RETTA ESTERNA, TANGENTE E SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA

RETTA ESTERNA, TANGENTE E SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA

Sin dall’antica Grecia era nota la teoria della posizione reciproca tra una retta e una circonferenza.

Negli Elementi di Euclide troviamo i concetti di retta esterna, tangente e secante ad una circonferenza.

RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA

Una retta r  è esterna ad una circonferenza gamma quando non ha punti in comune con essa.

In particolare la distanza tra il centro C della circonferenza e la retta r è maggiore del raggio R.

RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

Una retta r è tangente ad una circonferenza gamma se ha un solo comune con essa.

Quando si verifica questa condizione la distanza tra il centro C della circonferenza e la retta r è uguale al raggio R.

RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA

Una retta r è secante ad una circonferenza gamma se ha con essa due punti in comune.

In questo caso la distanza tra il centro C della circonferenza e la retta r è minore del raggio della circonferenza.

CARTESIO E L’UNIONE DELLA GEOMETRIA CON LA MATEMATICA

Grazie a Cartesio (1596-1650) fu possibile unire i concetti della geometria euclidea classica con le più moderne tecniche algebriche.

La nascita della geometria cartesiana permette di descrivere le rette e le circonferenze mediante equazioni specifiche.

È possibile quindi analizzare anche la posizione tra retta e circonferenza sulla base di calcoli matematici.

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Grazie all’opera di Cartesio oggi abbiamo formalizzato in maniera precisa  il concetto di circonferenza e tutte le sue particolarità.

Dato un centro C di coordinate:

E un raggio di lunghezza r

È possibile scrivere l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

Oppure nella sua forma implicita:

RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA

Consideriamo una circonferenza gamma di equazione:

 e una generica retta r di equazione:

Diremo che la retta r è esterna alla circonferenza gamma se mettendole a sistemaquest’ultimo risulta impossibile trovare soluzioni.

Detto in pratica costruiamo il sistema dell’intersezione tra retta e parabola:

Per risolverlo andiamo a sostituire nella prima equazione la y ricavata dalla seconda:

Senza ora entrare in tecnicismi troppo complessi risulta chiaro che otteniamo un’equazione di secondo grado in x del tipo:

Se la retta risulta esterna alla circonferenza questa equazione non ammette soluzioni.

Il che significa che il delta risulta essere negativo:

Dal punto di vista geometrico la distanza tra il centro della circonferenza e la retta risulta essere maggiore del raggio:

Sappiamo che il centro della circonferenza è un punto C di coordinate generiche:

E il raggio R della circonferenza è dato da:

Per scrivere la distanza del punto dalla retta possiamo usare la seguente formula:

DISTANZA PUNTO RETTA

Se qualcuno di voi si sta chiedendo da dove viene la formula della distanza punto retta ecco una breve spiegazione.

Data una generica retta r scritta nella sua forma implicita:

 ed un generico punto P di coordinate:

 la distanza tra il punto P e la retta r è il segmento perpendicolare che congiunge il punto a alla retta.

Tale distanza è il segmento più breve  che congiunge il punto alla retta.

Si può dimostrare che la lunghezza di tale segmento può essere calcolato con una certa frazione.

Al numeratore di tale frazione mettiamo il valore dell’equazione della retta in cui sostituiamo le coordinate del punto al posto della x e della y.

Mentre al denominatore calcoliamo la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti delle x e delle y, ovvero di a’ e di b’.

Quando l’equazione della retta è scritta nella sua forma esplicita è:

Se spostiamo tutti i termini sul lato destro (e rileggiamo da destra a sinistra) l’equazione può essere scritta nella sua forma implicita come segue:

Applicando la formula della distanza abbiamo che:

Si può facilmente dimostrare che cambiando tutti i segni dentro il valore assoluto tale distanza non cambia.

Pertanto tale distanza può essere anche scritta come presentato in precedenza:

RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

Consideriamo una circonferenza gamma di equazione:

 e una generica retta r di equazione:

La retta r risulta tangente alla circonferenza se mettendole a sistema troviamo le coordinate di un solo punto.

Risolvendo il sistema come visto in precedenza troviamo le coordinate di un punto P con generiche coordinate:

La distanza tra il centro della circonferenza e la reta r risulta uguale al segmento CP che è  anche il raggio R della circonferenza:

RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA

Data una circonferenza gamma di equazione:

 e una generica retta r di equazione:

La retta r risulta secante alla circonferenza se mettendole a sistema troviamo le coordinate di due punti.

Risolvendo il sistema come visto in precedenza troviamo le coordinate di due punti A e B.

La distanza tra il centro della circonferenza e la reta r risulta minore del raggio R della circonferenza:

ESERCIZIO

Determina la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette e circonferenze.

Trova gli eventuali punti di intersezione e determina la distanza tra il centro della circonferenza e la retta.

Nel caso di rette secanti calcola la lunghezza della corda staccata.

PRIMA COPPIA

Consideriamo la prima coppia di circoferenza-retta:

Il centro della circonferenza risulta essere:

 mentre il suo raggio è:

Prima di mettere a sistema l’equazione della retta con quella della circonferenza ricaviamo l’equazione esplicita della retta:

Mettiamo ora a sistema la retta con la circonferenza:

Sostituiamo nella prima equazione al posto della y la y ricavata dalla retta:

Sviluppiamo i calcoli per scrivere l’equazione di secondo grado in x:

Raccogliamo a fattor comune il termine 2x

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto per ricavare le soluzioni delle x:

Ora sostituiamo i valori delle x nell’equazione della retta per ricavare le corrispondenti y:

I punti che troviamo sono:

LUNGHEZZA DELLA CORDA

Se vogliamo trovare la lunghezza della corda AB staccata dalla retta sulla circonferenza, ricordiamo che la lunghezza di un segmento è dato dalla formula:

Dove ∆x e ∆y rappresentano i differenziali delle x e delle y dei punti considerati, perciò:

Inserendo le coordinate dei punti A e B appena trovati:

 otteniamo:

DISTANZA CENTRO-RETTA E RAGGIO

Siccome la retta risulta secante alla circonferenza dovremmo ottenere che la distanza tra il centro e la retta è minore rispetto al raggio della circonferenza.

Ricordiamo l’equazione  della circonferenza:

Di centro C e raggio R:

La retta in questione ha equazione:

Che possiamo scrivere nella sua forma implicita come:

Applicando la formula generica della distanza punto-retta:

Otteniamo:

Possiamo verificare facilmente che tale distanza è una quinta parte del raggio, perciò è minore:

Consideriamo ora  la seconda coppia di circoferenza-retta:

Il centro della circonferenza risulta essere:

 mentre il suo raggio è:

Prima di mettere a sistema l’equazione della retta con quella della circonferenza ricaviamo l’equazione esplicita della retta:

Mettiamo a sistema l’equazione la retta con la circonferenza:

Sostituiamo nella circonferenza il valore della y ricavato nella retta e risolviamo l’equazione di secondo grado:

L’unico P trovato ha coordinate:

La retta risulta pertanto tangente alla circonferenza.

DISTANZA CENTRO-RETTA E RAGGIO

Verifichiamo ora che la distanza tra il centro e la retta risulta pari al raggio.

Ricordiamo che il raggio della circonferenza in questione:

Risulta pari a:

Il centro ha coordinate:

La distanza del centro C dalla retta di equazione:

 viene calcolata con la formula:

Sostituendo i dati noti abbiamo che:

Il che conferma che la distanza tra il centro e la retta è pari al raggio.

TERZA COPPIA

Veniamo ora  alla terza coppia di circoferenza-retta:

Il centro della circonferenza risulta essere:

 mentre il suo raggio è:

Mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza con quella della retta:

Inserendo nella prima equazione la seconda otteniamo un’equazione di secondo grado in x:

Se controlliamo il delta di questa equazione:

Verifichiamo immediatamente che è negativo.

Dunque non esistono punti di intersezione tra la retta e la circonferenza.

La retta è pertanto esterna alla circonferenza.

DISTANZA CENTRO-RETTA E RAGGIO

Verifichiamo ora che la distanza tra il centro e la retta risulta maggiore del raggio.

Ricordiamo che il raggio della circonferenza in questione:

Risulta pari a:

Il centro ha coordinate:

La distanza del centro C dalla retta di equazione:

 viene calcolata con la formula:

Sostituendo i dati noti abbiamo che:

Il che conferma che la distanza tra il centro e la retta è maggiore del raggio.

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