LA CIRCONFERENZA NEL SISTEMA CARTESIANO

CIRCONFERENZA – DEFINIZIONE

Già dai tempi di Euclide tra il IV e il III secolo a.C. la circonferenza era oggetto di studio e di grande attenzione.

La circonferenza viene definita il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto dato detto centro e la distanza costante è il raggio

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO

FORMA ESPLICITA

Preso un punto C detto centro di coordinate ed un raggio di lunghezza r

$$ C (x_0, y_0 ) \quad \text{raggio} = r $$

, possiamo l’equazione esplicita della circonferenza 𝛾  di centro C e raggio r è la seguente:

$$ \gamma : \ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $$

Per arrivare a questa formula seguiamo il seguente ragionamento:

Consideriamo un punto P(x; y) tale che appartiene alla circonferenza.

Per la definizione stessa di circonferenza questo punto deve mantenere costante la distanza dal centro e tale distanza deve essere pari al raggio.

L’equazione della circonferenza gamma che stiamo cercando si ottiene proprio imponendo che la distanza tra il punto P e il centro C è pari al raggio r.

$$ \gamma : \ \text{dist} (P,C) = r $$

Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo:

$$ \sqrt {(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = r $$

Elevando dunque entrambi i membri alla seconda otteniamo proprio l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

$$ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $$

ESEMPIO

Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2

Scriviamo centro e raggio della circonferenza:

$$ C(3,1) \quad r=2 $$

Consideriamo ora un generico punto P di coordinate (x;y) che appartiene alla circonferenza:

Tale quindi che la distanza tra il punto e il centro sia pari al raggio:

$$ P \in \gamma \to \ \text{dist}(P,C) = r $$

Inserendo i valori che conosciamo otteniamo:

$$ \sqrt{ (x-3)^2 +(y-1)^2} = 2 $$

Ora eleviamo entrambi i membri alla seconda:

$$ (x-3)^2 +(y-1)^2 = 4 $$

Abbiamo ottenuto la forma esplicita della circonferenza interessata.

DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE ESPLICITA

Considerate il seguente grafico e trovate l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita.

Osservando la circonferenza emergono immediate le coordinate del centro C e la lunghezza del raggio r:

$$ C(3,2) \quad r=2 $$

Applichiamo la formula della circonferenza:

$$ \gamma : \ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $$

Inserendo i dato otteniamo:

$$ \gamma : \ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 4 $$

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CIRCONFERENZA NELLA FORMA IMPLICITA

Vediamo ora di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma implicita.

Partiamo dall’equazione della circonferenza nella forma esplicita:

$$ \gamma : \ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $$

Sviluppiamo i due quadrati di binomio:

$$ (x^2 – 2 \cdot x_0 \cdot x + x_0^2) + (y^2 – 2 \cdot y_0 \cdot y + y_0^2 ) = r^2 $$

Spostiamo tutto a sinistra e riorganizziamo i termini:

$$ x^2 + y^2 – 2 \cdot x_0 \cdot x – 2 \cdot y_0 \cdot y + (x_0^2 +y_0^2 -r^2) = 0 $$

Sostituendo con:

$$ a=- 2 \cdot x_0 \cdot x \quad b=- 2 \cdot y_0 \cdot y \quad c=x_0^2 +y_0^2 -r^2 $$

Otteniamo l’equazione esplicita:

$$ x^2 +y^2 +ax + by +c =0 $$

ESEMPIO

Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2

Riportiamo per prima cosa i dati riguardanti il centro C e il raggio r:

$$ C(3,1) \quad r=2 $$

Il nostro scopo è quello di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

$$ x^2 +y^2 +ax + by +c =0 $$

A questo punto ci calcoliamo i parametri a, b e c mediante la loro definizione:

$$ a= -2 \cdot x_0 = -2 \cdot 3 = -6 \\ b= -2 \cdot y_0 = -2 \cdot 1 = -2 \\ c=x_0^2 +y_0^2 -r^2 = 3^2 + 1^2 – 2^2 = 6 $$

Ed ecco l’equazione della circonferenza che stiamo cercando:

$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -6x -2y +6 =0 $$

DALL’EQUAZIONE IMPLICITA AL GRAFICO

A questo punto abbiamo gli strumenti per poter rappresentare una circonferenza partendo proprio dall’equazione esplicita;

$$ x^2 +y^2 +ax + by +c =0 $$

Sapendo che i termini a e b sono il doppio negativo delle coordinate del centro possiamo ricavare proprio queste ultime:

L’ascissa del centro è la metà di a cambiata di segno, mentre l’ordinata del centro è la metà di b cambiata di segno.

$$ a= -2 \cdot x_0 \ \to \ x_0 = – \ \frac{a}{2} $$

$$ b= -2 \cdot y_0 \ \to \ y_0 = – \ \frac{b}{2} $$

Da cui possiamo dedurre che le coordinate del centro C sono:

$$ C = (x_0, y_0) = \left( – \ \frac{a}{2} , – \ \frac{b}{2} \right) = $$

Adesso grazie alle coordinate del centro e con la conoscenza del termine noto c possiamo ricavare il raggio:

$$ c=x_0^2 +y_0^2 -r^2 $$

Invertendo la c e il quadrato del raggio nell’equazione ricaviamo:

$$ r^2 =x_0^2 +y_0^2 -c $$

Mettendo sotto la radice entrambi i termini ricaviamo il nostro raggio r:

$$ r = \sqrt{ x_0^2 +y_0^2 -c } $$

Ricordiamo che questa equazione di secondo grado non ammette soluzione negativa poiché il raggio è un elemento geometrico, quindi sempre positivo.

Se vogliamo ricavare il raggio in funzione dei parametri a, b e c scriviamo:

$$ r = \sqrt{ \left(- \ \frac{a}{2} \right)^2 +\left(- \ \frac{b}{2} \right)^2 -c } = \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} -c} $$

ESEMPIO 1

Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:

$$ \gamma x^2 +y^2 +6x -4y +1 =0 $$

Riportiamo per prima cosa i dati relativi ai parametri a, b e c:

$$ a=6 \quad b=-4 \quad c=4 $$

Per prima cosa troviamo le coordinate del centro:

$$ C = (x_0, y_0) = \left( – \ \frac{a}{2} , – \ \frac{b}{2} \right) = \left( – \ \frac{6}{2} , – \ \frac{-4}{2} \right) $$

$$ C = (-3, 2) $$

Ora non ci resta che trovare il raggio:

$$ r = \sqrt{ x_0^2 +y_0^2 -c } = \sqrt{ (-3)^2 +2^2 -4 }$$

$$ r = \sqrt{9+4-4} = \sqrt{9} = 3 $$

Adesso che abbiamo le coordinate del centro possiamo rappresentare la circonferenza nel grafico cartesiano.

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