INDICE
LA TRASLAZIONE DELL’ELLISSE
In questo articolo vediamo come funziona la traslazione dell’ellisse.
L’equazione dell‘ellisse traslata è:
$$ \large \gamma’ : \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$
Essa di ottiene dall’equazione dell’ellisse nella forma canonica o esplicita con centro nell’origine:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Il cui nuovo centro viene spostato nel punto generico O’ di coordinate:
$$ O’ (x_0, y_0) $$
Possiamo anche dire che trasliamo questa ellisse di un vettore v le cui componenti sono pari alle coordinate del nuovo centro O’
$$ v= (x_0, y_0) $$
LA TRASLAZIONE DELL’ELLISSE – ESEMPIO UNO
SVOLGIMENTO
Cominciamo con il determinare l’equazione dell’ellisse nella forma canonica con centro nell’origine del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Dalla conoscenza dei vertici V1 e V2 possiamo facilmente determinare i due raggi dell’ellisse a e b:
$$ \begin{array}{l} V_1(2,0) &\to& a=2 &\to& a^2= 4 \\ V_2(0,3) &\to& b=3 &\to& b^2= 9 \end{array} $$
Dunque l’equazione della nostra ellisse base risulta essere:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 $$
Ora per traslare questa ellisse del vettore traslazione v:
$$ v= (3,5) $$
Basta semplicemente applicare la formula vista sopra
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-3)^2}{4} + \frac{(y-5)^2}{9} = 1 $$
Riportiamo sotto il grafico
Occupiamoci ora della seconda traslazione sempre a partire dalla conica:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 $$
Ora per traslare questa ellisse del vettore traslazione u:
$$ u= (-2,3) $$
Applichiamo ancora la formula giungendo alla nuova equazione:
$$ \gamma”: \quad \frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1 $$
Riportiamo sotto il grafico
FORMA IMPLICITA DELL’ELLISSE TRASLATA.
Andiamo adesso a sviluppare in maniera più estesa le equazioni delle ellissi traslate che sono scritte nella forma esplicita.
In questo modo andiamo a calcolare le equazioni nella forma implicita.
Partiamo dalla prima ellisse traslata:
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-3)^2}{4} + \frac{(y-5)^2}{9} = 1 $$
Moltiplichiamo a destra e a sinistra per il denominatore comune:
$$ 9(x-3)^2+4(y-5)^2= 36 $$
Sviluppiamo i quadrati di binomio e spostiamo tutto a sinistra:
$$ \begin{array}{l} 9(x^2-6x+9)+4(y^2-10y+25)= 36 \\ 9x^2-54x+81+4y^2-40y+100-36=0 \end{array} $$
Riordiniamo il polinomio a sinistra mettendo prima i quadrati della x e della y, poi le x e le y ed infine i numeri
$$ 9x^2-54x+4y^2-40y+(81+100-36)=0 $$
Ecco che abbiamo trovato l’equazione finale:
$$ \gamma’: \quad 9x^2-54x+4y^2-40y+145=0 $$
Passiamo ora alla seconda ellisse traslata ripetendo gli stessi passaggi:
$$ \begin{array}{l} \gamma”: & \frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1 \\ \ \\ & 9(x+2)^2+4(y-3)^2= 36 \\ & 9(x^2+4x+4)+4 (y^2-6y+9)= 36 \\ & 9x^2+36x+36+4y^2-24y+36-36 =0 \\ & 9x^2+36x+4y^2-24y+(36+36-36) =0 \end{array} $$
Infine dunque otteniamo:
$$ \gamma”: \quad 9x^2+36x+4y^2-24y+36 =0 $$
Piccola domanda
Se ci avessero dato l’ellisse scritta in questa forma implicita come avremmo fatto a ricavare il centro e il vettore traslazione?
Per rispondere a questa domanda ti consiglio di leggere il seguente articolo: metodo del completamento del quadrato
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LA TRASLAZIONE DELL’ELLISSE – ESEMPIO DUE
SVOLGIMENTO
In questo caso possediamo già l’equazione dell’ellisse di partenza
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $$
Da cui ricaviamo facilmente i due raggi a e b pari rispettivamente a:
$$ \begin{array}{l} a^2= 25 &\to& a= 5 \\ b^2= 4 &\to& b=4 \end{array} $$
Quello che dobbiamo a calcolare è il vettore traslazione.
Sappiamo che questo vettore sposta il vertice basso dell’ellisse nel vertice di una certa parabole.
Per calcolare il vettore dunque abbiamo bisogno di entrambe le coordinate di questi due punti per poi farne la differenza.
Per quanto riguarda il vertice basso dell’ellisse che chiamiamo B non ci sono grossi problemi
Ricaviamo le sue coordinate dal valore di b (raggio verticale) dell’ellisse e le sue coordinate sono:
$$ V(0,-4) $$
Passiamo ora al vertice della parabola:
$$ \delta: \quad y= -\frac{1}{4}x^2+x $$
I parametri della parabola sono:
$$ a= -\frac{1}{4} \quad b=1 \quad c=0 $$
Il suo delta vale:
$$ \Delat = b^2-4ac = 1^2-4 \left( \frac{1}{4} \right) \cdot 0 = 1
Ricordiamo che le coordinate del vertice di una parabola (chiamiamolo V’) si calcolano in questo modo:
$$ V’ \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) $$
Dunque inseriamo i dati a nostra disposizione:
$$ V’ \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left(- \frac{1}{2 \left(- \frac{1}{4} \right)} , – \frac{1}{4 \left(- \frac{1}{4} \right)} \right) = (2,1) $$
Ricapitolando sappiamo che il nostro vettore si sposta dal punto V al punto V’ rispettivamente pari a :
$$ V(0,-4) \quad V'(2,1) $$
Per calcolare dunque il vettore traslazione v facciamo la differenza tra il punto finale e il punto iniziale:
$$ v= V’-V= (2,1)-(0,-4) \to v= (2,5) $$
A questo punto andiamo a traslare di questo vettore l’ellisse di origine:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $$
La nostra ellisse traslata è dunque:
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-5)^2}{16} = 1 $$
SVILUPPO DELL’ EQUAZIONE IMPLICITA
Anche in questo caso possiamo rendere implicita questa equazione con i seguenti passaggi:
$$ \begin{array}{l} \gamma’: & \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-5)^2}{16} = 1 \\ \ \\ & 16(x-2)^2+25(y-5)^2= 400 \\ & 16(x^2-4x+4)+25(y^2-10y+25)= 400 \\ & 16x^2-64x+64+25y^2-250y+625-400=0 \\ & 16x^2-64x+25y^2-250y+(64+625-400)=0 \end{array} $$
Dunque ecco la forma finale:
$$ \gamma’: \quad 16x^2-64x+25y^2-250y+289=0 $$
Piccola domanda
Se ci avessero dato l’ellisse scritta in questa forma implicita come avremmo fatto a ricavare il centro e il vettore traslazione?
Per rispondere a questa domanda ti consiglio di leggere il seguente articolo: metodo del completamento del quadrato
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