L’equazione della circonferenza in forma esplicita è:
$$ \gamma: \quad (x- \alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2 \\ \ \\ \ \\ \text{$(\alpha, \beta)$ sono le coordinate del centro} \\ \text{$r$ è il raggio della circonferenza} $$
Mentre quella in forma implicita è:
$$ \gamma: \quad x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ \ \\ \ \\ a = -2\alpha \quad b=-2 \beta \quad c = \alpha^2 + \beta^2 – r^2 $$
INDICE
LA CIRCONFERENZA NEGLI ELEMENTI
La definizione di circonferenza è molto antica ed è stata descritta sin dai tempi degli antichi greci.
In particolare in una delle opere antiche più importanti, “Gli elementi di Euclide”, l’autore stesso scriveva:
Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette, le quali cadano sulle [stessa] linea, [cioè sulla circonferenza del cerchio,] a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali tra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti della circonferenza del centro, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.
LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO
Oggi troviamo una definizione più moderna di circonferenza intesa come luogo geometrico.
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del pano che sono equidistanti da un punto detto centro.
Questa distanza che è sempre costante viene detto raggio della circonferenza.
LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
Grazie all’opera del matematico Cartesio (1596-1650) nella prima metà del XVII secolo la geometria antica si incontra con la moderna algebra.
In questo modo è stato possibile scrivere in modo analitico l’equazione della circonferenza in quello che oggi chiamiamo il piano cartesiano.
EQUAZIONE ESPLICITA DELLA CIRCONFERENZA
Consideriamo un punto C nel sistema cartesiano:
$$ C(\alpha, \beta) \quad \text{è il centro della circonferenza} $$
dove C è il centro della nostra circonferenza.
Prendiamo un valore del raggio r:
$$ r=\ \text{raggio della circonferenza} $$
Applichiamo ora la definizione di circonferenza come luogo geometrico dei punti del piamo che sono equidistanti dal centro.
Perciò prendiamo un generico punto P del sistema cartesiano appartenente alla circonferenza che chiamiamo 𝛾 (gamma)
$$ P(x,y) \in \gamma $$
Imponiamo che la distanza tra il punto P e il centro C valga r:
$$ \gamma: \quad \text{dist}(P,C) = r $$
Applicando la definizione di distanza tra due punti scriviamo che:
$$ \sqrt{(x- \alpha)^2 +(y- \beta)^2} = r $$
Eleviamo entrambi i termini al quadrato e otteniamo l’equazione nella forma esplicita della circonferenza:
$$ (x- \alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2 $$
La chiamiamo equazione esplicita poiché dall’equazione riusciamo subito a capire quali sono le coordinate dal centro e la lunghezza del raggio.
In questo senso possiamo affermare che i parametri della circonferenza (centro e raggio) vengono esplicitati.
EQUAZIONE IMPLICITA DELLA CIRCONFERENZA
Ripartiamo ora dall’equazione esplicita:
$$ (x- \alpha)^2 + (y- \beta)^2 = r^2 $$
Sulla sinistra sviluppiamo o i due quadrati di binomio e spostiamo sempre a sinistra il quadrato del raggio.
$$ x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +y^2 – 2 \beta y + \beta^2 – r^2 = 0 $$
Ora riordiniamo in termini del polinomio di sinistra mettendo: prima i quadrati delle x e delle y, poi le x e le y, e poi i termini senza x e y
$$ x^2 +y^2 – 2\alpha x – 2 \beta y + ( \alpha^2 + \beta^2 -c ) =0 $$
Ora non ci resta che introdurre i nuovi parametri a,b,c rispettivamente pari a:
$$ a = -2 \alpha \quad b = – 2 \beta \quad c = \alpha^2 + \beta^2 -r^2 $$
Ed ecco che otteniamo l’equazione esplicita della nostra circonferenza.
$$ \gamma: \quad: x^2+y^2 +ax+by+c = 0 $$
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EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA – ESEMPIO
Determina l’equazione delle circonferenza con i rispettivi centri e raggi:
$$ \begin{array}{l} \gamma_1: \quad C_1 (2,3) \quad r_1 = 5 \\ \gamma_2: \quad C_2 (-3,0) \quad r_2 = 2 \\ \gamma_3: \quad C_3 (-1,-4) \quad r_3 = 3 \end{array} $$
PRIMA CIRCONFERENZA
Partiamo dalla prima circonferenza di centro e raggio pari a:
$$ C_1 (2,3) \quad r_1 = 5 $$
Determiniamo subito con la formula l’equazione esplicita:
$$ \gamma_1: \quad (x-2)^2 +(y-3)^2 = 25 $$
Per determinare l’equazione implicita possiamo andare a svolgere i due quadrati di binomio e spostare tutto a sinistra:
$$ \begin{array}{l} x^2 -4x+4 +y^2-6y+9-25=0 \\ x^2 +y^2-4x-6y+(4+9-25)=0 \\ x^2 +y^2-4x-6y-12=0 \end{array} $$
Il secondo modo per determinare l’equazione nella forma partendo direttamente dai dati iniziali:
$$ C_1 (2,3) \quad r_1 = 5 $$
e ricavare i parametri a,b,c con le formule scritte sopra:
$$ \begin{array}{l} \gamma_1: & x^2+y^2+ax+by+c= 0 \\ & \alpha = 2 \quad \beta= 3 \quad r = 5 \end{array} $$
Il parametro a è il doppio negativo dell’ascissa del centro:
$$ a = -2\alpha = -2 \cdot 2 = -4 $$
Il parametro b è il doppio negativo dell’ordinata del centro:
$$ b = – 2 \beta = -2 \cdot 3 = -6 $$
Mentre il parametro c è la somma dei quadrati delle coordinate del centro cui sottraiamo il quadrato del raggio
$$ \begin{array}{l} c = \alpha^2 + \beta^2 – r^2 \\ c = 2^2+3^2-5^2 = 4+9-25 = -12 \end{array} $$
Ecco infine la nostra equazione implicita della circonferenza:
$$ \gamma_1: \quad x^2+y^2-4x-6y-12 =0 $$
SECONDA CIRCONFERENZA
Proseguiamo con la seconda circonferenza di centro e raggio pari a:
$$ C_2 (-3,0) \quad r_2 = 2 $$
Determiniamo subito con la formula l’equazione esplicita:
$$ \gamma_2 : \quad (x+3)^2+y^2 = 4 $$
Per determinare l’equazione implicita svolgiamo il quadrato di binomio e spostare tutto a sinistra:
$$ \begin{array}{l} x^2+6x+9+y^2-4=0 \\ x^2+y^2-6x+5 = 0 \end{array}$$
Il secondo modo per determinare l’equazione nella forma partendo direttamente dai dati iniziali:
$$ C_2 (-3,0) \quad r_2 = 2 $$
e ricavare i parametri a,b,c con le formule scritte sopra:
$$ \begin{array}{l} \gamma_2: & x^2+y^2+ax+by+c= 0 \\ & \alpha = 6 \quad \beta= 0 \quad r = 2 \end{array} $$
Il parametro a è il doppio negativo dell’ascissa del centro:
$$ a = -2 \alpha = -2 \cdot (-3) = 6 $$
Il parametro b è il doppio negativo dell’ordinata del centro:
$$ b = -2 \beta = -2 \cdot 0 =0 $$
Mentre il parametro c è la somma dei quadrati delle coordinate del centro cui sottraiamo il quadrato del raggio
$$ c = \alpha^2 + \beta^2 -c = 9+0-4= 5 $$
Ecco infine la nostra equazione implicita della circonferenza:
$$ \gamma_2 : \quad x^2+y^2-6x+5 = 0 $$
TERZA CIRCONFERENZA
Proseguiamo con la seconda circonferenza di centro e raggio pari a:
$$ \gamma_3: \quad C_3 (-1,-4) \quad r_3 = 3 $$
Determiniamo subito con la formula l’equazione esplicita:
$$ (x+1)^2 + (y+4)^2= 9 $$
Per determinare l’equazione implicita svolgiamo il quadrato di binomio e spostare tutto a sinistra:
$$ \begin{array}{l} x^2+2x+1+y^2+8y+16-9=0 \\ x^2+y^2+2x+8y +(1+16-9)=0 \\ x^2+2x+8y+8=0 \end{array} $$
Il secondo modo per determinare l’equazione nella forma partendo direttamente dai dati iniziali:
$$ \gamma_3: \quad C_3 (-1,-4) \quad r_3 = 3 $$
e ricavare i parametri a,b,c con le formule scritte sopra:
$$ \begin{array}{l} \gamma_3: & \quad x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ & \alpha =-1 \quad \beta=-4 \quad r=3 \end{array}$$
Il parametro a è il doppio negativo dell’ascissa del centro:
$$ a = -2 \alpha = -2 \cdot (-1) = 2 $$
Il parametro b è il doppio negativo dell’ordinata del centro:
$$ b= -2 \beta = -2 \cdot (-4) = 8 $$
Mentre il parametro c è la somma dei quadrati delle coordinate del centro cui sottraiamo il quadrato del raggio
$$ \begin{array}{l} c = \alpha^2 + \beta^2 -r^2 \\ c=(-1)^2 + (-4)^2 -3^2 = 1+16-9=8 \end{array}$$
Ecco infine la nostra equazione implicita della circonferenza:
$$ \gamma_3: \quad x^2+y^2+2x+8y+8=0 $$
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