EQUAZIONI ESPONENZALI (2)

In questo articolo vediamo le equazioni esponenziali cercando di vedere le principali forme con cui può manifestarsi.

EQUAZIONI ESPONENZIALI DEL TIPO A^X=A^H

La forma più semplice di equazione esponenziale è:

$$ a^x = a^h $$

Vediamo che si tratta dell’uguaglianza di due potenze con la stessa base, che quindi equivalgono solo se hanno lo stesso esponente.

La soluzione dell’equazione è dunque:

$$ a^x = a^h \to x=h$$

Premessa fondamentale per risolverla è saper adeguatamente riconoscere le potenze presenti sul lato destro e saper trasformare i radicali in potenze:

Facciamo i seguenti esempi molto elementari:

$$ 2^x=1 \quad 2^x=2 \quad 3^x = \frac{1}{9} \quad 5^x = 5 \sqrt[3]{25} \quad 2^x=-1$$

Nei primi quattro casi si riconosce abbastanza facilmente che sulla destra abbiamo una potenza nella stessa base dell’esponenziale sul lato sinistro.

Partiamo dal primo caso

$$ 2^x=1$$

Sembra palese che sul lato destro l’uno altro non è che due elevato alla zero.

$$ 2^x=1 \to 2^x=2^0$$

Ora non ci resta che eliminare le basi comune e trovare che la x vale zero.

$$ 2^x=1 \to 2^x=2^0 \to x=0$$

Passiamo ora al secondo esempio, in cui procediamo allo stesso modo

$$ 2^x=4 \to 2^x=2^2 \to x=2$$

Nel terzo esempio:

$$ 3^x = \frac{1}{9} $$

sul lato destro abbiamo 1/9 che altri non è che 3 elevato alla meno 2:

$$ 3^x = \frac{1}{9} \to 3^x = 3^{-2} \to x=-2$$

Nel quarto esempio

$$ 5^x = 5 \sqrt[3]{25} $$

dobbiamo lavorare un po’ per trasformare la radice a destra in una potenza di 5 e applicare in seguito le proprietà delle potenze per unire le potenze

$$ 5 \sqrt[3]{25} = 5^1 \cdot 5^\frac{2}{3} = 5^{1+\frac{2}{3}} = 5^\frac{5}{3}$$

Quindi l’equazione diventa:

$$ 5^x = 5 \sqrt[3]{25} \to 5^x=5^\frac{5}{3} \to x= \frac{5}{3}$$

Attenzione all’ultimo caso.

$$ 2^x=-1 $$

Non esiste nessuna potenza di 2 che ci restituisce un valore negativo!

Pertanto l’equazione non ammette soluzione.

$$ 2^x=-1 \to \text{ impossibile } (S= \emptyset)$$

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI

Graficamente questo tipo di equazione può essere interpretato come una funzione esponenziale (lato sinistro) che eguaglia una costante (lato destro)

$$ a^x= a^h $$

Sul lato sinistro è presente la funzione esponenziale:

$$ y=a^x$$

Mentre sul lato destro abbiamo una funzione costante (retta orizzontale)

$$ y= a^h$$

é come se mettessimo a sistema le due equazioni:

$$ \begin{cases} y=a^x & \text{funzione esponenziale} \\ y=a^h & \text{funzione costante} \end{cases}$$

La soluzione viene identificata con il punto di ascissa h

$$ \begin{cases} y=a^x & \text{funzione esponenziale} \\ y=a^h & \text{funzione costante} \end{cases} \to \color{red}{x=h \quad \text{soluzione}}$$

ESEMPIO

Vediamo meglio come si rappresenta il secondo caso che abbiamo risolto:

$$ 2^x=4 \to 2^x=2^2 \to x=2$$

Sul lato sinistro abbiamo la funzione esponenziale:

$$ y=2^x $$

Mentre sul lato destro la funzione costante:

$$ y=2^2 $$

Le due funzioni si intersecano nel punto di ascissa 2

$$ \begin{cases} y=2^x & \text{funzione esponenziale} \\ y=2^2 & \text{funzione costante} \end{cases} \to \color{red}{x=2 \quad \text{soluzione}}$$

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EQUAZIONI ESPONENZIALE NELLA FORMA A^(f(x)) = A^h

Ora creiamo un ampliamento della forma di equazione esponenziale appena analizzata e vediamo la forma:

$$ a^{f(x)} = a^h $$

Da qui giungeremo a risolvere l’equazione:

$$ a^{f(x)} = a^h \to f(x) = h$$

Che potrebbe manifestarsi in varie forme.

ESEMPI

Vediamone alcuni esempi:

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 \quad 2^{x^2-4x} = 1 \quad 3^\frac{1}{x+1} = \sqrt[3]{9} \quad 5^\sqrt{\frac{8}{x^2-x}}= 25 $$

ESEMPIO 1

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 $$

Sul lato sinistro e destro leggiamo il 4 e l’8 come potenze di 2:

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 \to 2^\frac{2}{x} = 2^3$$

Ora eliminiamo le basi:

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 \to 2^\frac{2}{x} = 2^3 \to \frac{2}{x}=3$$

Ribaltiamo entrambi i membri dell’equazione:

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 \to 2^\frac{2}{x} = 2^3 \to \frac{2}{x}=3 \to \frac{x}{2}=\frac{1}{3}$$

Ora moltiplichiamo tutto per 2 e otteniamo la soluzione cercata:

$$ 4^\frac{1}{x} = 8 \to 2^\frac{2}{x} = 2^3 \to \frac{2}{x}=3 \to \frac{x}{2}=\frac{1}{3} \to x=\frac{2}{3}$$

ESEMPIO 2

Prendiamo ora in esame il secondo caso di equazione esponenziale:

$$ 2^{x^2-4x} = 1 $$

Possiamo rileggere l’uno come una potenza di 2 ed esponente 0.

$$ 2^{x^2-4x} = 1 \to 2^{x^2-4x} = 2^0 $$

Eliminiamo le basi

$$ 2^{x^2-4x} = 1 \to 2^{x^2-4x} = 2^0 \to x^2-4x=0$$

e risolviamo fattorizzandola l’equazione di secondo grado:

$$ x^2-4x=0 \to x(x-4)=0 $$

Applicando la regola di annullamento del prodotto ricaviamo le due soluzioni cercate:

$$ x^2-4x=0 \to x(x-4)=0 \to x=0 \lor x=4 $$$$

ESEMPIO 3

Il terzo caso è molto simile e ci porterà a risolvere un’equazione fratta:

$$ 3^\frac{1}{x+1} = \sqrt[3]{9} $$

Rileggiamo il radicale come una potenza di 3, successivamente eliminiamo le basi:

$$ 3^\frac{1}{x+1} = \sqrt[3]{9} \to 3^\frac{1}{x+1} = 3^\frac{2}{3} \to \frac{1}{x+1} = \frac{2}{3}$$

Dopo esserci appurati delle condizioni di esistenza sulla x:

$$ x \ne -1 $$

Moltiplichiamo tutto per 3(x+1):

$$ \to \frac{1}{x+1} = \frac{2}{3} \overset{\cdot 3(x+1)}{\longrightarrow} 3= 2(x+1)$$

Ora non ci resta che risolvere un’equazione di primo grado:

$$ 3= 2(x+1) \to 3=2x+2 \to 2x=1 \to x= \frac{1}{2}$$

ESEMPIO 4

Nel quarto caso una volta tolte le basi risolviamo un’irrazionale ed infine un’equazione di secondo grado.

$$ 5^\sqrt{\frac{8}{x^2-x}}= 25 $$

Riconduciamo a potenza di 5, eliminiamo le basi, ed eleliminiamo il radicale elevando alla seconda fino ad ottenere un’equazione fratta:

$$ 5^\sqrt{\frac{8}{x^2-x}}= 5^2 \to \sqrt{\frac{8}{x^2-x}}= 2 \to \frac{8}{x^2-x}=4$$

Imponiamo le condizioni di esistenza sul denominatore:

$$ x^2-x \ne 0 \to x(x-1) \ne 0 \to x\ne 0 \land x\ne1 $$

Dividiamo per 4 e spostiamo il denominatore sul lato destro al numeratore e riscriviamo meglio l’equazione di secondo grado:

$$ \frac{8}{x^2-x}=4 \to 2= x^2-x \to x^2-x-2=0$$

Dividiamo tutto per 4

Spostiamo tutto a destra e rileggiamo da destra a sinistra:

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado e troviamo le sesoluzioni con la legge di annullamento del prodotto:

$$ x^2-x-2=0 \to (x-2)(x+1)=0 \to x= 2 \lor x=-1$$

Entrambe le soluzioni sono accettabili.

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CASO A^(f(x))=A^(g(x)

Potremmo fare un’ulteriore ampliamento rispetto a quanto visto fino a qui.

Mi riferisco in particolare al caso:

$$ a^{f(x)} = a^{g(x)} $$

Per giungere a tale forma risulta fondamentale conoscere le proprietà delle potenze.

PRIMO ESEMPIO

Vediamo un primo esempio:

$$ \frac{2^x \cdot \sqrt{2}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{2^{x+2} \cdot \sqrt{2}} $$

Ci rendiamo conto che stiamo moltiplicando potenze e radici che hanno tutte basi 2, pertanto rileggiamo il testo come segue:

$$ \frac{2^x \cdot 2^\frac{1}{2}}{2^\frac{2}{3}} = \frac{2^0}{2^{x+2} \cdot 2^\frac{1}{2}} $$

Ora riconduciamo tutto alla stessa base:

$$ \frac{2^x \cdot 2^\frac{1}{2}}{2^\frac{2}{3}} = \frac{2^0}{2^{x+2} \cdot 2^\frac{1}{2}} \to 2^{x+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}} = 2^{0-\left( x+2+\frac{1}{2} \right)}$$

Ora eliminiamo le basi e risolviamo l’equazione di primo grado:

$$ \to x+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}= 0-\left( x+2+\frac{1}{2} \right)\to 6 \cdot \left( x+\frac{1}{2}-\frac{2}{3} \right) =\ -6 \cdot \left( x+2+\frac{1}{2} \right) \\ \to 6x+3-4=\ -6x-12-3 \to 12x=-22 \to x=\ -\frac{22}{12} \to x=\ – \frac{11}{6} $$

SECONDO ESEMPIO

$$\frac{3^x \cdot \frac{1}{9}}{\sqrt{3^x \sqrt{27}}} = \frac{9}{\sqrt{\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{3^x}}}}$$

Non lasciatevi spaventare dalla forma, poiché sono tutte potenze di 3:

$$ \frac{3^x \cdot 3^{-2}}{\left( 3^x \cdot 3^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}} = \frac{3^2}{\left( \left( 3^\ \cdot 3^\frac{x}{2} \right)^\frac{1}{3} \right)^\frac{1}{2}} $$

Al primo denominatore possiamo applicare la proprietà per cui la potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze:

$$\left( 3^x \cdot 3^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3} = 3^\frac{x}{3} \cdot 3^{1}{6}$$

Al secondo denominatore applichiamo ancora questa proprietà dopo aver fatto la potenza di potenza:

$$\left( \left( 3^\ \cdot 3^\frac{x}{2} \right)^\frac{1}{3} \right)^\frac{1}{2} = \left( 3^1 \cdot 3^\frac{x}{2} \right)^\frac{1}{6} = 3^\frac{1}{6} \cdot 3^\frac{x}{12}$$

Riscriviamo ora tutto il testo con le trasformazioni appena effettuate:

$$ \frac{3^x \cdot 3^{-2}}{\left( 3^x \cdot 3^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}} = \frac{3^2}{\left( \left( 3^\ \cdot 3^\frac{x}{2} \right)^\frac{1}{3} \right)^\frac{1}{2}} \to \frac{3^x \cdot 3^{-2}}{3^\frac{x}{3} \cdot 3^{1}{6}} = \frac{3^2}{3^\frac{1}{6} \cdot 3^\frac{x}{12}}$$

Ora applichiamo delle proprietà elementari e risolviamo l’equazione di primo grado che ne deriva

$$ \to 3^{x-2-\frac{x}{3} – \frac{1}{6}} = 3^{2- \frac{1}{6} -\frac{x}{12} } \to x-2-\frac{x}{3} – \frac{1}{6} = 2- \frac{1}{6} -\frac{x}{12} \to \\ \to 12 \cdot \left( x-2-\frac{x}{3} – \frac{1}{6} \right) = \left( 2- \frac{1}{6} -\frac{x}{12} \right) \cdot 12 \to \\ \to 12x-4x+x = 24-2+24-2 \to 13x=42 \to x= \frac{42}{13} $$

Risolviamo l’equazione di primo grado:

TERZO ESEMPIO

Vediamo un terzo caso ancora più spettacolare di equazione esponenziale:

$$ \frac{5^\sqrt{x} \cdot \sqrt{5^x}}{\sqrt{5}^\sqrt{x}} = 1 $$

Per prima cosa verifichiamo le condizioni di esistenza.

Dal momento che è presente una radice quadrata il radicando dovrà risultare positivo:

$$ CE: \ \ x>0 $$

Attenzione che quando è presente la radice di x all’esponente non possiamo applicare la regola della potenza di potenza:

Cerchiamo di ricondurre tutto in base 5 e perveniamo ad una equazione irrazionale:

$$ \frac{5^\sqrt{x} \cdot \sqrt{5^x}}{\sqrt{5}^\sqrt{x}} = 5^0 \to 5^{\sqrt{x}+\frac{x}{2} -\ \frac{1}{2} \sqrt{x}} = 5^0 \to \sqrt{x}+\frac{x}{2} -\ \frac{1}{2} \sqrt{x} =0 $$

Effettuiamo ora una sostituzione e imponiamo la radice di x uguale t : giungiamo in questo modo ad una equazione di secondo grado.

$$\sqrt{x}+\frac{x}{2} -\ \frac{1}{2} \sqrt{x} =0 \overset{\sqrt{x}=t}{\longrightarrow} t+ \frac{t^2}{2} – \frac{t}{2}=0 \to 2t+t^2-t=0 \to t^2-t=0$$

Possiamo risolvere questa equazione spuria applicando la scomposizione e la legge di annullamento del prodotto, ricavando due soluzioni in t:

$$ t^2-t=0 \to t (t+1)=0 \to t=0 \lor t=4 $$

Da questi valori in t ricaviamo dunque le due soluzioni in x risolvendo le rispettive equazioni irrazionali:

$$ t=0 \to \sqrt{x}=0 \to x=0 \\ t=4 \to \sqrt{x}=4 \to x=16 $$

EQUAZIONI ESPONENZIALI CON SOSTITUZIONE

Per alcuni tipi di equazioni esponenziali non è possibile risolvere direttamente applicando le proprietà delle potenze.

In questo caso dovremo ricorrere al metodo della sostituzione.

Prendiamo in esame il seguente caso:

PRIMO ESEMPIO CON SOSTITUZIONE

$$ 9^x -4 \cdot 3^x +3 =0 $$

Possiamo riscrivere il 9^x come 3^2x

Quindi l’equazione diventa:

$$ 9^x -4 \cdot 3^x +3 =0 \overset{9^x = 3^{2x}}{\longrightarrow} 3^{2x} -4 \cdot 3^x +3 =0 $$

Ponendo la sostituzione 3^x=y possiamo arrivare ad una equazione di secondo grado in y:

$$ 3^{2x} -4 \cdot 3^x +3 =0 \overset{3^x=y}{\longrightarrow} y^2-4y+3=0 $$

Scomponiamo ora il trinomio notevole giungendo alla soluzioni mediante la legge di annullamento del prodotto:

$$ y^2-4y+3=0 \to (y-1)(y-3)=0 \to y=1 \lor y=3 $$

Troviamo dunque le soluzioni in x risolvendo due equazioni esponenziali del tipo base:

$$ y=1 \to 3^x = 3^0 \to x=0 \\ y=3 \to 3^x=3^1 \to x=1 $$

SECONDO ESEMPIO CON SOSTITUZIONE

Consideriamo ora questo secondo esempio:

$$ 25^x +4 \cdot 5^x +3 =0 $$

Procediamo nel medesimo modo di prima:

$$ 5^{2x} +4 \cdot 5^x +3 =0 \overset{5^x=y}{\longrightarrow} y^2+4y+3=0 \to \\ \to (y+3)(y+1)=0 \to y=-3 \lor y=-1$$

Notiamo che in questo caso entrambi i valori della y assumono valori negativi.

Pertanto le relative equazioni esponenziali che ne derivano, risultano prive di soluzioni:

$$ y=-1 \to 5^x = -1 \to \text{ impossibile!} \\ y=-3 \to 5^x = -3 \to \text{ impossibile!} $$

Ricordiamo infatti che una funzione esponenziale nn assume mai valori negativi nel campo dei numeri reali.

In questo caso entrambe le soluzioni sono impossibili dal momento che l’esponenziale non può assumere valori negativi.

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