Analizzare il grafico di una funzione (analisi grafica) per scoprire i suoi limiti è, contrariamente a come pensano molti, una delle avventure più avvincenti che siano mai state create nella storia umana.
Stiamo per scoprire come addentrarci nel grafico di una funzione e leggerlo in modo corretto.
All’inizio ci vorrà un po’ di calma e pazienza.
Ma quando avrete capito cosa e come guardare all’interno del grafico vi garantisco che nulla più sarà mai come prima.
Reggetevi forte perché adesso si parte.
STUDIO GRAFICO DEI LIMITI
La prima cosa che ci serve per analizzare graficamente il grafico di una funzione è il grafico di una funzione.
Riporto sotto il grafico della seguente funzione.
DETERMINIAMO IL DOMINIO DELLA FUNZIONE
Per prima cosa analizziamone il dominio per capire meglio dove porre la nostra attenzione.
Possiamo facilmente capire che la funzione parte dal meno infinito e scorrendo a destra lungo l’asse della x si ferma nel punto di ascissa –10.
Da qui riprende la sua corso fino al punto di ascissa –4 in cui è definita.
Sempre in questo punto sembra scendere dalla quota 6 alla quota 4 nella quale non è definita e riprende il suo cammino, che si interrompe in corrispondenza di x=4, dove la vediamo salire.
A partire dall’ascissa 4 la funzione non incontra più discontinuità.
Il dominio è perciò:
Dal momento che in x=–4 la funzione è definita potremmo anche scrivere più semplicemente:
Anche se quest’ultima scrittura non rende bene l’idea di che cosa stia succedendo nel punto di ascissa –4.
LIMITE PER X CHE TENDE A MENO INFINITO (ANALISI GRAFICA)
Adesso che abbiamo il dominio della funzione e ne abbiamo in modo molto approssimativo valutato l’andamento è il momento di entrare più nello specifico.
Il dominio che abbiamo ricavato:
Ci offre chiaramente quali sono i limiti che andremo a studiare, che sono determinati dai numeri:
Ci interessa quindi analizzare il comportamento della funzione in prossimità di questi punti.
Potremmo anche dire al tendere a questi punti di addensamento del dominio.
Oppure ancora in un intorno di questi punti di accumulazione del dominio.
I limiti suggeriti dal grafico sono dunque:
Partiamo dal primo di questi limiti, quello in cui la x tende al meno infinito.
Focalizzare l’attenzione su un solo limite è come fare una certa attività che in quell’istante ricopre il cento per cento delle nostre energie mentali e fisiche.
Se ad esempio stiamo facendo attività sportive al fine di migliorare il nostro fisico in quel frangente tutto il resto deve uscire dalla nostra mente.
Allo stesso modo quando analizziamo uno specifico limite ci interessa solamente un singolo tratto di funzione e non tutta la funzione.
Analizziamo quindi analizzando graficamente il comportamento della funzione quando la x tende al meno infinito.
Focalizziamo cioè la nostra attenzione solamente sul pezzo di funzione nella parte sinistra del grafico.
Ora dobbiamo seguire la scia della funzione.
Dobbiamo vedere un ipotetico oggetto che si sta muovendo nell’aria (sopra l’asse delle x) oppure sotto terra (sotto l’asse delle x).
E dobbiamo chiederci:
“cosa sta facendo questo oggetto?
Sta salendo?
E se sale lo fa in maniera illimitata oppure tende ad un certo livello?
Sta scendendo?
E se scende sta scendendo infinitamente oppure si avvicina sempre di più ad una definita linea orizzontale?”
La scia che segue l’oggetto corrisponde chiaramente al valore della nostra funzione.
Adesso che ci sono le premesse muoviamoci in direzione del meno infinito, verso sinistra.
Cosa sta facendo la nostra funzione?
Decisamente sta salendo di livello.
E come lo fa?
Lo fa in maniera illimitata, quindi sta andando sempre più in alto, vero il cielo stellato.
Perciò concludiamo che il limite per x che tende verso il meno infinito fa più infinito.
Scrivendolo matematicamente:
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LIMITE PER X CHE TENDE A MENO DIECI
Circoscriviamo ora la nostra analisi in prossimità dell’ascissa –10.
Cosa sta facendo la funzione a mano a mano che si avvicina alla x=–10?
Qui è bene comprendere che la funzione si può avvicinare al –10 sia dalla parte destra che dalla parte sinistra
Quando ci avviciniamo da sinistra, ovvero verso il –10– la funzione sembra scendere, ma non lo fa in maniera illimitata poiché si “blocca” al valore 4.
Quindi diremo che :
Lo stesso ragionamento sembra valere anche dalla parte destra del –10.
La funzione avvicinandosi da questa parte scende fino alla quota 4, ergo:
Quindi potremo concludere che il limite è unico e vale 4:
LIMITE PER X CHE TENDE A MENO QUATTRO
Ora che abbiamo capito il giochetto logico spostiamoci con i nostri carri armati verso il punto di ascissa –4.
Vediamo che la funzione questa volta non ha lo stesso comportamento da sinistra e da destra.
Se ci avviciniamo al –4 dalla parte sinistra la funzione sale fino a raggiungere quota 6.
Mentre se tendiamo a questa ascissa dalla destra la funzione scende a mo’ di scivolo fino alla quota 2.
In questo caso non possiamo avere un’unica scrittura come nel caso precedente.
LIMITE PER X CHE TENDE A QUATTRO
Continuiamo la nostra analisi grafica dei limiti andando verso il punto di ascissa 4.
Avvicinandoci al quattro sia dalla parte sinistra che dalla parte destra la funzione tende a salire nell’alto dei cieli, verso il più infinito:
Possiamo quindi utilizzare una sola scrittura:
LIMITE PER X CHE TENDE A PIU’ INFINITO
Per concludere la nostra analisi grafica dei limiti non ci resta ora che spostarci verso il più infinito.
Muovendoci verso i valori sempre più grandi positivi, cosa sta facendo la funzione?
Sicuramente sta scendendo ma lo fa tendendo ad un certo livello pari a 2.
Tende a comportarsi e ad assumere le sembianze della retta:
Quindi scriviamo che:
HAI QUALCHE DOMANDA?
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