Esercizi Svolti sui Limiti: Forma Indeterminata $0/0$ con Limiti Notevoli (Asintotici)

In questo articolo trattiamo la risoluzione di esercizi di limiti che presentano una forma indeterminata 0/0 con i limiti notevoli, che si usano quando sono presenti funzioni goniometriche, esponenziali o logaritmiche.

Lo strumento chiave è l’uso dei Limiti Notevoli o, in modo più pratico, delle Stime Asintotiche.

Quando $x \to 0$ (o quando l’argomento della funzione tende a 0), possiamo sostituire le funzioni complesse con polinomi più semplici che si comportano allo stesso modo (“sono asintotici”).

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.

Ripasso: Tabella degli Asintotici (per $f(x) \to 0$)

Se l’argomento $f(x)$ tende a 0, valgono le seguenti equivalenze (il simbolo $\sim$ significa “si comporta come”):

1. Seno: $\sin(f(x)) \sim f(x)$
2. Tangente: $\tan(f(x)) \sim f(x)$
3. Logaritmo: $\ln(1 + f(x)) \sim f(x)$
4. Esponenziale: $e^{f(x)} – 1 \sim f(x)$
5. Coseno: $1 – \cos(f(x)) \sim \frac{1}{2} [f(x)]^2$
6. Potenza (Binomiale): $(1 + f(x))^k – 1 \sim k \cdot f(x)$ (utile per le radici)

Attenzione: Queste sostituzioni sono sicure nei prodotti e nelle divisioni. Nelle somme/sottrazioni bisogna fare attenzione alle cancellazioni (in quel caso servirebbe Taylor, ma qui vedremo casi risolvibili con gli asintotici del primo ordine).

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Esercizi Svolti sui limiti Forma Indeterminata 0/0 con Limiti Notevoli (Asintotici)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Applicazione Diretta)

Esercizio 1: Seno con coefficiente

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}$.

Risposta Corretta: $5/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Sostituzione: $\sin(0)/0 = 0/0$.
• Asintotico: $\sin(5x) \sim 5x$ (perché $5x \to 0$).
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{5x}{3x}$.
• Semplificazione: Via la $x$. Risultato $5/3$.

Esercizio 2: Esponenziale e Logaritmo

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} – 1}{\ln(1 + 3x)}$.

Risposta Corretta: $2/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Asintotico Num: $e^{2x} – 1 \sim 2x$.
• Asintotico Den: $\ln(1 + 3x) \sim 3x$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.

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Livello Intermedio (Composizioni e Coseno) – esercizi limiti forma 0/0 con limiti notevoli

Esercizio 3: Limite Notevole del Coseno

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{\sin^2 x}$.

Risposta Corretta: $1/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Asintotico Num: $1 – \cos x \sim \frac{1}{2} x^2$.
• Asintotico Den: $\sin^2 x = (\sin x)^2 \sim (x)^2 = x^2$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{x^2}$.
• Semplificazione: $\frac{1}{2}$.

Esercizio 4: Radice (Binomiale) e Tangente

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+4x} – 1}{\tan(2x)}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Num: È del tipo $(1+4x)^{1/2} – 1$.Asintotico: $k \cdot f(x) = \frac{1}{2} \cdot 4x = 2x$.
• Den: $\tan(2x) \sim 2x$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x} = 1$.

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Livello Avanzato (Prodotti Misti)

Esercizio 5: Prodotto Esponenziale-Seno

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x – 1) \cdot \sin(2x)}{x^2}$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: Abbiamo un prodotto al numeratore. Possiamo sostituire ogni fattore con il suo asintotico.
• Sostituzioni:
  • $e^x – 1 \sim x$
  • $\sin(2x) \sim 2x$
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2}$.
• Risultato: $2$.

Esercizio 6: Coseno con argomento composto

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(3x)}{x \cdot \ln(1+x)}$.

Risposta Corretta: $9/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Num: $1 – \cos(3x) \sim \frac{1}{2} (3x)^2 = \frac{1}{2} (9x^2) = \frac{9}{2} x^2$.
• Den: $x \cdot \ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{2} x^2}{x^2}$.
• Risultato: $9/2$.

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Livello Molto Avanzato (Combinazioni Multiple)

Esercizio 7: Tre funzioni notevoli

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2) \cdot \tan x}{(e^x – 1)^3}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Num:
  • $\ln(1+x^2) \sim x^2$
  • $\tan x \sim x$
  • Prodotto: $x^2 \cdot x = x^3$.
• Den:
  • $e^x – 1 \sim x$
  • Cubo: $(x)^3 = x^3$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1$.

Esercizio 8: Coseno al quadrato e radice

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos^2 x}{x \cdot \sqrt{1+x} \cdot \sin x}$.

Risposta Corretta: $1$ (oppure usando identità $1-\cos^2 = \sin^2$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Metodo Asintotico:
  • Num: $1 – \cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$.
  • Asintotico: $(\frac{1}{2}x^2) \cdot (1 + \cos 0) = \frac{1}{2}x^2 \cdot 2 = x^2$.
  • (Alternativa: $1-\cos^2 x = \sin^2 x \sim x^2$).
• Den:
  • $x$ resta $x$.
  • $\sqrt{1+x} \to 1$ (non è 0, è un numero, quindi sostituisco 1).
  • $\sin x \sim x$.
  • Prodotto: $x \cdot 1 \cdot x = x^2$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Asintotici Complessi)

Esercizio 9: Rapporto Complesso (4 Funzioni)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{(e^{3x}-1)\sin(2x)}{\ln(1+x)\tan(6x)}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Sostituzione Asintotica di tutti i blocchi:
  • $e^{3x} – 1 \sim 3x$
  • $\sin(2x) \sim 2x$
  • $\ln(1+x) \sim x$
  • $\tan(6x) \sim 6x$
• Ricostruzione Frazione:$$\frac{(3x) \cdot (2x)}{(x) \cdot (6x)} = \frac{6x^2}{6x^2}$$
• Risultato: $1$.

Esercizio 10: “Mostro” Finale (Potenze e Radici)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2} – 1\right) \cdot \ln(1+3x)}{(1 – \cos x) \cdot (e^{2x} – 1)}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi Numeratore:
  1. Radice cubica: $(1+x^2)^{1/3} – 1 \sim \frac{1}{3} x^2$.
  2. Logaritmo: $\ln(1+3x) \sim 3x$.
  • Totale Num: $\frac{1}{3} x^2 \cdot 3x = x^3$.
• Analisi Denominatore:
  1. Coseno: $1 – \cos x \sim \frac{1}{2} x^2$.
  2. Esponenziale: $e^{2x} – 1 \sim 2x$.
  • Totale Den: $\frac{1}{2} x^2 \cdot 2x = x^3$.
• Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1$.

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