RAPPRESENTARE L’ELLISSE

In questo articolo vediamo come rappresentare un’ellisse data la sua equazione canonica.

Prima di partire ricordiamo quale è l’equazione canonica dell’ellisse ed il significato pratico dei suoi parametri.

Se credete che la vostra conoscenza teorica sia ferrata in materia passate pure agli esempi pratici.

ELLISSE DEFINIZIONE ED EQUAZIONE

L’ellisse è una conica data dall‘intersezione di un cono con un piano.

Nel piano essa è definita come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi è costante.

La sua equazione canonica nel piano cartesiano è:

$$ \large{ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} \\ \ \\ \text{$a$ è il semiasse orizzontale} \\ \text{$b$ è il semiasse verticale} $$

Le coordinate dei fuochi sono:

$$ ( \pm c , 0)\ \text{ se i fuochi sono sull’asse x} \\ ( 0 , \pm c)\ \text{ se i fuochi sono sull’asse y} $$

ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X

Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c

Quando i fuochi appartengono all’asse delle x la relazione è:

$$ a> b \to \quad a^2= b^2+c^2 $$

In questo caso l’asse orizzontale di valore 2a diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\text{semi-distanza focale}}{\text{semi-asse focale}} $$

ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE Y

Mentre quando i fuochi appartengono all’asse delle y la relazione pitagorica tra i parametri a,b e c diventa:

$$ b> a \to \quad b^2= a^2+c^2 $$

In questo caso l’asse verticale di valore 2b diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

$$ e = \frac{b}{a} = \frac{\text{semi-distanza focale}}{\text{semi-asse focale}} $$

RAPPRESENTARE L’ELLISSE – ESERCIZIO UNO

Rappresenta le seguenti ellissi:

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \quad {x^2} + \frac{y^2}{4} = 1 \quad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \quad \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{47} = 1 $$

RAPPRESENTARE L’ELLISSE – PRIMA ELLISSE

Partiamo dall’equazione della prima ellisse

$$ \large{\gamma_1: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1} $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 9 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta 3

$$ a^2 = 9 \to a= 3 $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 4, quindi b è la sua radice pari a 2.

$$ b^2= 4 \to b= 2 $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle x dal momento che a risulta maggiore di b

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ c^2= a^2 -b^2 = 9-4 = 5 \\ \ \\ c= \sqrt{5} \to F_{1,2} = ( \pm \sqrt{5} , 0 ) $$

Il valore dell’eccentricità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (a nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$

Sotto riportiamo il grafico

RAPPRESENTARE L’ELLISSE – SECONDA ELLISSE

Partiamo dall’equazione della seconda ellisse

$$ \large{\gamma_2: \quad {x^2} + \frac{y^2}{4} = 1} $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 1 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta 1

$$ a^2 = 1 \to a= 1 $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 4, quindi b è la sua radice pari a 2.

$$ b^2= 4 \to b= 2 $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle y dal momento che b risulta maggiore di a

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ c^2= b^2 -a^2 = 4-1 = 3 \\ \ \\ c= \sqrt{3} \to F_{1,2} = ( 0, \pm \sqrt{3} ) $$

Il valore dell’eccentricità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (b nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Sotto riportiamo il grafico

RAPPRESENTARE L’ELLISSE – TERZA ELLISSE

Partiamo dall’equazione della terza ellisse

$$ \large{\gamma_3: \quad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1} $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 25 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta 5

$$ a^2 = 25 \to a= 5 $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 9, quindi b è la sua radice pari a 3.

$$ b^2= 9 \to b= 3 $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle x dal momento che a risulta maggiore di b

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ c^2= a^2 -b^2 = 25-9 = 16 \\ \ \\ c= \sqrt{14} = 4 \to F_{1,2} = ( \pm 4 , 0 ) $$

Il valore dell’eccentricità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (a nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} $$

Sotto riportiamo il grafico

RAPPRESENTARE L’ELLISSE – QUARTA ELLISSE

Partiamo dall’equazione della quarta ellisse:

$$ \large{\gamma_4: \quad \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{47} = 1} $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 3 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta radice quadrata di 3

$$ a^2 = 3 \to a= \sqrt{3} $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 47, quindi b è la sua radice pari a radice quadrata di 47.

$$ b^2= 47 \to b= \sqrt{47} $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle y dal momento che b risulta maggiore di a

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ c^2= b^2 -a^2 = 47-3= 44 \\ \ \\ c= \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} \to F_{1,2} = ( 0, \pm 2 \sqrt{11} ) $$

Il valore dell’eccentricità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (a nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{b} = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{47}} = 2 \sqrt{\frac{11}{47}} $$

Sotto riportiamo il grafico

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RAPPRESENTARE L’ELLISSE – ESERCIZIO DUE

Rappresenta le seguenti ellissi, ricavando prima la forma canonica:

$$ \begin{array}{l} x^2+4y^2= 9 & 9x^2+y^2 = 36 & 2x^2+3y^2= 1 \\ 5x^2+7y^2= 12 & 3x^2 = \frac{12-4y^2}{12} & \end{array} $$

PRIMA ELLISSE – FORMA CANONICA E RAPPRESENTAZIONE

Partendo dell’equazione data:

$$ \large{\gamma_1: \quad x^2+4y^2= 9} $$

Dividiamo tutto per 9 di modo da ricavare 1 sul lato destro

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{4y^2}{9} = \frac{9}{9} \to \frac{x^2}{9} + \frac{4}{9} y^2=1$$

Per giungere all’equazione nella forma canonica scriviamo meglio così:

$$ \gamma_1: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{\frac{9}{4}} = 1 $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 25 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta 5

$$ a^2= 9 \to a= 3 $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 9, quindi b è la sua radice pari a 3.

$$ b^2 = \frac{9}{4} \to b= \frac{3}{2} $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle x dal momento che a risulta maggiore di b

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ \begin{array}{l} c^2= a^2-b^2 = 9 – \frac{9}{4} = 9 \left( 1- \frac{1}{4} \right) = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4} \\ c= \sqrt{\frac{27}{4} } = \frac{3}{2} \sqrt{3} \to F_{1,2} = \left( \pm \frac{3}{2} \sqrt{3} , 0 \right) \end{array} $$

Il valore dell’eccentrità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (a nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{3}{2} \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Sotto riportiamo il grafico

SECONDA ELLISSE – FORMA CANONICA E RAPPRESENTAZIONE

Partendo dell’equazione data:

$$ \large{\gamma_2: \quad 9x^2 +y^2 = 36} $$

Dividiamo tutto per 36 di modo da ricavare 1 sul lato destro

$$ \frac{9 x^2}{36} + \frac{y^2}{36} = \frac{36}{36} \to \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} =1$$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 4 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta 2

$$ a^2= 4 \to a= 2 $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 36, quindi b è la sua radice pari a 6.

$$ b^2= 36 \to b= 6 $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle y dal momento che b risulta maggiore di a

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ \begin{array}{l} c^2= a^2 – b^2 = 36-4= 32 \\ c = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \to F_{1,2} = (0, \pm 4 \sqrt{2}) \end{array} $$

Il valore dell’eccentrità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (b nel nostro caso) 

$$ e = \frac{c}{b} = \frac{4 \sqrt{2}}{6} = \frac{2}{3} \sqrt{2} $$

Sotto riportiamo il grafico

TERZA ELLISSE – FORMA CANONICA E RAPPRESENTAZIONE

Partendo dell’equazione data:

$$ \large{\gamma_2: \quad 2x^2 +3y^2 = 1} $$

Scriviamola meglio così:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Ricordando l’equazione nella forma canonica:

$$ \gamma_3: \quad \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1 $$

Notiamo immediatamente che il quadrato di a (semi asse orizzontale) vale 1/2 e dunque imponendo la radice quadrato il valore di a risulta radice di (1/2), oppure la meta della radice di 2:

$$ a^2 = \frac{1}{2} \to a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Mentre il quadrato di b (semi asse verticale) vale 1/3, quindi b è la sua radice pari a radice quadrata di 1/3, oppure la terza parte di radice di 3:

$$ b^2 = \frac{1}{3} \to a = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

I fuochi dell’ellisse sono situati sull’asse delle x dal momento che a risulta maggiore di b

Per determinare le coordinate dei fuochi sfruttiamo la relazione pitagorica tra i parametri a, b e c, dunque:

$$ \begin{array}{l} c^2= a^2 – b^2 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \frac{1}{6} \\ c = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \to F_{1,2} = \left( \pm \frac{\sqrt{6}}{6} , 0 \right) \end{array} $$

Il valore dell’eccentrità è dato dal rapporto tra la semi-distanza focale c il semi asse focale (a nel nostro caso) 

$$ e= \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Sotto riportiamo il grafico

QUARTA ELLISSE – FORMA CANONICA E RAPPRESENTAZIONE

L’equazione della quarta ellisse è:

$$ \large{\gamma_4: \quad 5x^2 +7y^2 = 12} $$

Nella figura sotto mostriamo i principali calcoli con la forma canonica e la sua rappresentazione:

QUINTA ELLISSE – FORMA CANONICA E RAPPRESENTAZIONE

L’equazione della quinta ellisse è:

$$ \large{\gamma_4: \quad 3x^2 = \frac{12-4y^2}{12}} $$

Nella figura sotto mostriamo i principali calcoli e la sua rappresentazione:

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