EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE CON I LOGARITMI

Lo strumento che possiamo utilizzare per risolvere le equazioni esponenziali sono i logaritmi

Consideriamo la seguente equazione esponenziale:

$$ a^x = b $$

Questo testo può essere letto principalmente in due modi:

Il primo modo, il più elementare è:

“se diamo alla base a l’esponente x otteniamo il valore di b“

Fin qui nulla di eccezionale.

Il secondo modo di lettura, certamente più innovativo è:

“x è l’esponente da dare alla base a per ottenere la b“

Qualcuno nella storia, Nepero in primis, ha pensato bene a dare un nome a questi esponenti.

Il nome che è stato dato a questi esponenti è quello di logaritmo.

Nepero ha pensato bene di magnificare questa definizione in un’opera latina: “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”.

Con questa nuova lettura l’equazione esponenziale elementare:

$$ a^x = b $$

Può essere letta come:

“x è il logaritmo in base a di  b“

Grazie alle scritture moderne possiamo anche scrivere questa frase così:

$$ x = \log_a b $$

ESEMPI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE CON I LOGARITMI

Consideriamo alcune equazioni logaritmiche molto semplici e andiamo a risolverle con i logaritmi:

$$ \begin{array}{cccc} & 2^x= 3 \to x = \log_2 3 & 2^x= 10 \to x = \log_2 10 & \\& \ & \ & \\ & 3^x= 5 \to x = \log_3 5 & 5^x= 40 \to x = \log_5 40 & \end{array}$$

OLTRE LA FACCIATA DEI LOGARITMI

STEP 1 – RAGIONIAMO SUL CONCETTO DI LOGARITMO

La maggior parte di noi applica questa regola per risolvere equazioni esponenziali con i logaritmi in maniera passiva.

I logaritmi restano pertanto dei concetti difficili da comprendere e lontani dalla realtà.

Ritorniamo per un attimo al primo esempio che abbiamo risolto:

$$ 2^x= 3 \to x = \log_2 3 $$

Applicando la regola il risultato che leggiamo è:

“x è il logaritmo in base 2 di 3”.

Concetto certamente poco comprensibile letto in questo modo.

Facciamo ora un salto di qualità nella lettura di questa scrittura.

D: “Che cosa è il logaritmo in base 2 di 3?”

R: “è l’esponente da dare al 2 per ottenere 3”.

Se rileggiamo ora la soluzione dell’equazione esponenziale vista:

$$ x = \log_2 3 $$

La traduciamo con:

“x è l’esponente da dare al 2 per ottenere 3”.

Già un po’ meglio, ma secondo me siamo ancora  ad un punto di difficile comprensione.

STEP 2 – SE L’EQUAZIONE ESPONENZIALE FOSSE STATA DIVERSA?

Un passo oltre potrebbe essere quello di ragionare sul lato destro dell’equazione esponenziale.

Se anziché quel 3 sul lato destro vi fossero stati altri numeri l’equazione sarebbe stato meno difficile.

Ad esempio se avessimo avuto:

$$ 2^x = 1 $$

Avremmo avuto certamente meno problemi:

La domanda che ci possiamo in questo caso porre è:

“Qual è l’esponente da dare al 2 per ottenere 1?”

Molti di voi sanno che un numero elevato alla zero fa 1!

Questo deve necessariamente funzionare anche con il numero 2!

$$ 2^0 = 1 $$

Quindi capiremo immediatamente che:

$$ x=0 $$

Quindi possiamo anche dire:

“zero è l’esponente da dare al 2 per ottenere 1”

Allora perché non facciamo un salto di qualità nel nostro ragionamento:

“zero è il logaritmo in base 2 di 3”

STEP 3 – RIPETIAMO IL RAGIONAMENTO CON “NUMERI AMICI”

Proviamo a ripetere questo ragionamento con altri “numeri amici”.

Nel nostro caso i numeri amici per le equazioni esponenziali che presentano 2^x sul lato sinistro e potenze di 2 sul lato destro, ad esempio:

$$ 2^x = 2 $$

Qual è l’esponente che dobbiamo dare al 2 per ottenere il 2

Siccome il 2 può essere letto anche come:

$$ 2= 2^1 $$

Allora tale esponente fa 1!

Quindi la soluzione dell’equazione esponenziale è:

$$ x=1 $$

Quindi possiamo anche dire:

“l’esponente da dare al 2 per ottenere 2 è 1”

“il logaritmo in base 2 di 2 è 1”

In maniera matematica possiamo anche scrivere:

$$ x= \log_2 2 = 1 $$

STEP 4 – IDENTIFICHIAMO UN ALGORITMO:

Rileggiamo ora i passaggi dell’equazione:

$$ 2^x = 2 \to 2^x = 2^1 \to x=1 (= \log_2 2 ) $$

Prendiamo ora l’equazione:

$$ 2^x= 4 $$

innescando lo stesso meccanismo scriviamo:

$$ 2^x = 4 \to 2^x = 2^2 \to x=2 (= \log_2 4 ) $$

Applichiamo ora questa procedura ad altre equazioni esponenziali molto simili:

$$ 2^x = 4 \to 2^x = 2^2 \to x=2 (= \log_2 4 ) \\ 2^x = 8 \to 2^x = 2^3 \to x=3 (= \log_2 3 ) \\ 2^x = 16 \to 2^x = 2^4 \to x=4 (= \log_2 16 ) \\ 2^x = \frac{1}{2} \to 2^x = 2^{-1} \to x=-1 \left( = \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) \right) \\ 2^x = \frac{1}{4} \to 2^x = 2^{-2} \to x=-2 \left( = \log_2 \left( \frac{1}{4} \right) \right) \\ 2^x = \sqrt{2} \to 2^x = 2^\frac{1}{2} \to x=\frac{1}{2} \left(= \log_2 (\sqrt{2}) \right) \\ 2^x = \sqrt[3]{4} \to 2^x = 2^\frac{2}{3} \to x=\frac{2}{3} (= \log_2 \left( \sqrt[3]{4} \right) ) $$

STEP 5 – INDAGHIAMO PIU’ A FONDO IL LOGARITMO:

Ora vogliamo intestardirci su questo concetti di logaritmo.

Pertanto usciamo dai casi amici di equazioni esponenziali che abbiamo appena visto.

Ritorniamo dunque all’inizio, alle equazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi.

Riprendiamo ancora l’esempio da dove tutto era partito.

$$ 2^x = 3 \to x = \log_2 3 $$

Cosa significa x è l’esponente da dare al 2 per ottenere 3?

Torniamo alle potenze di 2, in maniera ordinata:

Zero è l’esponente che diamo al 2 per ottenere 1

$$ 2^\color{red}{0}=1 $$

1  è l’esponente che diamo al 2 per ottenere 2

$$ 2^\color{red}{1}=2 $$

2  è l’esponente che diamo al 2 per ottenere 4

$$ 2^\color{red}{2}=4 $$

3  è l’esponente che diamo al 2 per ottenere 8

$$ 2^\color{red}{3}=2 $$

ALT!!!!!

Non avete notato niente?

Se non lo avete fatto ci penso io per voi!

Riavvolgiamo il nastro!

$$ 2^\color{red}{1}=2 \quad 2^\color{red}{2}=4 $$

Noi stiamo cercando l’esponente da dare al 2 per ottenere il 3.

E questo 3 è proprio intermedio tra il 2 e il 4.

$$ 2< \color{red}{3} <4 $$

Per tanto ne deve derivare che l’esponente da dare al 2 per ottenere 3 (log in base 2 di 3) deve essere intermedio tra l’esponente da dare al 2 per ottenere 2 e l’esponente da dare al 2 per ottenere 4.

$$ \log_2 2< \log_2 \color{red}{3} < \log_2 4 $$

Ovvero:

Il logaritmo in base 2 di 3 è intermedio tra l’1 e il 2

$$1< \log_2 \color{red}{3} < 2 $$

Quindi quanto vale questo logaritmo?

Le possibili risposte sono:

$$ 1,1 \quad 1,2 \quad 1,3 \dots \quad 1,9 $$

Notiamo che il 3 si trova a metà strada tra il 2 e il 4.

Quindi una risposta accettabile per il valore del logaritmo è  1,5

Se andiamo a calcolare il valore del logaritmo preciso 

$$ \log_2 3 = 1,5849625… $$

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE CON I LOGARITMI

Torniamo al caso generico:

$$ a^x= b $$

Sulla sinistra abbiamo una funzione esponenziale:

$$ y=a^x $$

Mentre a destra abbiamo una funzione costante (retta orizzontale)

$$ y = b $$

Supponendo per comodità che la base della funzione esponenziale sia maggiore di 1 possiamo vedere il seguente grafico:

Come si vede quando la costante b è maggiore di zero

$$ b>0 $$

Esiste sempre un punto di intersezione tra la funzione e esponenziale e la retta.

Se andiamo ad individuare la soluzione e a proiettarla sull’asse delle x troviamo la soluzione:

$$ x= \log_a b $$

EQUAZIONI ESPONENZIALI SENZA SOLUZIONI

Chiaramente nelle equazioni esponenziali del tipo:

$$ a^x = b $$

in cui il valore della costante b è negativa 

$$ a^x = b \quad \text{con }\ b<0 $$

Non si ammettono soluzioni reali.

Ad esempio, se consideriamo l’equazione:

$$ 2^x = -3 $$

L’equazione è impossibile.

$$ \not \exists x \in \Re \\ \text{non esiste x appartenente a R} $$

Sarebbe un errore (nel campo dei numeri reali) scrivere:

$$ x= \log_2(-3) $$

Dal punto di vista grafico vediamo l’assenza di soluzioni con l’assenza di intersezioni tra la funzione:

$$ y = 2^x $$

E la retta

$$ t= 3 $$

EQUAZIONI ESPONENZIALI CON BASE e E BASE 10

Tra tutte le basi con cui possiamo costruire equazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi, vi sono due basi molto particolari.

La prima base è il 10, ed è facilmente comprensibile il perché.

La storia della nostra matematica europea è strettamente collegata al mondo arabo.

Gli arabi lo avevano appreso a loro volta dagli indiani.

A partire dal XII secolo gli scambi commerciali tra Europa e mondo arabo si sono sempre più intensificati.

E l’aspetto più significativo dal punto di vista matematico è stata l’importazione del sistema decimale posizionale.

Tale sistema si basa appunto sulle potenze di 10 per scrivere un qualsiasi numero.

Ad esempio quando scriviamo il numero 1.234,35 possiamo anche scriverlo come:

$$ 1.234,75 = 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} $$

Quando scriviamo un logaritmo in base 10 possiamo scriverlo così:

$$ \log_{10} x = \text{Log}x $$

Con la L maiuscola.

Alcuni preferiscono usare la L minuscola

$$ \log_10 x = \log x $$

ESEMPI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI IN BASE 10

$$ \begin{array}{cccc} & 10^x = 3 \to x = \log 3 & 10^x = 15 \to x = \log 15 & \\ & 10^x = 128 \to x = \log 128 & 10^x = 12.578 \to x = \log 12.578 & \end{array}$$

La seconda base molto utilizzata per i logaritmi è il numero di Nepero, detto anche il numero e (in onore del matematico Eulero).

Tale numero venne scoperto da Nepero, in occasione di studi astronomici nel nord Europa.

$$ e= 2,718281828459045… $$

Il logaritmo in base e si definisce logaritmo naturale e si scrive:

$$ \log_e x= \ln x $$

ESEMPI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI CON BASE e

$$ \begin{array}{cccc} & e^x = 3 \to x = \ln 3 & e^x = 15 \to x = \ln 15 & \\ & e^x = 128 \to x = \ln 128 & e^x = 12.578 \to x = \ln 12.578 & \end{array}$$

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