In questo articolo vediamo la dimostrazione della forma canonica dell’iperbole nel sistema cartesiano
Prima di vedere come si svolge la dimostrazione ricordiamo qual è la forma canonica dell’iperbole e le sue caratteristiche.
FORMA CANONICA DELL’IPERBOLE
Quando i fuochi sono posizionati sull’asse delle x la forma canonica dell’iperbole è:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
Proprio di questa vediamo la dimostrazione in questo articolo.
Le sue principali caratteristiche sono:
Mentre quando i fuochi sono sull’asse y l’equazione canonica è:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
Le sue principali caratteristiche sono:
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMA CANONICA DELL’IPERBOLE
Cerchiamo ora di vedere passo a passo la dimostrazione di come della forma canonica dell’iperbole sull’asse x.
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze (in valore assoluto) è sempre costante.
Cominciamo con il fissare due punti detti fuochi all’interno del sistema cartesiano F1 e F2.
Per comodità li fissiamo sull’asse delle x equidistanti dal centro:
$$ F_1(-c,0) \quad F_2(c,0) $$
Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra iperbole che chiamiamo 𝛾
$$ P(x,y) \in \gamma $$
Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 2a.
$$ | PF_1 – PF_2 | = 2a $$
Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:
$$ \left| \sqrt{(x+c)^2+y^2} – \sqrt{(x-c)^2+y^2} \right| = 2a $$
Sviluppando i calcoli arriviamo all’equazione generica dell’iperbole:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ b^2= c^2-a^2 $$
PASSAGGI DELLA DIMOSTRAZIONE
Partiamo dalla condizione iniziale
$$ \begin{array}{l} | PF_1 – PF_2 | = 2a \\ \left| \sqrt{(x+c)^2+y^2} – \sqrt{(x-c)^2+y^2} \right| = 2a \end{array} $$
Eliminiamo il valore assoluto e si aprono due possibili scenari
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} – \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2a $$
Analizziamo lo scenario positivo (anche in quello negativo arriviamo comunque allo stesso risultato)
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} – \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a $$
Spostiamo la radice con segno negativo sulla destra
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$
Eleviamo ambo i membri al quadrato re ricordiamoci che sulla destra abbiamo un quadrato di binomio quindi ci resta ancora una radice.
$$ (x+c)^2+y^2 = 4a^2+(x-c)^2 = 4a^2+(x-c)^2+y^2+4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$
Sviluppiamo i due quadrati di binomio
$$ x^2+2cx+c^2+y^2= 4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2+4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$
Eliminiamo i termini simili a destra e sinistra dell’uguale poi leggiamo da destra verso sinistra
$$ 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 4cx-4a^2 $$
Dividiamo tutto per 4
$$ a \sqrt{(x-c)^2+y^2} = cx-a^2 $$
Per eliminare la radice che si trova a sinistra eleviamo ancora ambo i membri alla seconda e aggiustiamo i conti:
$$ \begin{array}{l} a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2) = c^2x^2-2a^2cx+a^4 \\ a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2= c^2x^2-2a^2cx+a^4 \end{array} $$
Eliminiamo le parti identiche da entrambi i lati:
$$ a^2x^2 \color{blue}{-2a^2cx}+a^2c^2+a^2y^2= c^2x^2 \color{blue}{-2a^2cx}+a^4
Portiamo tutti i quadrati delle x e delle y a destra e rileggiamo il testo da destra verso sinistra.
Raccogliamo inoltre il quadrato delle x a fattor comune
$$ (c^2-a^2) x^2 – a^2y^2 = a^2y^2 = a^2c^2-a^4 $$
Anche sul lato destro possiamo raccogliere a fattor comune il quadrato della a
$$ (c^2-a^2) x^2 – a^2y^2 = a^2y^2 = a^2(c^2-a^2) $$
Introduciamo ora la variabile b di modo che sia soddisfatta la seguente relazione pitagorica
$$ c^2= a^2+b^2 \to c^2-a^2= b^2 $$
Dunque l’equazione diventa:
$$ b^2x^2-a^2y^2= a^2 b^2 $$
Dividiamo tutto per la quantità a destra data dal prodotto del quadrato di a per il quadrato di b
$$ \frac{b^2x^2}{a^2b^2}- \frac{a^2y^2}{a^2b^2}= \frac{a^2 b^2}{a^2b^2} $$
Ecco che siamo finalmente giunti alla famigerata equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse x:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
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