DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA

Per calcolare la derivata di una funzione inversa usiamo questa semplice regola

$$\large \left(f^{-1}(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f(y)\right)_y} \qquad \normalsize\text{$\left(f(y)\right)_y$ è espresso in funzione di x}$$

Se y è la funzione inversa possiamo anche scrivere:

$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Alle prime armi po’ sembrare una scrittura abbastanza difficile da comprendere.

Quindi cerchiamo di chiarirne il senso teorico con un ragionamento e successivamente facciamo qualche esempio.

RAGIONAMENTO PER LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA

Il primo passo per giungere alla derivata di una funzione inversa è avere una funzione invertibile in tutto il suo dominio oppure in un suo tratto I

Consideriamo dunque una funzione ad una variabile reale

$$ y=f(x)\quad \text{invertibile in$I$}$$

Tale che risulti invertibile almeno in un tratto del suo dominio I

Questo significa che la funzione deve essere monotona crescente oppure monotona decrescente in senso stretto.

Dalla condizione di invertibilità possiamo ricavare la x in funzione della y (funzione inversa)

$$y)f(x)\ \to\ x=f^{-1}(y)$$

Ora noi sappiamo che la derivata prima di questa funzione esprime la variazione infinitesima che subisce la y (dy) rispetto ad una variazione infinitesima della x (dx)

$$y’=\frac{dy}{dx}$$

Possiamo ulteriormente indicare che la derivata è stata calcolata rispetto alla x in questo modo

$$ y’_x=\frac{dy}{dx}$$

Dalla matematica tradizionale sappiamo inoltre che una frazione qualsiasi può essere scritta come il reciproco della frazione invertita

$$ \frac{A}{B}=\frac{1}{\frac{B}{A}}$$

Applicando questa semplice regola alla derivata prima scriviamo:

$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

Nell’ultimo passaggio osserviamo che si tratta della derivata della x in funzione della y

$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}\\ \ \\ \frac{dx}{dy}=x’_y\quad\text{è la derivata della $x$ in funzione della $y$}$$

In pratica esprime la variazione infinitesima dx che subisce la x quando la y varia di una quantità infinitesima dy

Ripartiamo dunque dalla scrittura 

$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}$$

Dalle premesse che abbiamo fatto all’inizio la y è funzione di x e risulta invertibile

$$ y=f(x)\ \to\ x=f^{-1}(y)$$

La scrittura più completa risulta dunque:

$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}\quad\to\quad \left(f(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f^{-1}(y)\right)_y}$$

Se invece supponiamo che y sia una funzione inversa f^–1

$$ y=f^{-1}(x)\ \to\ x=f(y)$$

Allora la nostra scrittura della derivata risulta:

$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}\quad\to\quad \left(f^{-1}(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f(y)\right)_y}$$

Comprendere queste scrittura senza esempi è assai impossibile

Negli esempi che farò riporterò molte volte che scritture più semplici:

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

 nei passaggi critici.

ESEMPI COMUNI DI DERIVATA DI FUNZIONE INVERSA

I concetti visti fino a questo punto sono molto teorici e l’impatto iniziale sullo studente è generalmente molto lontano dalla sua realtà matematica.

Non preoccupatevi dunque se fino a qui vi sentite confusi e spaesati perché “non ci avete capito un’acca”.

Il modo migliore per poter comprendere una teoria molto astratta è quello di fare degli esempi più concreti, ovvero più vicini alla vostra realtà quotidiana.

Per questo motivo proponiamo ora una serie di derivate di funzioni inverse tra le più comunente conosciute nella matematica in un crescendo di difficoltà.

Vedremo le derivate delle seguenti finzioni:

• radice quadrata – inversa del quadrato (funzione potenza)
• funzione logaritmica – inversa della funzione esponenziale
• arcoseno – inversa del del seno
• arcocoseno – inversa del del coseno
• cotangente – inversa della tangente

DERIVATA DELLA RADICE QUADRATA – FUNZIONE INVERSA DEL QUADRATO

Consideriamo la funzione radice quadrata nei reali positivi (tratto in cui è invertibile):

$$ y=\sqrt{x}\quad I=R^+=[0,+\infty)$$

La sua derivata prima è :

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Ricaviamo perciò la x in funzione della y.

Per farlo ci basta elevare alla seconda entrambi i membri

$$ y=\sqrt{x}\ \to\ x=y^2$$

Ricaviamo adesso la derivata della x in funzione della y

$$x’_y=\frac{dx}{dy}=2y$$

A questo punto esprimiamo la y in funzione della x

$$x’_y=\frac{dx}{dy}=2y=2\sqrt{x}$$

Infine non ci resta che inserire questo risultato nella derivata prima originaria

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ecco che abbiamo trovato la derivata della funzione radice quadrata inversa al quadrato

$$y=\sqrt{x}\ \to\ y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

DERIVATA DEL LOGARITMO – FUNZIONE INVERSA DELL’ESPONENZIALE 

Consideriamo la funzione logaritmo nei reali positivi (dominio):

$$ y=\log x\qquad I=R^+\text{1}\{0\}=(0,+\infty)$$

La sua derivata prima è :

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Ricaviamo perciò la x in funzione della y.

Per farlo ci basta  imporre l’esponenziale ad entrambi i membri

$$ y=\log x\to x=e^y$$

Ricaviamo adesso la derivata della x in funzione della y

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=e^y$$

A questo punto esprimiamo la y in funzione della x

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=e^y=e^{\log x}=x$$

Infine non ci resta che inserire questo risultato nella derivata prima originaria

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}=\frac{1}{x}$$

Ecco che abbiamo trovato la derivata della funzione logaritmica  inversa dell’esponenziale

$$ y=\log x\to y’=\frac{1}{x}$$

DERIVATA DELL’ARCOSENO – FUNZIONE INVERSA DEL SENO 

Consideriamo la funzione arcoseno nell’intervallo da -π/2  a +π/2:

$$ y=\arcsin x\qquad I=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Tale funzione si può anche scrivere

$$y=\sin^{-1}x \qquad I=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

La sua derivata prima è :

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Ricaviamo perciò la x in funzione della y.

Per farlo ci basta  imporre  il seno ad entrambi i membri

$$ y=\sin^{-1}x\to x=\sin y$$

Ricaviamo adesso la derivata della x in funzione della y

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=\cos y$$

A questo punto esprimiamo la y in funzione della x

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$$

Infine non ci resta che inserire questo risultato nella derivata prima originaria

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Ecco che abbiamo trovato la derivata della funzione arcoseno  inversa del seno

$$y=\sin{-1}x\to y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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DERIVATA DELL’ARCOCOSENO – FUNZIONE INVERSA DEL COSENO

Consideriamo la funzione arcocoseno nell’intervallo da 0 a +π:

$$ y=\arccos x\qquad I=(0,\pi)$$

Tale funzione si può anche scrivere

$$ y=\cos^{-1} x\qquad I=(0,\pi)$$

La sua derivata prima è :

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Ricaviamo perciò la x in funzione della y.

Per farlo ci basta  imporre  il coseno ad entrambi i membri

$$ y=\cos^{-1}x\to x=\cos y$$

Ricaviamo adesso la derivata della x in funzione della y

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=-\sin y$$

A questo punto esprimiamo la y in funzione della x

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=-\sin y=-\sqrt{1-\cos^2y}=-\sqrt{1-x^2}$$

Infine non ci resta che inserire questo risultato nella derivata prima originaria

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Ecco che abbiamo trovato la derivata della funzione arcocoseno  inversa del coseno

$$ y=\cos^{-1}x\to y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

DERIVATA DELL’ARCOTANGENTE – FUNZIONE INVERSA DELLA TANGENTE 

Consideriamo la funzione arcocoseno nel domino R:

$$ y=\arctan x\qquad I=(-\infty, +\infty)$$

Tale funzione si può anche scrivere

$$ y=\tan^{-1} x\qquad I=(-infty, +\infty)$$

La sua derivata prima è :

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$

Ricaviamo perciò la x in funzione della y.

Per farlo ci basta  imporre  la tangente ad entrambi i membri

$$y=\tan^{-1}x\to x=\tan y$$

Ricaviamo adesso la derivata della x in funzione della y

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=1+\tan^2y$$

A questo punto esprimiamo la y in funzione della x

$$ x’_y=\frac{dx}{dy}=1+\tan^2y=1+x^2$$

Infine non ci resta che inserire questo risultato nella derivata prima originaria

$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}=\frac{1}{1+x^2}$$

Ecco che abbiamo trovato la derivata della funzione arcocoseno  inversa del coseno

$$ y=\tan^{-1}x\to y’=\frac{1}{1+x^2}

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