METODO DEL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO – ELLISSE TRASLATA
Il metodo del completamento del quadrato è una tecnica che permette di trasformare un trinomio di secondo grado nella forma generica
$$ ax^2+bx+c $$
In una forma del tipo:
$$ a(x-x_0)^2+ k $$
Con k che può essere una costante positiva oppure negativa.
Applicato alla teoria delle coniche contribuisce a ricavare l’equazione esplicita a partire dall’equazione implicita.
Ad esempio se ci viene data l’equazione di una ellisse nella forma implicita del tipo:
$$ \gamma’: \quad a’x^2+b’y^2+c’x+d’y+e’=0 $$
grazie al metodo del completamento del quadrato riusciamo a giungere alla forma esplicita del tipo:
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = $$
Dunque riusciamo a capire il centro della nuova ellisse traslata ed il conseguente vettore traslazione
$$ O'(x_0,y_0) \to v= (x_0, y_0) $$
METODO DEL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO – ESEMPIO UNO
Determina la forma canonica per la seguente ellisse traslata
$$ \gamma: \quad 9x^2+y^2-18x+4y+12=0 $$
SVOLGIMENTO
L’equazione dell’ellisse di partenza è:
$$ \gamma: \quad 9x^2+y^2-18x+4y+12=0 $$
Per applicare il metodo del completamento del quadrato cominciamo a separare le x dalle y in questo modo:
$$ (9x^2-18x)+(y^2+4y)+12=0 $$
Cominciamo quindi a concentrarci sulle x.
Raccogliamo a fattor comune il termine che moltiplica il quadrato della x:
$$ 9(x^2-2x)+(y^2+4y)+12=0 $$
PRIMO COMPLETAMENTO DI QUADRATO
Ora volgiamo l’attenzione al polinomio in dentro la prima parentesi:
$$ 9( \color{green}{ x^2-2x})+(y^2+4y)+12=0 $$
Dobbiamo trovare quel termine c2 che completa il quadrato di binomio:
$$ x^2-2x \color{red}{+c^2} $$
Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:
$$ \begin{array}{l} \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$\color{red}{c^2}$ è il quadrato di $\color{red}{c}$} \\ \text{$-2x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $\color{red}{c}$ } \end{array} $$
In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x $$
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2x ottenendo il valore della c:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x \to c= -1$$
Da che troviamo il suo quadrato:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x \to c= -1 \to c^2= 1$$
Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.
Poiché tutta la prima parentesi è moltiplicata per 9 allora dovremo moltiplicare per 9 anche la quantità negativa.
L’equazione a questo punto diventa:
$$ \gamma: \quad 9(x^2-2x \color{red}{+1})+(y^2+4y)+12 \color{red}{-9}=0 $$
SECONDO COMPLETAMENTO DI QUADRATO
Occupiamoci ora della seconda parentesi:
$$ \gamma: \quad 9(x^2-2x \color{red}{+1})+( \color{green}{y^2+4y})+12 \color{red}{-9}=0 $$
Dobbiamo trovare quel termine c2 che completa il quadrato di binomio:
$$ y^2+4y + \color{blue}{c^2} $$
Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:
$$ \begin{array}{l} \text{$y^2$ è il quadrato di $y$} \\ \text{$\color{blue}{c^2}$ è il quadrato di $\color{blue}{c}$} \\ \text{$+4y$ è il doppio prodotto tra $y$ e $\color{blue}{c}$ } \end{array} $$
In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 4y $$
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2y ottenendo il valore della c:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 4y \to c= 2$$
Da che troviamo il suo quadrato:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 4y \to c= 2 \to c^2= 4$$
Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.
L’equazione a questo punto diventa:
$$ \gamma: \quad 9(x^2-2x \color{red}{+1})+( y^2+4y \color{blue}{+4} )+12 \color{red}{-9} \color{blue}{+4}=0 $$
Descrivendo tutto in un passaggio abbiamo che:
EQUAZIONE IN FORMA IMPLICITA DELL’ELLISSE TRASLATA
Adesso che abbiamo completato i quadrati andiamo a compattare tutto:
$$ \begin{array}{l} \gamma: & 9(x^2-2x \color{red}{+1})+( y^2+4y \color{blue}{+4} )+12 \color{red}{-9} \color{blue}{+4}=0 \\ & 9(x-1)^2+(y+2)^2 -1 = 0 \end{array} $$
Spostiamo a destra la costante
$$ \gamma: \quad 9(x-1)^2 + (y-2)^2= 1 $$
Poiché questa risulta pari a 1 non dobbiamo fare altro che riscrimere meglio il termini di sinistra in questo modo:
$$ \gamma: \quad \frac{(x-1)^2}{\frac{1}{9}} + \frac{ (y-2)^2}{1}= 1 $$
Siamo dunque giunti alla forma esplicita della nostra ellisse traslata:
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$
Dunque possiamo facilmente ricavare il nuovo centro O’ pari al vettore traslazione v:
$$ O’= v= (1,-2) $$
I raggi orizzontale e verticale e la semi-distanza focale risultano:
$$ a= \frac{1}{3} \quad b= 1 \quad c = \sqrt{\frac{2}{3}} $$
Riportiamo sotto il grafico con gli ultimi calcoli.
METODO DEL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO – ESEMPIO DUE
Determina la forma canonica per la seguente ellisse traslata
$$ \gamma: \quad 4x^2+9y^2-8x+18y-23=0 $$
SVOLGIMENTO
L’equazione dell’ellisse di partenza è:
$$ \gamma: \quad 4x^2+9y^2-8x+18y-23= 0 $$
Per applicare il metodo del completamento del quadrato cominciamo a separare le x dalle y in questo modo:
$$ \gamma: \quad (4x^2-8x)+(9y^2+18y)-23=0 $$
Cominciamo quindi a concentrarci sulle x.
Raccogliamo a fattor comune il termine che moltiplica il quadrato delle x e delle y.
$$ \gamma: \quad 4(x^2-2x)+9(y^2+2y)-23=0 $$
PRIMO COMPLETAMENTO DI QUADRATO
Ora volgiamo l’attenzione al polinomio in dentro la parentesi:
$$ \gamma: \quad 4( \color{green}{x^2-2x})+9(y^2+2y)-23=0 $$
Dobbiamo trovare quel termine c2 che completa il quadrato di binomio:
$$ x^2-2c+\color{red}{c^2} $$
Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:
$$ \begin{array}{l} \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$\color{red}{c^2}$ è il quadrato di $\color{red}{c}$} \\ \text{$-2x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $\color{red}{c}$ } \end{array} $$
In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x $$
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2x ottenendo il valore della c:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x \to c= -1$$
Da che troviamo il suo quadrato:
$$ 2 \color{red}{c} x = -2x \to c= -1 \to c^2= 1$$
Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.
Poiché tutta la prima parentesi è moltiplicata per 9 allora dovremo moltiplicare per 9 anche la quantità negativa.
L’equazione a questo punto diventa:
$$ \gamma: \quad 4(x^2-2x \color{red}{+1}) +9(y^2+2y)-23 \color{red}{-4} = 0 $$
SECONDO COMPLETAMENTO DI QUADRATO
Occupiamoci ora della seconda parentesi:
$$ \gamma: \quad 4(x^2-2x \color{red}{+1}) +9(\color{green}{y^2+2y})-23 \color{red}{-4} = 0 $$
Dobbiamo trovare quel termine c2 che completa il quadrato di binomio:
$$ y^2+2y + \color{blue}{c^2} $$
Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:
$$ \begin{array}{l} \text{$y^2$ è il quadrato di $y$} \\ \text{$\color{blue}{c^2}$ è il quadrato di $\color{blue}{c}$} \\ \text{$+2y$ è il doppio prodotto tra $y$ e $\color{blue}{c}$ } \end{array} $$
In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 2y $$
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2y ottenendo il valore della c:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 4y \to c= 1$$
Da che troviamo il suo quadrato:
$$ 2 \color{blue}{c}y= 4y \to c= 1 \to c^2= 1$$
Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.
L’equazione a questo punto diventa:
$$ \gamma: \quad 4(x^2-2x \color{red}{+1}) +9(y^2+2y \color{blue}{+1})-23 \color{red}{-4} \color{blue}{-9}= 0 $$
Rappresentiamo i passaggi in maniera più sintetica
EQUAZIONE IMPLICITA DELL’ELLISSE TRASLATA
Adesso che abbiamo completato i quadrati andiamo a compattare tutto:
$$ \begin{array}{l} 4(x^2-2x \color{red}{+1}) +9(y^2+2y \color{blue}{+1})-23 \color{red}{-4} \color{blue}{-9}= 0 \\ 4(x-1)^2+9(y+1)^2-36=0 \end{array} $$
Spostiamo a destra la costante
$$ \gamma: \quad 4(x-1)^2+9(y+1)^2=36$$
Dividiamo tutto per 36 di modo da avere sulla destra il numero 1:
$$ \gamma: \quad \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1 $$
Siamo dunque giunti alla forma esplicita della nostra ellisse traslata:
$$ \gamma: \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$
Dunque possiamo facilmente ricavare il nuovo centro O’ pari al vettore traslazione v:
$$ O’= v= (1,-1) $$
I raggi orizzontale e verticale e la semi-distanza focale risultano:
$$ a= 3 \quad b= 2 \quad c= \sqrt{5} $$
Riportiamo sotto il grafico con gli ultimi calcoli.
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