Per calcolare la derivata di una funzione inversa usiamo questa semplice regola
$$\large \left(f^{-1}(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f(y)\right)_y} \qquad \normalsize\text{$\left(f(y)\right)_y$ è espresso in funzione di x}$$
Se y è la funzione inversa possiamo anche scrivere:
$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$
Alle prime armi po’ sembrare una scrittura abbastanza difficile da comprendere.
Quindi cerchiamo di chiarirne il senso teorico con un ragionamento e successivamente facciamo qualche esempio.
RAGIONAMENTO PER LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA
Il primo passo per giungere alla derivata di una funzione inversa è avere una funzione invertibile in tutto il suo dominio oppure in un suo tratto I
Consideriamo dunque una funzione ad una variabile reale
$$ y=f(x)\quad \text{invertibile in$I$}$$
Tale che risulti invertibile almeno in un tratto del suo dominio I
Questo significa che la funzione deve essere monotona crescente oppure monotona decrescente in senso stretto.
Dalla condizione di invertibilità possiamo ricavare la x in funzione della y (funzione inversa)
$$y)f(x)\ \to\ x=f^{-1}(y)$$
Ora noi sappiamo che la derivata prima di questa funzione esprime la variazione infinitesima che subisce la y (dy) rispetto ad una variazione infinitesima della x (dx)
$$y’=\frac{dy}{dx}$$
Possiamo ulteriormente indicare che la derivata è stata calcolata rispetto alla x in questo modo
$$ y’_x=\frac{dy}{dx}$$
Dalla matematica tradizionale sappiamo inoltre che una frazione qualsiasi può essere scritta come il reciproco della frazione invertita
$$ \frac{A}{B}=\frac{1}{\frac{B}{A}}$$
Applicando questa semplice regola alla derivata prima scriviamo:
$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
Nell’ultimo passaggio osserviamo che si tratta della derivata della x in funzione della y
$$ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}\\ \ \\ \frac{dx}{dy}=x’_y\quad\text{è la derivata della $x$ in funzione della $y$}$$
In pratica esprime la variazione infinitesima dx che subisce la x quando la y varia di una quantità infinitesima dy
Ripartiamo dunque dalla scrittura
$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}$$
Dalle premesse che abbiamo fatto all’inizio la y è funzione di x e risulta invertibile
$$ y=f(x)\ \to\ x=f^{-1}(y)$$
La scrittura più completa risulta dunque:
$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}\quad\to\quad \left(f(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f^{-1}(y)\right)_y}$$
Se invece supponiamo che y sia una funzione inversa f–1
$$ y=f^{-1}(x)\ \to\ x=f(y)$$
Allora la nostra scrittura della derivata risulta:
$$ y’_x=\frac{1}{x’_y}\quad\to\quad \left(f^{-1}(x)\right)_x=\frac{1}{\left(f(y)\right)_y}$$
Comprendere queste scrittura senza esempi è assai impossibile
Negli esempi che farò riporterò molte volte che scritture più semplici:
$$y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y}$$
nei passaggi critici.