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CIRCONFERENZA – DEFINIZIONE

Già dai tempi di Euclide tra il IV e il III secolo a.C. la circonferenza era oggetto di studio e di grande attenzione.

La circonferenza viene definita il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto dato detto centro e la distanza costante è il raggio

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO

FORMA ESPLICITA

Preso un punto C detto centro di coordinate 

E un raggio di lunghezza r, possiamo l’equazione esplicita della circonferenza di centro C e raggio r è la seguente:

Per arrivare a questa formula seguiamo il seguente ragionamento:

Consideriamo un punto P(x; y) tale che appartiene alla circonferenza.

Per la definizione stessa di circonferenza questo punto deve mantenere costante la distanza dal centro e tale distanza deve essere pari al raggio.

L’equazione della circonferenza gamma che stiamo cercando si ottiene proprio imponendo che la distanza tra il punto P e il centro C è pari al raggio r.

Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo:

Elevando dunque entrambi i membri alla seconda otteniamo proprio l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

ESEMPIO

Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2

Il centro C ha coordinate:

Mentre il raggio r è pari a:

Consideriamo ora un generico punto P di coordinate (x;y) che appartiene alla circonferenza:

Imponiamo che la distanza tra il punto e il centro sia pari al raggio:

Inserendo i valori che conosciamo otteniamo:

Ora eleviamo entrambi i membri alla seconda:

Abbiamo ottenuto la forma esplicita della circonferenza interessata.

DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE ESPLICITA

Considerate il seguente grafico e trovate l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita.

Osservando la circonferenza emergono immediate le coordinate del centro C e la lunghezza del raggio r:

Applichiamo la formula della circonferenza:

Inserendo i dato otteniamo:

CIRCONFERENZA NELLA FORMA IMPLICITA

Vediamo ora di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma implicita.

Partiamo dall’equazione della circonferenza nella forma esplicita:

Sviluppiamo i due quadrati di binomio:

Spostiamo tutto a sinistra e riorganizziamo i termini:

Sostituendo con:

Otteniamo l’equazione esplicita:

ESEMPIO

Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2

Riportiamo per prima cosa i dati riguardanti il centro C e il raggio r:

Il nostro scopo è quello di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

A questo punto ci calcoliamo i parametri a, b e c mediante la loro definizione:

Ed ecco l’equazione della circonferenza che stiamo cercando:

DALL’EQUAZIONE IMPLICITA AL GRAFICO

A questo punto abbiamo gli strumenti per poter rappresentare una circonferenza partendo proprio dall’equazione esplicita;

Sapendo che i termini a e b sono il doppio negativo delle coordinate del centro possiamo ricavare proprio queste ultime:

L’ascissa del centro è la metà di a cambiata di segno, mentre l’ordinata del centro è la metà di b cambiata di segno.

Adesso grazie alle coordinate del centro e con la conoscenza del termine noto c possiamo ricavare il raggio:

Invertendo la c e il quadrato del raggio nell’equazione ricaviamo:

Mettendo sotto la radice entrambi i termini ricaviamo il nostro raggio r:

Ricordiamo che questa equazione di secondo grado non ammette soluzione negativa poiché il raggio è un elemento geometrico, quindi sempre positivo.

Se vogliamo ricavare il raggio in funzione dei parametri a, b e c scriviamo:

Che potremmo anche scrivere così:

ESEMPIO

Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:

Riportiamo per prima cosa i dati relativi ai parametri a, b e c:

Per prima cosa troviamo le coordinate del centro:

Ora non ci resta che trovare il raggio:

ESEMPIO

Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:

Per prima cosa riportiamo i dati sui parametri ab e c.

Da questi possiamo derivare le coordinate del centro e il raggio.

Partiamo dalle coordinate del centro:

Ora passiamo al raggio:

Adesso che abbiamo le coordinate del centro possiamo rappresentare la circonferenza nel grafico cartesiano.

Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:

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