INDICE
BISETTRICE DI UN ANGOLO – DEFINIZIONE
La bisettrice di un angolo è la semiretta (o anche la retta) che divide l’angolo in due parti congruenti.
Ricordiamo che l’angolo è la parte di piano delimitata da due semirette (o anche rette).
Definita in maniera più tecnica la bisettrice è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti delle rette che generano l’angolo.
Avendo tirato in ballo il concetto di “rette” è bene precisare che possiamo individuare due bisettrici rispetto a queste rette, che risultano perpendicolari tra di loro.
BISETTRICI NEL SISTEMA CARTESIANO
Ma dunque se ci troviamo nel sistema cartesiano come facciamo a determinare l’equazione della bisettrice?
Cominciamo con il considerare le equazioni di due rette che dividono il piano in quattro angoli:
$$ \begin{array}{l} r: \quad ax+by+c=0 \\ s: \quad a’x+b’y+c’=0 \end{array} $$
Stando alla definizione di bisettrice essa è il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti alle due rette.
Consideriamo dunque un generico punto P di questa bisettrice con generiche coordinate (x,y)
$$ P(x,y) \in \ \text{ bisettrice} $$
Adesso andiamo ad imporre la condizione di appartenenza alla bisettrice ovvero che la sua distanza dalla retta r è uguale alla sua distanza dalla retta s
$$\text{dist} (P,r) = \text{dist}(P,s) $$
Analiticamente applichiamo quindi la distanza di un punto da una retta per entrambi i membri dell’equazione:
$$ \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a’x+b’y+c’|}{\sqrt{a’^2+b’^2}} $$
Togliendo il valore assoluto ecco che otteniamo l’equazione delle due bisettrici:
$$ \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}} =\pm \frac{a’x+b’y+c’}{\sqrt{a’^2+b’^2}} $$
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ESEMPIO DI CALCOLO DELLA BISETTRICE
Date le rette r e s di equazione:
$$ r:\ 3x+2y-1=0 \quad s:\ 2x-3y+4=0 $$
Determina l’equazione della bisettrice:
Per prima cosa andiamo a rappresentare le due rette all’interno del sistema cartesiano.
Per farlo può essere utile ricavare le equazioni delle due rette nella forma esplicita.
$$ \begin{array}{l} r:& 3x-2y-1=0 &\to& y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} \\ s: & 2x-3y+4 &\to& y= \frac{3}{2}x + \frac{4}{3} \end{array} $$
Consideriamo adesso un generico punto P che appartiene alla bisettrice dell’angolo formato dalle due rette:
$$ P(x,y) \in \ \text{ bisettrice} $$
Imponiamo quindi che la distanza dal punto sia eguale da entrambe le rette, applicando la definizione di distanza da un punto da una retta.
$$\begin{array}{l} \text{dist} (P,r) = \text{dist}(P,s) \\ \ \\ \frac{|3x-3y-1|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|2x-3y+4|}{2^2 +(-3)^2} \end{array} $$
Ricordiamo poi che per sciogliere il modulo applichiamo la regola matematica secondo cui:
$$ |t| = k>0 \to t= \pm k $$
Ripartiamo dunque dall’ultimo passaggio svolgendo passo a passo tutti calcoli:
$$ \frac{|3x-3y-1|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|2x-3y+4|}{2^2 +(-3)^2} $$
Sciogliamo il valore assoluto:
$$ \frac{3x-3y-1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{2x-3y+4}{2^2 +(-3)^2} $$
Eliminiamo i denominatori che risultano di identico valore:
$$ 3x-3y-1 = \pm (2x-3y+4) $$
A questo punto ci troviamo di fronte alle equazioni di due rette.
PRIMA BISETTRICE
Partiamo dalla prima retta con il segno +
$$ 3x-3y-1 = 2x-3y+4 $$
Spostiamo tutto sul lato sinistro sommando i termini simili ed otteniamo l’equazione della retta nella sua forma implicita.
$$ x+y-5=0 $$
Per esplicitarla basta che lasciamo la y a sinistra e spostiamo il resto a destra.
$$ y = -x+5 $$
SECONDA BISETTRICE
Proseguiamo ora con la seconda retta con il segno –
$$ 3x-3y-1 = -2x+3y-4 $$
Anche in questo per ottenere l’equazione della seconda bisettrice nella forma implicita spostiamo tutto sommando sul lato di sinistra.
$$ 5x-5y+3=0 $$
Per ottenere la corrispondente forma esplicita basta che isoliamo la y a sinistra:
$$ 5y= 5x+3 \to y = x + \frac{3}{5} $$
Come possiamo facilmente notare delle equazioni delle bisettrici scritte nella forma esplicita queste risultano tra di loro perpendicolari in quanto i coefficienti angolari che sono uno l’anti-reciproco dell’altro.
$$ b:\ y= -x+5 \quad b’:\ y= x+ \frac{3}{5} $$
Adesso possiamo rappresentare graficamente la situazione
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