In questo articolo vediamo come rappresentare le iperboli.
Prima di farlo rivediamo insieme quali sono le caratteristiche principali.
INDICE
FORMA CANONICA DELL’IPERBOLE
Quando i fuochi sono posizionati sull’asse delle x la forma canonica dell’iperbole è:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
Le sue principali caratteristiche sono:
Mentre quando i fuochi sono sull’asse y l’equazione canonica è:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
Le sue principali caratteristiche sono:Mentre quando i fuochi sono sull’asse y l’equazione canonica è:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
Le sue principali caratteristiche sono:
RAPPRESENTARE L’IPERBOLE – ESERCIZIO
Rappresenta le seguenti iperboli
$$ x^2-4y^2= \pm 9 \quad 9x^2-y^2= \pm 36 \quad 2x^2-3y^2 = \mp 1 \quad 3x^2 = \frac{4y^2 \mp 12}{12} $$
PRIMA IPERBOLE – RAPPRESENTARE L’IPERBOLE
Partiamo dalla prima iperbole con il segno più a destra
$$ x^2-4y^2 = 9 $$
Cerchiamo di scriverla nella forma canonica dividendo per 9 entrambi i termini dell’equazione
$$ \frac{x^2}{9} – \frac{4y^2}{9} = \frac{9}{9} \to \frac{x^2}{9} – \frac{4}{9}y^2= 1 $$
Aggiustiamo ora la seconda frazione con la regola del reciproco:
$$ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{\frac{9}{4}}= 1 $$
Ora che siamo giunti alla forma canonica del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
possiamo subito dedurre i valori dei due vertici reale e immaginario a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2= 9 &\to& a= 3 \\ b^2= \frac{9}{4} &\to& b = \frac{3}{2} \end{array} $$
Calcoliamo ora le coordinate dei fuochi sull’asse x sfruttando la relazione pitagorica che lega i parametri a, b e c:
$$ \begin{array}{l} c^2= a^2+b^2 = 9 + \frac{9}{4} = \left( 1+ \frac{1}{4} \right) = 9 \cdot \frac{5}{4} = \frac{45}{4} \\ c= \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3}{2} \sqrt{5} \to F_{1,2} \left( \pm \frac{3}{2} \sqrt{5}, 0 \right) \end{array} $$
L’eccentricità dell’iperbole è data dal rapporto tra la semi distanza focale e il semi-asse reale
$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{3}{2} \sqrt{5}}{3} = \frac{1}{2} \sqrt{5} $$
L’equazione dei due asintoti passanti per l’origine è:
$$ y= \pm \frac{b}{a} x \to y= \pm \frac{\frac{3}{2}}{3}x \to y = \pm \frac{1}{2}x $$
Riportiamone sotto il grafico.
PRIMA IPERBOLE VARIANTE
Se consideriamo la variante dell’iperbole con il segno negativo a destra
$$ x^2-4y^2 = \color{red}{-} 9 $$
Tutti i passaggi rimangono validi con l’eccezione che vi è un ribaltamento verticale dell’iperbole con l’inversione dei vertici reali e immaginari.
I fuochi in questo caso li troviamo sull’asse y
La forma canonica è:
$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{\frac{9}{4}}= \color{red}{-} 1 $$
L’eccentricità verrà calcolata in questo caso come c/b
SECONDA IPERBOLE – RAPPRESENTARE L’IPERBOLE
Partiamo dalla prima iperbole con il segno più a destra
$$ 9x^2-y^2 = 36 $$
Cerchiamo di scriverla nella forma canonica dividendo per 9 entrambi i termini dell’equazione
$$ \frac{9x^2}{36} – \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36} \to \frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{36}y^2= 1 $$
Ora che siamo giunti alla forma canonica del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
possiamo subito dedurre i valori dei due vertici reale e immaginario a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2= 4 &\to& a= 2 \\ b^2= 36 &\to& b = 6 \end{array} $$
Calcoliamo ora le coordinate dei fuochi sull’asse x sfruttando la relazione pitagorica che lega i parametri a, b e c:
$$ \begin{array}{l} c^2= a^2+b^2 =4+36 = 40 \\ c= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \to F_{1,2} \left( \pm 2\sqrt{10}, 0 \right) \end{array} $$
L’eccentricità dell’iperbole è data dal rapporto tra la semi distanza focale e il semi-asse reale
$$ e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} $$
L’equazione dei due asintoti passanti per l’origine è:
$$ y= \pm \frac{b}{a} x \to y= \pm \frac{6}{2}x \to y = \pm 3x $$
Riportiamone sotto il grafico.
SECONDA IPERBOLE VARIANTE
Se consideriamo la variante dell’iperbole con il segno negativo a destra
$$ 9x^2-y^2 = \color{red}{-}36 $$
Tutti i passaggi rimangono validi con l’eccezione che vi è un ribaltamento verticale dell’iperbole con l’inversione dei vertici reali e immaginari.
I fuochi in questo caso li troviamo sull’asse y
La forma canonica è:
$$ \frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{36}y^2= \color{red}{-}1 $$
L’eccentricità verrà calcolata in questo caso come c/b
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TERZA IPERBOLE – RAPPRESENTARE L’IPERBOLE
Passiamo alla terza iperbole con il segno più a destra
$$ 2x^2-3y^2= 1 $$
Riscriviamo la meglio in questo modo:
$$ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} – \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1 $$
Ora che siamo giunti alla forma canonica del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
possiamo subito dedurre i valori dei due vertici reale e immaginario a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2= \frac{1}{2} &\to& a= \sqrt{\frac{1}{2}} \\ b^2= \frac{1}{3} &\to& b = \sqrt{\frac{1}{3}} \end{array} $$
Calcoliamo ora le coordinate dei fuochi sull’asse x sfruttando la relazione pitagorica che lega i parametri a, b e c:
$$ \begin{array}{l} c^2= a^2+b^2 =\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{5}{6} \\ c= \sqrt{\frac{5}{6}} \to F_{1,2} \left( \pm \sqrt{\frac{5}{6}} , 0 \right) \end{array} $$
L’eccentricità dell’iperbole è data dal rapporto tra la semi distanza focale e il semi-asse reale
$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{\frac{5}{6}}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{5}{3}} $$
L’equazione dei due asintoti passanti per l’origine è:
$$ y= \pm \frac{b}{a} x \to y= \pm \frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{1}{3}}}x \to y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}x $$
Riportiamone sotto il grafico.
TERZA IPERBOLE VARIANTE
Se consideriamo la variante dell’iperbole con il segno negativo a destra
$$ 2x^2-3y^2= \color{red}{-}1 $$
Tutti i passaggi rimangono validi con l’eccezione che vi è un ribaltamento verticale dell’iperbole con l’inversione dei vertici reali e immaginari.
I fuochi in questo caso li troviamo sull’asse y
La forma canonica è:
$$ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} – \frac{y^2}{\frac{1}{3}} =\color{red}{-} 1 $$
L’eccentricità verrà calcolata in questo caso come c/b
QUARTA IPERBOLE – RAPPRESENTARE L’IPERBOLE
Per ultima abbiamo la quarta iperbole con il segno più a destra
$$ 3x^2= \frac{4y^2+12}{12} $$
Separiamo le due frazioni sulla destra
$$ 3x^2= \frac{y^2}{3} +1$$
Spostiamo il quadrato della y a sinistra e riscriviamo meglio la prima frazione con il alla seconda al numeratore
$$ \frac{x^2}{\frac{1}{3}} – \frac{y^2}{3} = 1 $$
Ora che siamo giunti alla forma canonica del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ c^2= a^2+b^2$$
possiamo subito dedurre i valori dei due vertici reale e immaginario a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2= \frac{1}{2} &\to& a= \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ b^2= 3 &\to& b = \sqrt{3} \end{array} $$
Calcoliamo ora le coordinate dei fuochi sull’asse x sfruttando la relazione pitagorica che lega i parametri a, b e c:
$$ \begin{array}{l} c^2= a^2+b^2 =\frac{1}{3}+3 = \frac{10}{3} \\ c= \sqrt{\frac{10}{3}} \to F_{1,2} \left( \pm \sqrt{\frac{10}{3}} , 0 \right) \end{array} $$
L’eccentricità dell’iperbole è data dal rapporto tra la semi distanza focale e il semi-asse reale
$$ e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{10}{3} \cdot 3} = \sqrt{10} $$
L’equazione dei due asintoti passanti per l’origine è:
$$ y= \pm \frac{b}{a} x \to y= \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} x \to y = \pm 3x $$
Riportiamone sotto il grafico.
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