubbio e vuoi manifestarlo con una domanda scrivila nei commenti.

Il tuo commento aiuterà molti utenti a risolvere i tuoi stessi dubbi.

RISCOPRI LA MATEMATICA PARTENDO DA ZERO

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

Scopri tutti i corsi di matematica

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica