Esercizi Svolti sui Limiti: Forma Indeterminata $0/0$ con Razionalizzazione

In questo articolo trattiamo la forma indeterminata 0/0 quando la funzione contiene radicali: con il metodo della razionalizzazione.

A differenza dei polinomi semplici, qui non possiamo scomporre direttamente con Ruffini. Dobbiamo invece moltiplicare e dividere per un opportuno “fattore razionalizzante” per eliminare la radice che genera lo zero.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato

INDICE

1 Ripasso: I Fattori Razionalizzanti
2 Esercizi Svolti- forma 0/0 con razionalizzazione
3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Ripasso: I Fattori Razionalizzanti

L’obiettivo è usare le identità algebriche per trasformare termini irrazionali ($A – B$) in razionali ($A^n – B^n$).

Radici Quadrate (Differenza di Quadrati):Per eliminare $\sqrt{A} – \sqrt{B}$ (o $\sqrt{A} – B$), moltiplichiamo per la somma:$$(\sqrt{A} – \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A – B$$
Radici Cubiche (Differenza di Cubi):Per eliminare $\sqrt[3]{A} – \sqrt[3]{B}$, usiamo il “falso quadrato”:$$(\sqrt[3]{A} – \sqrt[3]{B})(\sqrt[3]{A^2} + \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2}) = A – B$$

Esercizi Svolti- forma 0/0 con razionalizzazione

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Radice Singola)

Esercizio 1: Radice al Numeratore

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}$.

Risposta Corretta: $1/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1) con la razionalizzazione:

Sostituzione: $\frac{\sqrt{4}-2}{4-4} = \frac{0}{0}$.
Razionalizzazione: Moltiplichiamo num. e den. per $(\sqrt{x} + 2)$.$$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$
Semplificazione: $\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}$.
Calcolo: $\frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.

Esercizio 2: Radice al Denominatore

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 9} \frac{x – 9}{\sqrt{x} – 3}$.

Risposta Corretta: $6$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Sostituzione: $0/0$.
Razionalizzazione: Moltiplichiamo per $(\sqrt{x} + 3)$.$$\lim_{x \to 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}$$
Semplificazione: Rimane $\sqrt{x} + 3$.
Calcolo: $3 + 3 = 6$.

Livello Intermedio (Radicandi Composti) – limiti forma 0/0 con razionalizzazione

Esercizio 3: Polinomio sotto radice

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x+1} – 2}{x – 1}$.

Risposta Corretta: $3/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Sostituzione: $\frac{\sqrt{4}-2}{0} = 0/0$.
Razionalizzazione: Fattore $(\sqrt{3x+1} + 2)$.$$\text{Num: } (\sqrt{3x+1})^2 – 2^2 = 3x + 1 – 4 = 3x – 3 = 3(x-1)$$
Limite: $\lim_{x \to 1} \frac{3(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}$.
Calcolo: $\frac{3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3}{4}$.

Esercizio 4: Radice e Denominatore Quadratico

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} – 1}{x^2 + x}$.

Risposta Corretta: $1/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Sostituzione: $0/0$.
Razionalizzazione Num: Moltiplico per $\sqrt{1+x}+1$.Num diventa $(1+x) – 1 = x$.
Scomposizione Den: $x^2 + x = x(x+1)$.
Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{1+x}+1)}$.
Semplificazione: $\frac{1}{(x+1)(\sqrt{1+x}+1)}$.
Calcolo: $\frac{1}{(1)(1+1)} = \frac{1}{2}$.

Livello Avanzato (Differenza di Radici e Segni)

Esercizio 5: Due radici al numeratore

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} – \sqrt{2x}}{x – 2}$.

Risposta Corretta: $-1/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Razionalizzazione: Moltiplico per $\sqrt{x+2} + \sqrt{2x}$.Num: $(x+2) – (2x) = 2 – x = -(x-2)$.
Limite: $\lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x})}$.
Calcolo: $\frac{-1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} = \frac{-1}{2+2} = -\frac{1}{4}$.

Esercizio 6: Segno meno davanti alla radice

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 7} \frac{2 – \sqrt{x-3}}{x^2 – 49}$.

Risposta Corretta: $-1/56$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Razionalizzazione: Fattore $(2 + \sqrt{x-3})$.Num: $2^2 – (x-3) = 4 – x + 3 = 7 – x = -(x-7)$.
Scomposizione Den: $(x-7)(x+7)$.
Limite: $\lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}$.
Calcolo: $\frac{-1}{(14)(2+2)} = \frac{-1}{14 \cdot 4} = -\frac{1}{56}$.

Livello Molto Avanzato (Doppia Razionalizzazione e Cubiche)

Esercizio 7: Doppia Razionalizzazione

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x+3} – 2}$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

Analisi: Sia il num che il den sono irrazionali e si annullano. Dobbiamo razionalizzare entrambi.
Moltiplicazione: Moltiplichiamo per $(\sqrt{x}+1)$ e per $(\sqrt{x+3}+2)$ sia sopra che sotto.
- Num: $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = x-1$.
- Den: $(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2) = x+3-4 = x-1$.
Risultato provvisorio: I termini $(x-1)$ si elidono. Rimangono i fattori di “compensazione”.$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x}+1}$.
Calcolo: $\frac{\sqrt{4}+2}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$.

Esercizio 8: Radice Cubica

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} – 2}{x – 8}$.

Risposta Corretta: $1/12$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

Formula: $A^3 – B^3$. Qui $A = \sqrt[3]{x}$ e $B = 2$.Il fattore razionalizzante è $A^2 + AB + B^2 = \sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4$.
Numeratore: Diventa $(\sqrt[3]{x})^3 – 2^3 = x – 8$.
Limite: $\lim_{x \to 8} \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}$.
Calcolo: $\frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$.

Livello Molto Molto Avanzato (Misti e Parametrici)

Esercizio 9: Radice Quadrata vs Radice Cubica

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt[3]{x} – 1}$.

Risposta Corretta: $3/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

Metodo: Doppia razionalizzazione con indici diversi (quadrata al num, cubica al den).
Num: $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = x-1$.
Den: $(\sqrt[3]{x}-1)(\dots) = x-1$.
Residui: Rimane il fattore cubico al numeratore e quello quadratico al denominatore.$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt{x}+1}$.
Calcolo: $\frac{1+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}$.

Esercizio 10: Doppia Razionalizzazione Complessa

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x} – 1}$.

Risposta Corretta: $3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Num: Razionalizzo (quadrata). $(1+x) – (1-x) = 2x$.Fattore residuo al den: $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}) \to 2$.
Den: Razionalizzo (cubica). $(1+x) – 1 = x$.Fattore residuo al num: $(\sqrt[3]{(1+x)^2} + \dots + 1) \to 3$.
Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} \cdot \frac{\text{Fattore Cubico (3)}}{\text{Fattore Quadratico (2)}}$.
Semplificazione: $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3$.

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