In questo articolo affrontiamo esercizi sulla forma indeterminata più classica dei limiti: lo 0/0 nelle Funzioni Razionali (rapporto di polinomi).
Quando sostituendo la $x$ otteniamo $0/0$, significa che sia il numeratore che il denominatore hanno una “radice comune”. L’obiettivo è scomporre i polinomi e semplificare il fattore che causa lo zero (solitamente $x – x_0$).
Utilizzeremo:
- Raccoglimento a fattor comune.
- Prodotti notevoli (differenza di quadrati, cubi, ecc.).
- Regola di Ruffini (per gradi superiori al 2).
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato .
INDICE
Esercizi Svolti sulla forma indeterminata 0/0
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.
Livello Semplice (Scomposizioni Base)
Esercizio 1: Differenza di Quadrati
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$.
Risposta Corretta: $4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Sostituzione: $\frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$ (F.I.).
- Scomposizione: Il numeratore è una differenza di quadrati.$x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$.
- Semplificazione: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)$.
- Calcolo: $2 + 2 = 4$.
Esercizio 2: Trinomio Notevole di Secondo Grado
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 5x + 6}{x^2 – 9}$.
Risposta Corretta: $1/6$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Sostituzione: $\frac{9-15+6}{9-9} = \frac{0}{0}$.
- Scomposizione:
- Num: Somma $-5$, Prodotto $6 \rightarrow$ numeri $-2, -3$. $(x-2)(x-3)$.
- Den: $(x-3)(x+3)$.
- Limite: $\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$.
- Calcolo: $\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$.
Livello Intermedio (Cubi e Raccoglimenti)
Esercizio 3: Differenza di Cubi
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1}$.
Risposta Corretta: $3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Sostituzione: $0/0$.
- Prodotto Notevole: $A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.$x^3 – 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$.
- Semplificazione: $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}$.
- Calcolo: $1^2 + 1 + 1 = 3$.
Esercizio 4: Raccoglimento Totale
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 – 2x^2}{3x^2 + x}$.
Risposta Corretta: $0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Sostituzione: $0/0$.
- Scomposizione: Raccogliamo la $x$ con l’esponente minore.$\lim_{x \to 0} \frac{x^2(x-2)}{x(3x+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x-2)}{3x+1}$.
- Calcolo: $\frac{0 \cdot (-2)}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$.
Livello Avanzato (Regola di Ruffini)
Esercizio 5: Ruffini al Numeratore
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 3x – 2}{x – 2}$.
Risposta Corretta: $9$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Verifica: $8 – 6 – 2 = 0$. È $0/0$.
- Scomposizione: Usiamo Ruffini sul numeratore con $c=2$.Coefficienti: $1, 0, -3, -2$ (attento allo zero di $x^2$).Resto divisione: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
- Limite: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+1)^2}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+1)^2$.
- Calcolo: $(2+1)^2 = 3^2 = 9$.
Esercizio 6: Ruffini al Denominatore
Domanda: Calcola $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 – 1}{x^3 + 1}$.
Risposta Corretta: $-2/3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Sostituzione: $0/0$.
- Scomposizione Num: $(x-1)(x+1)$.
- Scomposizione Den (Somma di cubi o Ruffini): $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.
- Semplificazione: $\lim_{x \to -1} \frac{x-1}{x^2-x+1}$.
- Calcolo: $\frac{-1-1}{1 – (-1) + 1} = \frac{-2}{1+1+1} = -\frac{2}{3}$.
Esercizio 7: Ruffini Doppio
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 2x + 1}{x^3 – 1}$.
Risposta Corretta: $1/3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Sostituzione: $1-2+1=0$ e $1-1=0$. (F.I.).
- Ruffini Num ($x^3-2x+1$): Divisore $(x-1)$. Risultato $(x-1)(x^2+x-1)$.
- Scomposizione Den ($x^3-1$): $(x-1)(x^2+x+1)$.
- Limite: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-1}{x^2+x+1}$.
- Calcolo: $\frac{1+1-1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
Livello Molto Avanzato (Gradi Alti e Semplificazioni Complesse)
Esercizio 8: Grado 4 e 3
Domanda: Calcola $\lim_{x \to -2} \frac{x^4 – 16}{x^3 + 8}$.
Risposta Corretta: $-8/3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Scomposizione Num: $x^4 – 16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$.
- Scomposizione Den (Cubi): $x^3 + 8 = (x+2)(x^2 – 2x + 4)$.
- Semplificazione: Via il termine $(x+2)$ che causa lo zero.$\lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x^2+4)}{x^2-2x+4}$.
- Calcolo:
- Num: $(-2-2)(4+4) = (-4)(8) = -32$.
- Den: $4 – 2(-2) + 4 = 4+4+4 = 12$.
- Risultato: $-32/12 = -8/3$.
Esercizio 9: Raccoglimento Parziale e Quadrato
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – x^2 – x + 1}{x^2 – 2x + 1}$.
Risposta Corretta: $2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Numeratore: Raccoglimento parziale. $x^2(x-1) – 1(x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x+1)(x-1)(x-1) = (x+1)(x-1)^2$.
- Denominatore: Quadrato di binomio $(x-1)^2$.
- Limite: $\lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)^2}$.
- Semplificazione: Resta solo $(x+1)$.
- Calcolo: $1+1 = 2$.
Esercizio 10: Somma di Frazioni (0/0 Mascherato)
Domanda: Calcola $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x-2} – \frac{4}{x^2-4} \right)$.
Risposta Corretta: $1/4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Analisi: È una forma $\infty – \infty$. Dobbiamo fare il m.c.m.
- Denominatore comune: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
- Unione: $\frac{1(x+2) – 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$.
- Ora è 0/0: Semplifichiamo $(x-2)$.$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2}$.
- Calcolo: $\frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
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