AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE

In questo articolo vediamo come calcolare l’area racchiusa in un’ellisse.

FORMULA DELL’AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE

Data un’ellisse nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

La formula per calcolare l’area racchiusa all’interno è molto semplice.

Ci basta semplicemente moltiplicare per pi-greco (𝜋) il prodotto dei due raggi a e b:

$$ \large A = ab \pi $$

SIMILITUDINE CON L’AREA DELLA CIRCONFERENZA

Questa formula ricorda molto il calcolo dell’area racchiusa in una circonferenza che è:

$$ A = r^2 \pi $$

 dove r è il raggio della circonferenza.

Questa formula può essere anche riscritta come:

$$ A = rr \pi$$

Ricordiamo infatti che un’ellisse può essere intesa come una circonferenza con due raggi

AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO UNO 

Determina l’area racchiusa nella seguente ellisse:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

SVOLGIMENTO

Dall’equazione dell’ellisse 

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

Ricaviamo subito i valori dei parametri a e b:

$$ \begin{array}{l} a^2 = 9 &\to& a=3 \\ b^2= 4 &\to& b=2 \end{array} $$

Applicando la formula precedentemente vista l’area racchiusa all’interno dell’ellisse risulta pari a :

$$ A =\pi ab = 3 \cdot 2 \cdot \pi = 6 \pi $$

AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO DUE

Determina l’area racchiusa nella seguente ellisse:

$$ \gamma: \quad 4x^2+2x+y^2-1= 0 $$

SVOLGIMENTO

In questo caso si tratta di un’ellisse traslata la cui forma generale è:

$$ \gamma’: \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$

COMPLETAMENTO DEL QUADRATO

Per ricavare tale forma dobbiamo applicare il metodo del completamento del quadrato.

L’equazione dell’ellisse di partenza è:

$$ \gamma: \quad 4x^2+2x+y^2-1= 0 $$

Per applicare il metodo del completamento del quadrato cominciamo a separare le x dalle y in questo modo:

$$ (4x^2+2x)+y^2-1= 0 $$

Applichiamo quindi il metodo del completamento del quadrato sulle x.

Raccogliamo a fattor comune il termine che moltiplica il quadrato della x:

$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right) +y^2-1= 0 $$

Ora volgiamo l’attenzione al polinomio in dentro la parentesi:

$$ 4 \left( \color{green}{x^2 + \frac{1}{2} x} \right) +y^2-1= 0 $$

Dobbiamo trovare quel termine c² che completa il quadrato di binomio:

$$ x^2 + \frac{1}{2} x + \color{red}{c^2} $$

Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:

$$ \begin{array}{l} \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$\color{red}{c^2}$ è il quadrato di $\color{red}{c}$} \\ \text{$\frac{1}{2}x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $\color{red}{c}$ } \end{array} $$

In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:

$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x $$

Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2x ottenendo il valore della c:

$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x \to c = \frac{1}{4}$$

Da che troviamo il suo quadrato:

$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x \to c = \frac{1}{4} \to c^2 = \frac{1}{16}$$

Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.

Poiché tutta la prima parentesi è moltiplicata per 4 allora dovremo moltiplicare per 4 anche la quantità negativa.

L’equazione a questo punto diventa:

$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \color{red}{+ \frac{1}{16}} \right) +y^2-1 \color{red}{- \frac{1}{4}}= 0 $$

EQUAZIONE CANONICA

Ora ripartiamo dall’equazione appena ricavata per portarla progressivamente verso la forma esplicita dell’ellisse traslata.

$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \color{red}{+ \frac{1}{16}} \right) +y^2-1 \color{red}{- \frac{1}{4}}= 0 $$

Spostiamo a destra le costanti dopo averle sommate:

$$ \begin{array}{l} 4 \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+y^2 – \frac{5}{4} = 0 \\ 4 \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+y^2 = \frac{5}{4} \end{array} $$

Dividiamo a destra e sinistra per 5/4 o equivalentemente moltiplichiamo per 4/5 di modo da lasciare a destra 1:

$$ \frac{16}{5} \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+\frac{4}{5} y^2 =1 $$

Aggiustiamo infine in questo modo sfruttando la regola della frazione reciproca:

$$\gamma: \quad \frac{ \left( x + \frac{1}{4} \right)^2}{\frac{5}{16}} + \frac{y^2}{\frac{5}{4}} = 1 $$

CALCOLO AREA

Da questa equazione ricaviamo in maniera semplice i parametri a e b:

$$ \begin{array}{l} a^2 = \frac{5}{16} &\to& a=\frac{\sqrt{5}}{4} \\ b^2= \frac{5}{4} &\to& b=\frac{\sqrt{5}}{2} \end{array} $$

L’area racchiusa nell’ellisse risulta dunque:

$$ A = ab \pi = \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \pi = \frac{5}{8} \pi $$

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AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO TRE

Calcola l’area racchiusa in un ellisse con centro nell’origine, i fuochi sull’esse x e di cui conosciamo l’eccentricità (e) ed il passaggio per un punto P:

$$ e= \frac{\sqrt{3}}{2} \quad P(2,3) $$

SVOLGIMENTO 

Per ricavare l’area ricerca dobbiamo applicare la formula:

$$ A = ab \pi $$

Dunque ci servono i parametri dell’equazione canonica dell’ellisse che non conosciamo:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

I dati che ci fornisce il testo sono l’eccentricità e un punto P che appartiene all’ellisse

$$ e= \frac{\sqrt{3}}{2} \quad P(2,3) $$

Dal momento che sappiamo che i fuochi si trovano sull’asse  x ne deriva che il valore di a (raggio orizzontale) è maggiore del valore di b (raggio verticale)

La relazione pitagorica tra a, b e c è :

$$ a^2=b^2+c^2 $$

E l’eccentricità sarà dunque:

$$ e = \frac{c}{a} $$

Riassumendo il tutto scriviamo:

$$ a>b \to \begin{cases} a^2=b^2+c^2 \\ e = \frac{c}{a} \end{cases} $$

Dalla condizione che riguarda l’eccentricità possiamo dunque stabilire una relazione tra la a e la c o meglio tra i loro quadrati

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{c^2}{a^2} = \frac{3}{4} \to c^2 = \frac{3}{4} a^2 $$

Inserendo il tutto nella seconda equazione possiamo ricavare il quadrato di b in funzione del quadrato di a:

$$ b^2= a^2-c^2 = a^2 – \frac{3}{4} a^2 = \frac{1}{4} a^2 $$

A questo punto l’ellisse che stiamo cercando ha la forma:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\frac{1}{4} a^2} = 1 $$

Che possiamo meglio riscrivere nei seguenti passaggi:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{ a^2} = 1 \to x^2+4y^2= a^2$$

Ora sfruttiamo il passaggio per il punto P per ricavare il valore del quadrato di a:

$$ P(2,3) \to a^2= 4+4 \cdot 9 = 40 $$

Da cui poi ricaviamo il quadrato di b: 

$$ b^2 = \frac{1}{4} a^2 = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10 $$

AREA RACCHIUSA NELL’ELLISSE

L’equazione della nostra ellisse è dunque:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{10} = 1 $$

Per calcolare l’area sveliamo i valori dei parametri a e b ricavati dai rispettivi quadrati:

$$ \begin{array}{l} a^2 = 40 &\to& a=\sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \\ b^2= 10 &\to& b=\sqrt{10} \end{array} $$

Non ci resta ora che applicare la formula per il calcolo dell’area racchiusa in un’ellisse

$$ A = ab \pi = 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \pi = 20 \pi $$

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