CIRCONFERENZA – DEFINIZIONE
Già dai tempi di Euclide tra il IV e il III secolo a.C. la circonferenza era oggetto di studio e di grande attenzione.
La circonferenza viene definita il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto dato detto centro e la distanza costante è il raggio
LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
FORMA ESPLICITA
Preso un punto C detto centro di coordinate
E un raggio di lunghezza r, possiamo l’equazione esplicita della circonferenza di centro C e raggio r è la seguente:
Per arrivare a questa formula seguiamo il seguente ragionamento:
Consideriamo un punto P(x; y) tale che appartiene alla circonferenza.
Per la definizione stessa di circonferenza questo punto deve mantenere costante la distanza dal centro e tale distanza deve essere pari al raggio.
L’equazione della circonferenza gamma che stiamo cercando si ottiene proprio imponendo che la distanza tra il punto P e il centro C è pari al raggio r.
Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo:
Elevando dunque entrambi i membri alla seconda otteniamo proprio l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:
ESEMPIO
Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2
Il centro C ha coordinate:
Mentre il raggio r è pari a:
Consideriamo ora un generico punto P di coordinate (x;y) che appartiene alla circonferenza:
Imponiamo che la distanza tra il punto e il centro sia pari al raggio:
Inserendo i valori che conosciamo otteniamo:
Ora eleviamo entrambi i membri alla seconda:
Abbiamo ottenuto la forma esplicita della circonferenza interessata.
DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE ESPLICITA
Considerate il seguente grafico e trovate l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita.
Osservando la circonferenza emergono immediate le coordinate del centro C e la lunghezza del raggio r:
Applichiamo la formula della circonferenza:
Inserendo i dato otteniamo:
CIRCONFERENZA NELLA FORMA IMPLICITA
Vediamo ora di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma implicita.
Partiamo dall’equazione della circonferenza nella forma esplicita:
Sviluppiamo i due quadrati di binomio:
Spostiamo tutto a sinistra e riorganizziamo i termini:
Sostituendo con:
Otteniamo l’equazione esplicita:
ESEMPIO
Trova l’equazione della circonferenza con centro C(3;1) e raggio 2
Riportiamo per prima cosa i dati riguardanti il centro C e il raggio r:
Il nostro scopo è quello di trovare l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:
A questo punto ci calcoliamo i parametri a, b e c mediante la loro definizione:
Ed ecco l’equazione della circonferenza che stiamo cercando:
DALL’EQUAZIONE IMPLICITA AL GRAFICO
A questo punto abbiamo gli strumenti per poter rappresentare una circonferenza partendo proprio dall’equazione esplicita;
Sapendo che i termini a e b sono il doppio negativo delle coordinate del centro possiamo ricavare proprio queste ultime:
L’ascissa del centro è la metà di a cambiata di segno, mentre l’ordinata del centro è la metà di b cambiata di segno.
Adesso grazie alle coordinate del centro e con la conoscenza del termine noto c possiamo ricavare il raggio:
Invertendo la c e il quadrato del raggio nell’equazione ricaviamo:
Mettendo sotto la radice entrambi i termini ricaviamo il nostro raggio r:
Ricordiamo che questa equazione di secondo grado non ammette soluzione negativa poiché il raggio è un elemento geometrico, quindi sempre positivo.
Se vogliamo ricavare il raggio in funzione dei parametri a, b e c scriviamo:
Che potremmo anche scrivere così:
ESEMPIO
Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:
Riportiamo per prima cosa i dati relativi ai parametri a, b e c:
Per prima cosa troviamo le coordinate del centro:
Ora non ci resta che trovare il raggio:
ESEMPIO
Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:
Per prima cosa riportiamo i dati sui parametri a, b e c.
Da questi possiamo derivare le coordinate del centro e il raggio.
Partiamo dalle coordinate del centro:
Ora passiamo al raggio:
Adesso che abbiamo le coordinate del centro possiamo rappresentare la circonferenza nel grafico cartesiano.
Rappresenta la circonferenza la circonferenza gamma di equazione:
