In questo articolo vediamo le equazioni esponenziali cercando di vedere le principali forme con cui può manifestarsi.
EQUAZIONI ESPONENZIALI DEL TIPO A^X=A^H
La forma più semplice di equazione esponenziale è:
Chiaramente l’equazione conduce alla soluzione:
Premessa fondamentale per risolverla è saper adeguatamente riconoscere le potenze presenti sul lato destro e saper trasformare i radicali in potenze:
Facciamo i seguenti esempi molto elementari:
Nei primi quattro casi si riconosce abbastanza facilmente che sulla destra abbiamo una potenza nella stessa base dell’esponenziale sul lato sinistro.
Partiamo dal primo caso
Sembra palese che sul lato destro l’uno altro non è che due elevato alla zero.
Ora non ci resta che eliminare le basi comune e trovare che la x vale zero.
Passiamo ora al secondo esempio, in cui procediamo allo stesso modo
Nel terzo esempio:
sul lato destro abbiamo 1/9 che altri non è che 3 elevato alla meno 2:
Nel quarto esempio
dobbiamo lavorare un po’ per trasformare la radice a destra in una potenza di 5 e applicare in seguito le proprietà delle potenze per unire le potenze
Quindi l’equazione diventa:
Attenzione all’ultimo caso.
Non esiste nessuna potenza di 2 che ci restituisce un valore negativo!
Pertanto l’equazione non ammette soluzione.
INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI
Graficamente questo tipo di equazione può essere interpretato come una funzione esponenziale (lato sinistro) che eguaglia una costante (lato destro)
La soluzione viene identificata con il punto di ascissa
Vediamo meglio come si rappresenta il secondo caso che abbiamo risolto:
Sul lato sinistro abbiamo la funzione esponenziale:
Mentre sul lato destro la funzione costante:
Le due funzioni si intersecano nel punto di ascissa 2
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EQUAZIONI ESPONENZIALE NELLA FORMA A^(f(x)) = A^h
Ora creiamo un ampliamento della forma di equazione esponenziale appena analizzata e vediamo la forma:
Da qui giungeremo a risolvere l’equazione:
Che potrebbe manifestarsi in varie forme.
Consideriamo i seguenti esempi:
Che potrebbe manifestarsi in varie forme.
Consideriamo i seguenti esempi:
Partiamo dal primo caso:
Sul lato sinistro e destro leggiamo il 4 e l’8 come potenze di 2:
Ora eliminiamo le basi:
Ribaltiamo entrambi i membri dell’equazione:
Ora moltiplichiamo tutto per 2 e otteniamo la soluzione cercata:
Prendiamo ora in esame il secondo caso di equazione esponenziale:
Possiamo rileggere l’uno come una potenza di 2 ed esponente 0.
Eliminiamo le basi
e risolviamo fattorizzandola l’equazione di secondo grado:
Applicando la regola di annullamento del prodotto ricaviamo le due soluzioni cercate:
Il terzo caso è molto simile e ci porterà a risolvere un’equazione fratta:
Dopo esserci appurati delle condizioni di esistenza sulla x:
Moltiplichiamo tutto per:
Ottenendo:
Ora non ci resta che risolvere un’equazione di primo grado:
Nel quarto caso una volta tolte le basi risolviamo un’irrazionale ed infine un’equazione di secondo grado.
Eliminiamo le basi, giungendo ad una irrazionale:
Essendo il lato destro dell’equazione positivo eleviamo entrambi i membri alla seconda:
Spostiamo il denominatore sul lato destro al numeratore:
Dividiamo tutto per 4
Spostiamo tutto a destra e rileggiamo da destra a sinistra:
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto per determinare le soluzioni:
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CASO A^(f(x))=A^(g(x)
Potremmo fare un’ulteriore ampliamento rispetto a quanto visto fino a qui.
Mi riferisco in particolare al caso:
Per giungere a tale forma risulta fondamentale conoscere le proprietà delle potenze.
Vediamo un primo esempio:
Ci rendiamo conto che stiamo moltiplicando potenze e radici che hanno tutte basi 2, pertanto rileggiamo il testo come segue:
Ora riconduciamo tutto alla stessa base:
Ora eliminiamo le basi:
Togliamo le parentesi:
Moltiplichiamo tutto per il denominatore comune ovvero 6:
Risolviamo l’equazione di primo grado spostando le x a sinistra e i numeri a destra:
Prendiamo in esame un secondo esempio:
Non lasciatevi spaventare dalla forma, poiché sono tutte potenze di 3:
Al primo denominatore possiamo applicare la proprietà per cui la potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze:
Al secondo denominatore applichiamo ancora questa proprietà dopo aver fatto la potenza di potenza:
Riscriviamo ora tutto il testo con le trasformazioni appena effettuate:
Ora applichiamo delle proprietà elementari:
Togliamo le basi:
Moltiplichiamo per 12 (denominatore comune):
Risolviamo l’equazione di primo grado:
Vediamo un terzo caso ancora più spettacolare di equazione esponenziale:
Per prima cosa verifichiamo le condizioni di esistenza.
Dal momento che è presente una radice quadrata il radicando dovrà risultare positivo:
Attenzione che quando è presente la radice di x all’esponente non possiamo applicare la regola della potenza di potenza:
Applichiamo ora le proprietà delle potenze:
Se poniamo la ride di x uguale t abbiamo:
Che moltiplicando per 2 diventa:
Fattorizziamo e applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
Da cui:
Dai due valori della x ricaviamo i corrispondenti valori della x:
EQUAZIONI ESPONENZIALI CON SOSTITUZIONE
Per alcuni tipi di equazioni esponenziali non è possibile risolvere direttamente applicando le proprietà delle potenze.
In questo caso dovremo ricorrere al metodo della sostituzione.
Prendiamo in esame il seguente caso:
Possiamo riscrivere il 9x come segue:
Quindi l’equazione diventa:
Ponendo:
Abbiamo un’equazione di secondo grado:
Scomponiamo ora il trinomio notevole sul lato sinistro:
Otteniamo ora le due soluzioni in y che possono essere riconvertite in equazione esponenziali semplici:
Consideriamo ora questo secondo esempio:
Procediamo nel medesimo modo di prima:
In questo caso entrambe le soluzioni sono impossibili dal momento che l’esponenziale non può assumere valori negativi.
EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON I LOGARITMI
Le equazioni esponenziali viste fino ad ora potevano essere risolte tutte in modo “semplice” dal momento che tutte potevano essere ricondotte tranquillamente alla stessa base.
Le equazioni esponenziali tuttavia possono essere risolte grazie all’utilizzo dei logaritmi.
Se non sapete di cosa si tratta andate a vedere il blog cliccando sulla parola logaritmi.
Per questo tipo di equazioni ho creato un blog apposito.
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