In questo articolo parliamo della continuità di una funzione ad una variabile reale.
Una funzione può essere continua in un punto oppure in un intervallo.
Se non è rispettata la condizione di continuità, alla diciamo che la funzione è discontinua.
CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Cerchiamo ora di chiarire cosa significhi:
” la funzione è continua in un punto x0″.
A tal proposito daremo più definizioni del concetto di continuità di una funzione in un punto.
La prima definizione che daremo sarà brutale, informale e non propriamente corretta.
A seguire daremo definizioni via via sempre più “matematiche” e “rigorose”
DEFINIZIONE BRUTALE, INFORMALE E POCO CORRETTA DI CONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Una funzione si definisce continua in un punto quando disegnandola non stacchiamo mai la biro dal foglio.
Proviamo ad osservare il grafico della retta
Risulta chiaro che se vogliamo disegnare una funzione del genere “non stacchiamo mai la biro dal foglio”
Focalizziamo ora l’attenzione sul punto di ascissa 2, dove la funzione assume certamente valore 3.
Immaginate un bambino che sta disegnando la funzione senza staccare mai la biro dal foglio in un tratto molto prossimo a tale ascissa
Questo bambino appoggerà una squadra e farà scorrere la biro o il pennarello senza mai staccare la biro dal foglio.
Allora risulta evidente che f(x) è continua nel punto di ascissa 2
Vi do però un piccolo consiglio.
Tenetevi questa definizione solo per voi, o al limite quando parlate con un amico.
Immaginatela così nella vostra mente, e tenetevela bella stretta!!!
Tuttavia se avete a che fare con un professore che vi sta interrogando, oppure con un matematico di professione, è meglio utilizzare definizioni più formali.
CONTINUITÀ DEFINITA CON I LIMITI
La definizione più comunemente adottata per definire la continuità di una funzione si basa sui limiti.
Una funzione ad una variabile reale si definisce continua in n punto di accumulazione x0se e solo se il limite per x che tende ad x0 è pari al valore che la f(x) assume in quel punto f(x0) .
Matematicamente possiamo scriverla come segue:
Letteralmente leggiamo:
“sia f una funzione che va da R a R (funzione ad una variabile reale)
(f(x) è continua) se il limite per x che tende a x0 vale f(x0).”
Da questo grafico possiamo intuire il perché:
Se torniamo per un attimo all’esempio della retta fatto in precedenza:
E analizziamo con questa nuova definizione per determinare la continuità della funzione nel punto di ascissa 2.
D’altro canto il valore della funzione nel punto di ascissa 2 è:
Quindi possiamo affermare che:
Il limite per x che tende a 2 di f(x) è uguale al valore della funzione nel punto di ascissa 2.
Dunque risulta soddisfatta la definizione di continuità in un punto.
Dal punto di vista grafico questa cosa si nota immediatamente:
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ALTRI ESEMPI
Facciamo altri semplici esempi:
Consideriamo la funzione di secondo grado:
Studiamo la continuità di tale parabola nel punto di ascissa 1.
Se calcoliamo il limite per x che tende a 1:
Mentre il valore della funzione nel punto di ascissa 1 è:
Hanno lo stesso valore !!!
Pertanto concludiamo che la funzione è continua in x=1.
Vediamolo nel grafico:
CONTINUITÀ CON LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO
Se vogliamo essere ancora più precisi nel concetto di continuità di una funzione possiamo anche dire così.
Una funzione si definisce continua in punto di accumulazione del dominio x0 se il limite destro per tale punto coincide con il limite sinistro, che coincide col valore della funzione
Matematicamente possiamo scriverlo come segue:
In particolare quel segno meno (-) che si trova al di sopra di x0 serve ad indicarci che ci troviamo dalla parte sinistra di x0, ovvero:
Mentre il segno positivo (+) che si trova al di sopra di x0 serve ad indicarci che ci troviamo dalla parte destra di x0, ovvero:
Per capire meglio questo ampliamento di definizione ritorniamo al caso semplice visto per la retta, la funzione:
Ribadiamo il fatto che il valore della funzione nel punto di ascissa 2 è pari a 3.
Calcoliamo il limite dalla parte sinistra di 2, ovvero per 2–
L’ultimo simbolo con la stanghetta e l’ondulina si può leggere “è approssimabile con”
Calcolando inoltre il limite dalla parte destra di 2, ovvero per 2+ della funzione, otteniamo pressoché lo stesso risultato:
Siccome risulta soddisfatta la condizione:
Allora concludiamo che è soddisfatta la condizione di continuità della funzione nel punto di ascissa 2.
Pertanto la funzione risulta continua nel punto di ascissa 2.
Se diamo un’occhiata al grafico intuiamo meglio i concetti di limite destro e limite sinistro, che coincidono con il valore della funzione nel punto.
La stessa cosa possiamo vederla nel secondo esempio della parabola
CONTINUITA’ FUNZIONI DEFINITE A TRATTI
Quando definiamo la continuità mediante limite destro e sinistro non possiamo non parlare di funzioni definite a tratti.
Consideriamo la seguente funzione:
Analizziamo ora la continuità della funzione nel punto di ascissa nulla (x=0)
A tal proposito cominciamo con il limite sinistro (per x tendente a 0–) che calcoliamo sulla funzione di primo grado (y=2x–1)
Ora passiamo al limite destro di zero, calcolato sulla funzione di secondo grado:
Per quanto riguarda il valore della funzione nel punto lo calcoliamo sulla parabola (secondo grado) perché la funzione è ivi definita (x<=0)
Siccome:
Concludiamo che la funzione risulta continua in x=0.
DEFINIZIONE DI CONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE CON GLI INTORNI
Un altro modo formale di definire la continuità di una funzione in un punto è quella che sfrutta gli intorni.
I due intorni che prendiamo a riferimento sono il primo relativo all’asse delle x e il secondo relativo all’asse delle y.
L’intorno che prendiamo sull’asse delle x è:
Intorno di centro x0 e raggio 𝛿
Questo intorno equivale alla zona:
Che può anche essere scritta come:
Oppure utilizzando il valore assoluto:
Il secondo intorno è quello relativo all’asse delle y, entro il quale troviamo il valore della funzione f(x0) con raggio pari a 𝜀.
Intorno di centro f(x0) e raggio 𝜀
Che equivale alla zona:
Che possiamo anche scrivere come:
Oppure scritto con il valore assoluto diventa:
A questo punto siamo pronti per dare la definizione di continuità di una funzione che si basa sugli intorni
Letteralmente possiamo leggere questa frase con:
Per ogni 𝜀 positivo esiste un 𝛿 positivo, tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno con centro x0 e raggio 𝛿 (contenuto nel dominio della funzione), troviamo che il valore della funzione f(x) appartiene ad un corrispondente intorno con centro f(x0) e raggio 𝜀.
Proviamo a rappresentare questa situazione dal punto di vista cartesiano prendendo a riferimento
Questo significa che quando noi mettiamo la nostra funzione in un intorno di centro 3 e raggio 𝜀
Riusciamo ad individuare un intorno di x con centro 2 e raggio 𝛿
Dove delta è determinato in funzione di 𝜀
Matematicamente imponiamo
Ovvero nel nostro caso:
Che equivale a scrivere:
Eccolo il nostro intorno, e come si può notare il valore di 𝜀 coincide in questo caso con 𝛿
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CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO ISOLATO
Fino ad ora abbiamo parlato di continuità di una funzione in un punto di accumulazione del dominio.
Ricordiamo che tale punto è definito come un punto in corrispondenza del quale si addensano infiniti punti dell’insieme (nel nostro caso il codominio di f).
Ma cosa possiamo dire della continuità in un punto isolato ?
Il punto isolato è un punto che appartiene all’insieme.
Nel nostro caso è un punto in cui la funzione è definita ed ha uno specifico valore.
Il problema è che esiste almeno un intorno di tale punto all’interno del quale (a parte nel punto stesso) non troviamo altri valori della funzione !
Per semplificare le cose osserviamo il seguente grafico:
Possiamo dire che la funzione f(x) è continua nel punto di ascissa x0?
La mia risposta (come penso quella di molti voi) è no!!!
Nonostante tutto se navigate nel web in cerca di risposta sembra che la risposta non sia così scontata.
Ad esempio visitando questo link di Youmath, la risposta che viene data alla questione è:
Ci troviamo di fronte ad una scottante questione.
Questioni di questo tipo sono già state ampliamente dibattute in tutto il periodo che ha preceduto Newton, in prossimità della scoperta dei limiti e delle derivate.
Cerchiamo ora di analizzare freddamente questa questione attraverso le due definizioni appena date.
Cominciamo dalle definizioni con i limiti:
La faccia di questi due turisti è eloquente.
Questi si stanno chiedendo:
“Come è possibile che la x tenda ad x0 quando intorno ad x0 non si addensa nessuna x ?”
Questo potrebbe essere uno tra i tanti motivi per cui affermiamo la non continuità della funzione nel punto x0.
Chiaramente se qualche esperto matematico ha qualcosa in più da ridire sulla questione, sono a disposizione.
Ma proviamo ora ad analizzare la continuità nel punto isolato mediante la definizione di intorno, che andiamo a riportare:
Per ogni 𝜀 positivo esiste un 𝛿 positivo, tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno con centro x0 e raggio 𝛿 (contenuto nel dominio di f), troviamo che il valore della funzione f(x) appartiene ad un corrispondente intorno con centro f(x0) e raggio 𝜀.
Riosserviamo il grafico della funzione in analisi ancora una volta.
Anche qui la faccia dei nostri de amici è ancora più eloquente.
Loro si accorgono che ponendo un intorno di f(x0) non si determina alcun intorno di x0.
Ma c’è un solo punto cioè proprio x0.
Ma questo è in contrasto con la definizione di intorno di un punto, che è definito cioè intervallo aperto.
E potenzialmente un intervallo dovrebbe essere un insieme che comprende almeno due punti!!!
Ancora una volta sarebbe dunque confermata l’assenza di continuità !
UNA PICCOLA PRECISAZIONE ATTORNO ALLA QUESTIONE DELLA CONTINUITA’ NEL PUNTO ISOLATO
Ci tengo ogni modo a fare una precisazione circa questo mio punto di vista.
Qui stiamo dibattendo su una questione che oltre ad essere matematica è filosofica.
Vi riporto un esempio di una questione che in apparenza sembra non avere attinenza con questa ma che credetemi si avvicina più di ogni altra a questa questione.
Una volta, in qualche luogo e in qualche tempo fu richiesto ad una matematico che cosa fosse una circonferenza?
Questo risposte che poteva essere vista come un poligono regolare con infiniti lati.
Niente di più azzeccato a mio avviso!
E sono convinto che molti altri matematici erano (e sono) tutt’oggi d’accordo con questa affermazione.
Ad un certo punto un altro matematico in un certo altro luogo e tempo successivo dimostrò che non poteva essere così.
Chi ha ragione dunque?
A mio avviso questo lo possono stabilire la filosofia di vita e questioni pratiche associate alla vita di un individuo, un gruppo o una società.
CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN INTERVALLO
Ora che abbiamo dato esaustive definizioni circa la continuità di una funzione in un punto definiamo quando una funzione è continua in un intervallo.
Se f è una funzione ad una variabile reale.
Essa è continua in un certo intervallo I contenuto nel domino di f:
Questo significa che in ogni punto dell’intervallo deve valere una delle condizioni su cui abbiamo dibattuto sino ad ora.
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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