In questo articolo parliamo delle proprietà dei logaritmi.
Tali proprietà riguardano la relazione tra i logaritmi e le operazioni di somma, differenza, moltiplicazione e divisione.
Per certi versi ricordano molto le proprietà delle potenze.
Dopo tutto ricordiamo che i logaritmi sono gli esponenti da dare ad una certa base per ottenere l’argomento del logaritmo.
Possiamo dire che i logaritmi offrono una panoramica completa di tutti gli argomenti che li precedono.
Quindi li possiamo anche vedere come un enorme contenitore che contiene in maniera ordinata e dettagliata tutto quello che è stato scoperto prima della loro introduzione.
PROPRIETÀ’ DELLA SOMMA – MOLTIPLICAZIONE
La prima proprietà che andiamo a vedere e a dimostrare è quella che lega all’interno dei logaritmi la più semplice operazione matematica, ovvero quella della somma alla moltiplicazione.
Il logaritmo con una certa base di un prodotto è la somma dei logaritmi con la stessa base die fattori che formano il prodotto.
Proviamo a dimostrare questa affermazione.
Partiamo dal termine di sinistra:
Il logaritmo in base c di (a·b) è l’esponente da dare alla base c per ottenere il prodotto (a·b).
Pertanto deve per forza valere che:
D’altro canto il primo fattore a che compare sul lato destro può essere riscritto come
Notiamo che il logaritmo si porta via l’esponenziale dal momento che hanno la stessa e quindi resta solo .
Per lo stesso ragionamento anche il secondo fattore b può essere riletto come:
Riscriviamo ora l’equazione:
Sostituendo al posto della a della b i valori che abbiamo ricavato:
Sul lato destro dell’equazione abbiamo una moltiplicazione di potenze con la stessa base, per cui possiamo riportare la base e andare a sommare gli esponenti:
Si tratta a questo punto di un’uguaglianza tra due potenze che hanno certamente la stessa base.
Pertanto deve per forza valere che i suoi esponenti siano uguali, quindi abbiamo dimostrato la nostra prima proprietà:
ESEMPI DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMA E MOLTIPLICAZIONE
Partiamo da un paio di esempi molto semplici.
Prendiamo ad esempio:
Sappiamo che il numero naturale 6 può essere fattorizzato nel 2 e nel 3, infatti:
Quindi possiamo riscrivere il logaritmo come segue:
Applicando dunque la proprietà appena vista diremo:
Prendiamo un altro esempio numerico.
Fattorizziamo il 30 come segue:
Quindi riscriviamo il logaritmo:
Che per la proprietà diventa:
Siccome il logaritmo in base 3 di 3 vale 1, possiamo anche scrivere:
Mari sarebbe un po’ più estetico scrivere:
Prendiamo un esempio con un monomio:
Il fatto che non abbiamo messo la base del logaritmo significa che il logaritmo è in base 10 oppure e, scegliete voi.
In ogni caso questo non ci interezza molto la base di questo logaritmo.
Fattorizziamo il monomio all’interno:
e applichiamo la proprietà:
Ora prendiamo come esempio il logaritmo di un polinomio:
Procediamo con la solita fattorizzazione dell’argomento:
Quindi abbiamo:
Che possiamo scrivere come:
PROPRIETÀ’ DELLA DIFFERENZA – DIVISIONE
Questa proprietà lega nel logaritmo l’operazione della differenza all’operazione della divisione:
Il logaritmo con una certa base di un rapporto è la differenza tra il logaritmo con la stessa del numeratore e del denominatore.
Proviamo a dimostrare questa affermazione.
Partiamo dal termine di sinistra:
Il logaritmo in base c di (a·b) è l’esponente da dare alla base c per ottenere il prodotto (a·b).
Pertanto deve per forza valere che:
Esattamente come nella dimostrazione precedente a e b possono essere riscritti come:
Riscriviamo quindi l’equazione:
Sul lato destro dell’equazione abbiamo una divisione di potenze con la stessa base, per cui possiamo riportare la base e andare a sottrarre gli esponenti:
Si tratta a questo punto di un’uguaglianza tra due potenze che hanno certamente la stessa base.
Pertanto deve per forza valere che i suoi esponenti siano uguali, quindi abbiamo dimostrato la nostra prima proprietà:
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ESEMPI DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMA E MOLTIPLICAZIONE
Facciamo qualche esempio per chiarire le idee:
Mettiamo sotto logaritmo in base 2 la frazione 2/3
Applicando la regola appena enunciata avremo che:
Svolgiamone ora uno con le frazioni algebriche:
Se applichiamo la regola appena vista otteniamo che questo logaritmo può essere riscritto come segue:
Se poi ci mettiamo anche la prima regola, possiamo scrivere:
che, togliendo le parentesi diventa:
Vi faccio notare che tutti i fattori presenti al numeratore sono finiti singolarmente dentro un logaritmo con segno positivo davanti.
Mentre tutti i fattori presenti al denominatore sono finiti dentro un logaritmo con segno negativo davanti.
Concludiamo questa parte con un esempio che riguarda i polinomi:
Cominciamo con il fattorizzare il numeratore e il denominatore
Possiamo quindi riscriverlo nel seguente modo:
PROPRIETÀ’ DELLA POTENZA – MOLTIPLICAZIONE
Andremo ora a dimostrare la proprietà dei logaritmi che lega la potenza alla moltiplicazione.
Il logaritmo di una potenza (base ed esponente) è il prodotto tra l’esponente della potenza e il logaritmo della base.
Per dimostrare questa proprietà ritorniamo per un attimo alla prima proprietà vista.
Se avessimo tre fattori:
Se questi tre fattori fossero uguali tra di loro avremo:
Questo chiaramente a scrivere che:
Questo giochetto può essere fatto anche per n fattori identici e quindi si dimostra la proprietà:
Diciamo che quando l’argomento è una potenza possiamo prendere l’esponente e portarlo davanti al logaritmo.
ATTENZIONE ALLA POSIZIONE DELL’ESPONENTE
Molti di voi che sono alle prime armi con la nozione di logaritmo e delle sue proprietà fanno una certa confusione tra queste due scritture che sono però diverse tra di loro:
Il termine presente sul lato sinistro dell’equazione è il caso che abbiamo appena presentato parlando della proprietà.
Si tratta di un logaritmo di una potenza per cui vale la proprietà:
Ora so che con le simbologie è sempre un po’ difficili capirci qualcosa.
Il segreto è quello di associare sempre almeno un esempio pratico.
Prendiamo in esame il seguente caso:
Se sviluppiamo la potenza e poi calcoliamo il logaritmo otteniamo:
Se applichiamo la proprietà dell’esponente:
Abbiamo verificato l’identità.
Tutt’altra questione è il termine presente sulla destra:
In questo caso l’esponente n si riferisce al logaritmo (e non al suo argomento)
Pertanto non possiamo applicare la proprietà di portare davanti l’esponente:
Infatti è come prendere tutto il logaritmo di a ed elevarlo alla n.
Anche qui facciamo un semplice esempio in parallelo con il precedente:
Questo risultato è diverso dal 2 ottenuto prima.
Un conto è fare il quadrato di un certo logaritmo e una cosa diversa è prendere quel logaritmo e moltiplicarlo per 2.
Il logaritmi non sono astronauti extraterrestri ma sono dei semplici numeri una volta ch vengono calcolati.
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ESEMPI DI REGOLA DELLA POTENZA – MOLTIPLICAZIONE
Vediamo qualche esempio della proprietà che collega la potenza alla moltiplicazione.
Il primo caso che vediamo è numerico:
Ovviamente potremmo andare ancora avanti con la regola della somma di logaritmi:
Vediamo un secondo esempio con i monomi:
che infine diventa:
Da ultimo vediamo un esempio con frazioni algebriche polinomiali:
Risulta abbastanza chiaro a tutti che il numeratore è un quadrato di binomio mentre il denominatore è un cubo di binomio:
Applicando la regola della differenza abbiamo che:
Ora chiudiamo applicando la regola della potenza:
REGOLA DELLA RADICE – DIVISIONE
Il logaritmo di una radice risulta uguale al logaritmo del radicando diviso per l’indice della radice.
Per dimostrare questo assunto basta ricordare la regola appena vista sulla potenza che ci dice che:
E che un radicale altro non è che una potenza ad esponente frazionario:
Mettendo insieme le due cose possiamo affermare che:
ESEMPI CON TUTTE LE PROPRIETA’
Vediamo ora tre esempi che riguardano tutte le proprietà viste fino ad ora:
Partiamo come al solito da un esempio numerico:
Andiamo per prima cosa ad applicare le regole sui radicali e scomponiamo i numeri:
In virtù delle proprietà dei logaritmi possiamo anche scrivere:
Siccome il logaritmo in base 3 di 3 fa 1, scriviamo:
Passiamo al secondo esempio:
Prendiamo un esempio misto con polinomi:
Scomponiamo i termini:
Che con le proprietà dei logaritmi diventa:
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