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rette tangenti alla circonferenza

Per un punto esterno ad una circonferenza passano due rette tangenti.

Se vogliamo determinare in modo analitico l’equazione di queste due rette possiamo utilizzare due metodi:

  • Il metodo del delta uguale a zero
  • Il metodo della distanza dal centro uguale al raggio

RETTE TANGENTI CON IL METODO DEL DELTA

Partiamo dal primo metodo: ovvero quello del delta nullo

Consideriamo una circonferenza di equazione

 ed un punto P esterno ad essa:

Per controllare questa condizione dovremo avere che sostituendo le coordinate del punto all’interno dell’equazione della circonferenza ci risulterà un valore positivo:

Consideriamo ora il fascio proprio di rette con centro il punto P

 che possiamo anche riscrivere meglio così:

Ora mettiamo a sistema il fascio di rette con la circonferenza:

Sostituendo il valore della y ricavata dal fascio (seconda equazione) all’interno dell’equazione della circonferenza, ci uscirà un’equazione di secondo grado in x e con parametro m.

Per determinare i due coefficienti angolari andiamo ad imporre il valore del delta (in funzione di m) uguale a zero.

Ne risulterà un’equazione in m di secondo grado.

Questa imposizione è detta condizione di tangenza.

rette tangenti alla circonferenza

Scopri il corso di geometria cartesiana.

Per i più curiosi di voi riporto i passaggi (non tutti) che determinano questo polinomio di secondo grado:

rette tangenti alla circonferenza
rette tangenti alla circonferenza

Scopri il corso di geometria cartesiana.

ESEMPIO – CALCOLO TANGENTI ALLA CIRCONFERENZA

Determina l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione:

 condotta dal punto 

Cominciamo con una rappresentazione grafica della figura e per questo motivo ci servono il centro C e il raggio r della circonferenza:

rette tangenti alla circonferenza

Consideriamo ora il fascio di rette proprio passante per il punto P:

rette tangenti alla circonferenza

Mettiamo ora a sistema il fascio di rette con la nostra circonferenza:

Sostituendo la y del fascio nell’equazione della circonferenza otteniamo l’equazione parametrica:

Sviluppando i conti che vedremo nella figura sotto giungiamo ad una equazione di secondo grado in x, dove i parametri a,b,c dipendo dal valore del coefficiente angolare m del fascio.

Dunque ad una equazione del tipo:

Scopri il corso di geometria cartesiana.

rette tangenti alla circonferenza

Adesso non ci resta che imporre la condizione di tangenza, ovvero che il delta di questa equazione sia uguale a zero.

Dove il delta è un polinomio di secondo grado che dipende dalla m:

Essendo che il parametro b è multiplo di 2, nel nostro caso possiamo anche imporre il delta quarti uguale a zero.

Nella figura sotto mostriamo tutti i calcoli:

rette tangenti alla circonferenza

Siamo giunti dunque all’equazione di secondo grado in m:

Calcoliamo il delta di questa equazione e risolviamo applicando la formula risolutiva:

Questi sono i valori dei coefficienti del fascio che rendono le rette tangenti alla circonferenza.

Notiamo inoltre (caso particolare) che queste due rette risultano tra loro perpendicolari dal momento i coefficienti angolari sono l’uno anti-reciproco dell’altro.

rette tangenti alla circonferenza

Ora per trovare le due rette tangenti alla circonferenza non ci resta che sostituire i  due coefficienti angolari all’interno dell’equazione del fascio:

Partiamo con l’inserimento del primo coefficiente angolare.

Ed ecco l’equazione della retta esplicita, che con un passaggio possiamo rendere anche esplicita:

Procediamo ora con l’inserimento del secondo coefficiente angolare:

Ecco che abbiamo ottenuto l’equazione esplicita che possiamo rendere tranquillamente implicita:

rette tangenti alla circonferenza

Andiamo a riepilogare con un bel grafico tutti i valori che abbiamo trovato.

rette tangenti alla circonferenza

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RETTE TANGENTI : METODO DELLA DISTANZA DAL CENTRO

Il secondo modo per determinare l’equazione della retta tangente ad una circonferenza condotta da un punto esterno è il metodo della distanza dal centro.

Consideriamo ancora la nostra circonferenza di equazione:

 il cui centro e raggio valgono rispettivamente:

Consideriamo inoltre sempre il nostro punto P esterno alla circonferenza e il fascio di rette che passano per esso:

Che scritto nella forma esplicita risulta essere:

Scriviamolo ora nella forma implicita:

Sapendo che nel punto di tangenza il raggio risulta perpendicolare, andiamo ad imporre che la distanza dal centro alla retta risulta pari al raggio:

Andiamo dunque applicare la formula per la distanza punto retta sul lato sinistro dell’equazione:

Elevando ambo i termini alla seconda e aggiustando un po’ in conti perverremo ad una equazione di secondo grado con incognita m del tipo:

Da cui ricaveremo i due valori di m con la formula (o con altri metodi di scomposizione) che poi andremo a sostituire nel fascio per determinare le tangenti.

rette tangenti alla circonferenza

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RETTE TANGENTI : METODO DELLA DISTANZA DAL CENTRO – ESEMPIO

Riproponiamo lo stesso esercizio di prima con questo metodo:

Determina l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione:

 condotta dal punto 

Rappresentiamo il grafico:

rette tangenti alla circonferenza

Determiniamo il fascio di rette passanti per P:

rette tangenti alla circonferenza

Come possiamo vedere l’equazione del fascio nella forma implicita è:

Imponiamo ora che la sua distanza dal centro C sia uguale al raggio R, dove:

Imponendo la condizione perveniamo alla seguente equazione in valore assoluto e irrazionale con incognita m:

Aggiustando un po’ i termini ed elevando al quadrato perverremo all’equazione in m di secondo grado:

Che ci da come soluzioni:

Riportiamo sotto i calcoli più nel dettaglio

rette tangenti alla circonferenza

Scopri il corso di geometria cartesiana.

rette tangenti alla circonferenza

Ecco una bella figura di riepilogo.

rette tangenti alla circonferenza

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