DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Come si calcola la derivata di una funzione composta?

Consideriamo la funzione composta f(g(x))

$$ y=f\left(g(x)\right)$$

Per fare la derivata di questa funzione prima calcoliamo la derivata di f rispetto alla contenuta g , poi moltiplichiamo per la derivata della funzione g rispetto alla x

$$ \left(f\left(g(x)\right)\right)’=f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$$

SIMBOLOGIA DELLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Prima di vedere molti esempi pratici per il calcolo di derivate composte  vediamo quale diabolico ragionamento si cela dietro a questa formula.

Grazie alle procedure di derivazione basate sul limite del rapporto incrementale si è potuto estrapolare delle regole generali che valgono anche per le funzioni composte.

Consideriamo la seguente funzione composta:

$$ y=f\left(g(x)\right)$$

La derivata di questa funzione segue la regola:

$$ y’=\frac{df}{dx}=\left(\frac{d}{d\left(g(x)\right)}f\left(g(x)\right)\right)\cdot \left(\frac{d}{dx}g(x)\right)\\ \ \\ \begin{aligned}&\frac{d}{d\left(g(x)\right)}f\left(g(x)\right)\ \text{ è la derivata della funzione $f\left(g(x)\right)$ rispetto a $g(x)$}\\&\frac{d}{dx}g(x)\ \text{è la derivata della funzione $g(x)$ rispetto alla $x$}\end{aligned}$$

Per comodità di scrittura si può scrivere:

$$ \left(f\left(g(x)\right)\right)’=f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$$

Oppure anche 

$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}\\ \ \\ \begin{aligned}&\frac{df}{dx}\ \text{ è la derivata di$f$ rispetto a $x$}\\&\frac{df}{dg}\ \text{ è la derivata di$f$ rispetto a $g$}\\&\frac{dg}{dx}\ \text{ è la derivata di$g$ rispetto a $x$}\end{aligned}$$

Chiaramente possiamo espandere questa procedura anche con tre o più funzioni presenti in una composizione.

Ad esempio se dobbiamo calcolare la derivata prima di f composto g composto k di x:

$$\left(f\left(g\left(k(x)\right)\right)\right)’$$

Possiamo scrivere in maniera sintetica:

$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dk}\cdot\frac{dk}{dx}$$

DIMOSTRAZIONE DELLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Vediamo ra di dare una dimostrazione formale alla formula per la derivata di una funzione composta appena vista.

Applichiamo la classica definizione di derivata basata sul limite del rapporto incrementale

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{h\to0}\frac{f\left(g(x+h)\right)-f\left(g(x)\right)}{h}$$

Per una comodità di scrittura sostituiamo h con dx

$$ h=dx:\quad \left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{dx\to0}\frac{f\left(g(x+dx)\right)-f\left(g(x)\right)}{dx}$$

Ad opera di una variazione dx la funzione g(x) subisce una variazione che chiamiamo d(g(x))  dunque possiamo scrivere che:

$$g(x+h)=g(x)+d\left(g(x)\right)\\ \ \\ \left(g(x)\right)\ \text{è la variazione della funzione $g(x)$ in seguito alla variazione $dx$}$$

Possiamo dunque riscrivere il limite così

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{dx\to0}\frac{f\left(g(x)+d\left(g(x)\right)\right)-f\left(g(x)\right)}{dx}$$

Moltiplichiamo e dividiamo tutto per d(g(x))

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{dx\to0}\frac{f\left(g(x)+d\left(g(x)\right)\right)-f\left(g(x)\right)}{dx}\cdot \frac{d\left(g(x)\right)}{d\left(g(x)\right)}$$

Scambiamo i denominatori delle frazioni e applichiamo il limite ad entrambe le frazioni:

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{dx\to0}\frac{f\left(g(x)+d\left(g(x)\right)\right)-f\left(g(x)\right)}{d\left(g(x)\right)}\cdot\lim_{dx\to0} \frac{d\left(g(x)\right)}{dx}$$

Ricordiamo due cose.

La prima è che il differenziale d(g(x)) è dato dalla differenza della funzione g in x+dx (g(x+dx)) e la funzione g calcolata in x (g(x))

$$ d\left(g(x)\right)=g(x+dx)-g(x)$$

La seconda è che al tendere di dx verso zero tenderà verso zero anche il differenziale della funzione g(x) 

$$ (dx\to 0) \to \left(d\left(g(x)\right)\to0\right)$$

Dunque riscriviamo il limite tendendo conto di queste due informazioni:

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=\lim_{d\left(g(x)\right)\to0}\frac{f\left(g(x)+d\left(g(x)\right)\right)-f\left(g(x)\right)}{d\left(g(x)\right)}\cdot\lim_{dx\to0} \frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}$$

Il primo limite indica la derivata della funzione f rispetto alla funzione g, mentre il secondo limite indica la derivata della funzione g rispetto alla x

$$\left(f\left(g(x)\right)\right)’=f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$$

Oppure anche 

$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$$

CVD

DALLE REGOLE DI FUNZIONI ELEMENTARI A QUELLE COMPOSTE

Le regole sulle derivate composte sono un approfondimento delle regole sulle derivate elementari.

Riportiamo dunque per prima cosa le regole delle derivate elementari

Da queste regole elementari nascono e si sviluppano le derivate di funzioni composte.

Sotto le riportiamo divise per scompartimenti di funzioni

In pratica queste regole sono un copia incolla delle regole elementari.

Ma si percepisce la differenza quando osserviamo che al termine della procedura andiamo a moltiplicare per la derivata della funzione interna

Mettiamo un attimo a confronto i casi di potenza, esponenziale e logaritmo per percepire maggiormente la similarità.

Partiamo dalla funzione potenza:

$$ \begin{array}{l} y=x^\alpha&\to&y’=\alpha x^{\alpha-1}\\ y=\left(f(x)\right)\alpha&\to&y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}f'(x)\end{array}$$

Continuiamo con l’esponenziale

$$ \begin{array}{l} y=e^x&\to&y’=e^x\\ y=e^{f(x)}&\to&y’=e^{f(x)}\ f'(x)\\y=a^x&\to&y’=a^x\ln a\\ y=a^{f(x)}&\to&y’=a^{f(x)}\ln a\ f'(x) \end{array}$$

Chiudiamo con il caso logaritmico

$$ \begin{array}{l} y=\log x&\to&y’=\frac{1}{x}\\ y=\log\left(f(x)\right)&\to&y’=\frac{f'(x)}{f(x)}\\y=\log_a x&\to&y’=\frac{1}{x}\log_ae\\ y=\log_a\left(f(x)\right)&\to&y’=\frac{f'(x)}{f(x)}\log_ae \end{array}$$

(con log intendiamo il logaritmo naturale)

ESEMPIO DI CALCOLO DI FUNZIONI COMPOSTE

Vediamo qualche semplice esempio per il calcolo di funzioni composte suddividendole in:

• Potenze e radici
• Esponenziali
• Logaritmi
• Seno, coseno e tangente
• Arcoseno, arcocoseno, arcotangente
• Miste

DERIVATE COMPOSTE DI POTENZE E RADICI

Svolgiamo alcuni esempi dove andiamo a calcolare la derivata prima funzioni potenza e funzioni radici composte.

La regola generale cui ci faremo riferimento è la seguente:

$$ y=\left(f(x)\right)\alpha\toy’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}f'(x)$$

ESEMPIO 1

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=(x^2-x+1)^3$$

Applichiamo la regola di derivazione della potenza

$$ y=\left(f(x)\right)^\alpha\to y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}\ f'(x)$$

Dunque scriviamo:

$$ y’=3(x^2-x+1)^2(2x-1)$$

ESEMPIO 2

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=(e^x+x^3+\log x)^4$$

Applichiamo la regola di derivazione della potenza

$$ y=\left(f(x)\right)^\alpha\to y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=4(e^x+x^3+\log x)^3\left(e^x+3x^2+\frac{1}{x}\right)$$

ESEMPIO 3

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\sqrt{x\ e^x+\log x}$$

Riscriviamo la radice come una potenza di esponente 1/2

$$ y=(x\ e^x+\log x)^\frac{1}{2}$$

Applichiamo la regola di derivazione della potenza

$$ y=\left(f(x)\right)^\alpha\to y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}\ f'(x)$$

Perciò scriviamo:

$$ y’=\frac{1}{2}(x\ e^x+\log x)^{-\frac{1}{2}}\left((x+1)e^x+\frac{1}{x}\right)$$

Da notare che la derivata di (xe^x) è ottenuta applicando la regola di derivazione del prodotto:

$$ (xe^x)’=(x)’e^x+x(e^x)’=1\cdot e^x+x\ e^x=(1+x)e^x$$

Riscriviamo meglio la derivata reintroducendo le radici

$$y’=\frac{(x+1)e^x+\frac{1}{x}}{2\sqrt{x\ e^x+\log x}}$$

ESEMPIO 4

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\frac{1}{3\sqrt[3]{x\log x-x^2}}$$

Riscriviamo la radice come una potenza di esponente -1/3

$$ y=\frac{1}{2}(x\log x-x^2)^{-\frac{1}{3}}$$

Applichiamo la regola di derivazione della potenza

$$ y=\left(f(x)\right)^\alpha\to y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}\ f'(x)$$

Dunque scriviamo:

$$y’=-\frac{1}{3}(x\log x-x^2)^{-\frac{1}{3}}(\log x+1-2x)$$

Da notare che la derivata di (x logx) è

$$(x\log x)’=(x)’\log x+x(\log x)’=1\cdot\log x+x\frac{1}{x}=\log x+1$$

Riscriviamo meglio la derivata reintroducendo le radici

$$y’=-\frac{\log x+1-2x}{3\sqrt[3]{(x\log x-x^2)^4}}$$

ESEMPIO 5

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\sqrt[5]{\frac{x+e^x}{x-e^x}}$$

Riscriviamo la radice come una potenza di esponente 1/5

$$ y=\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)^\frac{1}{5}$$

Applichiamo la regola di derivazione della potenza

$$ y=\left(f(x)\right)^\alpha\to y’=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=\frac{1}{5}\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)^{-\frac{4}{5}}\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)’$$

Ora calcoliamo la derivata prima della frazione

$$\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)’=\frac{(x+e^x)'(x-e^x)-(x+e^x)(x-e^x)’}{}$$

Calcoliamo meglio il numeratore della frazione

$$\begin{aligned}&(1+e^x)(x-e^x)-(x+e^x)(1-e^x)=\\&(x-e^x+xe^x-e^{2x})-(x-xe^x+e^x-e^{2x}=\\&-2e^x+2x\ e^x=2e^x(x-1)\end{aligned}$$

A questo punto la derivata della frazione risulta

$$\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)’=\frac{2e^x(x-1)}{(x-e^x)^2}$$

Dunque la nostra derivata della funzione composta iniziale è

$$ y’=\frac{1}{5}\left(\frac{x+e^x}{x-e^x}\right)^{-\frac{4}{5}}\frac{2e^x(x-1)}{(x-e^x)^2}$$

Aggiustiamo la potenza e reintroduciamo la radice ribaltando la frazione e cambiando segno all’esponente

$$ y’=\frac{1}{5}\sqrt[5]{\left(\frac{x-e^x}{x+e^x}\right)^4}\frac{2e^x(x-1)}{(x-e^x)^2}$$

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Comincia il tuo percorso in una delle più avvincenti storie della matematica del XVII e del XVIII secolo.

Un viaggio incredibile che ti porterà a scoprire ed apprendere i segreti dei limiti, delle derivate e degli integrali

ESEMPIO DI DERIVATA DI FUNZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE

Svolgiamo alcuni esempi dove andiamo a calcolare la derivata prima funzioni esponenziali composte.

Le regole generali cui ci faremo riferimento sono le seguenti:

$$ y=e^{f(x)}\to y’=e^{f(x)}\ f'(x)\quad y=a^{f(x)}\to y’=a^{f(x)}\ln a\ f'(x)$$

ESEMPIO 1

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=e^{x^2-x+1}$$

Applichiamo la regola di derivazione dell’esponenziale

$$ y=e^{f(x)}\to y’=e^{f(x)}\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=e^{x^2-x+1}(2x-1)$$

ESEMPIO 2

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=e^{\sin x-\log x}$$

Applichiamo la regola di derivazione dell’esponenziale

$$ y=e^{f(x)}\to y’=e^{f(x)}\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$y’=e^{\sin x-\log x}\left(\cos x-\frac{1}{x}\right)$$

ESEMPIO 3

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=2^{\sin x-\cos x}$$

Applichiamo la regola di derivazione dell’esponenziale

$$y=a^{f(x)}\to y’=a^{f(x)}\ln a\ f'(x)$$

Perciò scriviamo:

$$y’=2^{\sin x-\cos x}\log2(\cos x+\sin x)$$

ESEMPIO 4

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\pi^\frac{x}{x^2-1}$$

Applichiamo la regola di derivazione dell’esponenziale

$$y=a^{f(x)}\to y’=a^{f(x)}\ln a\ f'(x)$$

Dunque scriviamo:

$$ y’=\pi^\frac{x}{x^2-1}\log\pi\left(\frac{x}{x^2-1}\right)’$$

Calcoliamo ora la derivata della frazione

$$\begin{aligned}&\left(\frac{x}{x^2-1}\right)’=\frac{(x)'(x^2-1)-(x)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}\\&=\frac{1\cdot(x^2-1)-(x)2x}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}=\end{aligned}$$

A questo punto riscriviamo la derivata prima della funzione iniziale

$$ y’=-\pi^\frac{x}{x^2-1}\log\pi\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$

ESEMPIO 5

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=e^\frac{x\log x}{\sin x}$$

Applichiamo la regola di derivazione dell’esponenziale

$$ y=e^{f(x)}\to y’=e^{f(x)}\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$y=e^\frac{x\log x}{\sin x}\left(\frac{x\log x}{\sin x}\right)’$$

Calcoliamo ora la derivata della frazione

$$\begin{aligned}&\left(\frac{x\log x}{\sin x}\right)’=\frac{(x\log x)'(\sin x)-(x\log x)(\sin x)’}{(\sin x)^2}=\\&\frac{\left(1\cdot\log x+x\cdot\frac{1}{x}\right)(\sin x)-(x\log x)\cos x}{\sin^2x}=\\&\frac{(\log x+1)\sin x-(x\log x)\cos x}{\sin^2x}\end{aligned}$$

La nostra derivata finale è:

$$y=e^\frac{x\log x}{\sin x}\frac{(\log x+1)\sin x-(x\log x)\cos x}{\sin^2x}$$

ESEMPIO DI CALCOLO DI FUNZIONI LOGARITMICHE COMPOSTE

Svolgiamo alcuni esempi dove andiamo a calcolare la derivata prima funzioni logaritmiche composte.

Le regole generali cui ci faremo riferimento sono le seguenti:

$$ y=\log\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{f(x)}\quad y=\log_a\left(f(x)\right)&\to&y’=\frac{f'(x)}{f(x)}\log_ae$$

(con log intendiamo il logaritmo naturale)

ESEMPIO 1

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\log(x^2-x+1)$$

Applichiamo la regola di derivazione del logaritmo composto:

$$ y=\log\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Dunque scriviamo:

$$ y’=\frac{2x-1}{x^2-x+1}$$

ESEMPIO 2

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=\log(e^x+\sin x-x^3)$$

Applichiamo la regola di derivazione del logaritmo composto:

$$ y=\log\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Perciò scriviamo:

$$ y’=\frac{e^x+\cos x-3x^2}{e^x+\sin x-x^3}$$

ESEMPIO 3

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$y=\log_2(x\ e^x-\sin x)$$

Applichiamo la regola di derivazione del logaritmo composto:

$$ y=\log_a\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{f(x)}\log_ae$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=\frac{(x+1)e^x-\cos x}{x\ e^x-\sin x}\log_2e$$

Da notare che la derivata di (xe^x) è

$$ (xe^x)’=(x)’e^x+x(e^x)’=1\cdot e^x+x\ e^x=(1+x)e^x$$

ESEMPIO 4

Calcoliamo la derivata della seguente funzione

$$ y=\log\frac{2e^x-1}{e^x+1}$$

Applichiamo la regola di derivazione del logaritmo composto:

$$ y=\log\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Dunque scriviamo:

$$ y’=\frac{1}{\frac{2e^x-1}{e^x+1}}\left(\frac{2e^x-1}{e^x+1}\right)’$$

Calcoliamo ora la derivata della frazione

$$\begin{aligned}&\left(\frac{2e^x-1}{e^x+1}\right)’=\\&\frac{(2e^x-1)'(e^x+1)-(2e^x-1)(e^x+1)’}{(e^x+1)^2}=\frac{2e^x(e^x+1)-(2e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=\end{aligned}$$

Raccogliamo e^x al numeratore

$$\begin{aligned}&\frac{e^x\left(2(e^x+1)-(2e^x-1)\right)}{(e^x+1)^2}=\\&\frac{e^x\left(2e^x+2-2e^x+1\right)}{(e^x+1)^2}=\frac{3e^x}{(e^x+1)^2}\end{aligned}$$

A questo punto non ci resta che scrivere la derivata della funzione di partenza

$$ y’=\frac{1}{\frac{2e^x-1}{e^x+1}}\frac{3e^x}{(e^x+1)^2}$$

Ribaltiamo la prima frazione

$$ y’=\frac{e^x+1}{2e^x-1}\frac{3e^x}{(e^x+1)^2}$$

Semplifichiamo il primo numeratore con il secondo denominatore e moltiplichiamo le frazioni

$$ y’=\frac{e^x}{(2e^x-1)(e^x+1)}$$

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

DERIVATE COMPOSTE DI SENO, COSENO E TANGENTE

Calcoliamo ora derivate di funzioni goniometriche composte: seno, coseno e tangente

Le regole cui faremo riferimento sono le seguenti:

$$\begin{array}{l} y=\sin\left(f(x)\right)&\to&y’=\cos\left(f(x)\right)\ f'(x)\\ y=\cos\left(f(x)\right)&\to&y’=-\sin\left(f(x)\right)\ f'(x)\\ y=\tan\left(f(x)\right)&\to&y’=\left(1+\tan^2\left(f(x)\right)\right)\ f'(x)\end{array}$$

ESEMPIO 1

$$ y=\sin(x^2-x+3)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\sin\left(f(x)\right)\to y’=\cos\left(f(x)\right)\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=\cos(x^2-x+3)\ (2x-1)$$

ESEMPIO 2

$$y=\sin(xe^x+\tan x)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\sin\left(f(x)\right)\to y’=\cos\left(f(x)\right)\ f'(x)$$

Dunque scriviamo:

$$y’=\sin(xe^x+\tan x)\ \left((1+x)e^x+1+\tan^2x\right)$$

ESEMPIO 3

$$ y=\cos(3x^2+2x+1)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\cos\left(f(x)\right)\to y’=-\sin\left(f(x)\right)\ f'(x)$$

Perciò scriviamo:

$$\begin{aligned}&y’=-\sin(3x^2+2x+1)\ (6x+2)\\&y’=-2\sin(3x^2+2x+1)\ (3x+1)\end{aligned}$$

ESEMPIO 4

$$ y=\cos(\sqrt{x}-2^x+5^x)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\cos\left(f(x)\right)\to y’=-\sin\left(f(x)\right)\ f'(x)$$

Quindi scriviamo:

$$ y’=\cos(\sqrt{x}-2^x+5^x)\ \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-2^x\log 2+5^x\log 5\right)$$

ESEMPIO 5

$$ y=\tan(\sin x+\cos x)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\tan\left(f(x)\right)\to y’=\left(1+\tan^2\left(f(x)\right)\right)\ f'(x)

Dunque scriviamo:

$$ y’=\left(1+\tan^2(\sin x+\cos x)\right)(\cos x-\sin x)$$

Oppure possiamo anche scriverla così:

$$y’=\frac{\cos x-\sin x}{\cos^2(\sin x+\cos x)}$$

SCOPRI LA TRIGONOMETRIA

DERIVATE COMPOSTE DI FUNZIONI ARCOSENO, ARCOCOSENO E ARCOTANGENTE

Svolgiamo alcuni esempi dove andiamo a calcolare la derivata prima di funzioni goniometriche inverse: arcoseno (sin^-1), arcocoseno (cos^-1) e arcotangente (tan^-1).

Le regole generali cui ci faremo riferimento sono le seguenti:

$$\begin{array}{l} y=\sin^{-1}\left(f(x)\right)&\to&y’=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\left(f(x)\right)^2}}\\ y=\cos^{-1}\left(f(x)\right)&\to&y’=-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\left(f(x)\right)^2}}\\ y=\tan^{-1}\left(f(x)\right)&\to&y’=\frac{f'(x)}{1+\left(f(x)\right)^2}\end{array}$$

ESEMPIO 1

Calcoliamo la derivata della seguente funzione

$$y=\sin^{-1}(x^4-x^2)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\sin^{-1}\left(f(x)\right) \to y’=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\left(f(x)\right)^2}}$$

Dunque scriviamo:

$$y’=\frac{(x^4-x^2)’}{\sqrt{1-(x^4-x^2)^2}}=\frac{4x^3-2x}{\sqrt{1-(x^4-x^2)^2}}=\frac{2x(2x^2-1)}{\sqrt{1-(x^4-x^2)^2}}$$

ESEMPIO 2

Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\cos^{-1}(x\ln x)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\cos^{-1}\left(f(x)\right)\to y’=-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\left(f(x)\right)^2}}$$

Quindi scriviamo:

$$y’=-\frac{(x\ln x)’}{\sqrt{1-(x\ln x)^2}}=-\frac{1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}}{\sqrt{1-(x\ln x)^2}}=-\frac{\ln x+1}{\sqrt{1-(x\ln x)^2}}$$

ESEMPIO 3

Calcoliamo la derivata della seguente funzione

$$y=\tan{-1}(2^x+3^x+5^x)$$

Applichiamo la regola di derivazione composta

$$y=\tan^{-1}\left(f(x)\right)\to y’=\frac{f'(x)}{1+\left(f(x)\right)^2}$$

Perciò scriviamo:

$$y’=\frac{(2^x+3^x+5^x)’}{1+(2^x+3^x+5^x)^2}=\frac{2^x\ln 2+3^x\ln 3+5^x\ln 5}{1+(2^x+3^x+5^x)^2}$$

ESERCIZI SU VARI SUL CALCOLO DI DERIVATE COMPOSTE

Vediamo ora un po’ di esercizi generali sul calcolo di funzioni composte

ESERCIZIO 1

Calcola la derivata della seguente funzione composta

$$ y=\sqrt{\log(e^x+1)}$$

Riscriviamo la funzione come una potenza

$$y=\left(\log(e^x+1)\right)^\frac{1}{2}$$

Si tratta di una funzione composta da tre funzioni del tipo:

$$y=f\left(g\left(k(x)\right)\right)$$

Dove:

$$f(g)=g^\frac{1}{2}\quad g(k)=\log k\quad k(x)=e^x+1$$

Apriamo una parentesi sulla simbologia appena adottata:

Quando scriviamo f intendiamo la funzione che può essere espressa sia in termini di g (f(g)), che in termini di k (f(g(k))) che in termini di x (f(g(k(x))):

$$ f=\left(\quad f(g)=\sqrt{g}\quad\right)=\left(\quad f(g(k))=\sqrt{\log k}\quad\right)=\left(\quad f(g(k(x)))=\sqrt{\log (e^x+1)}\quad\right)$$

Lo stesso vale per la funzione g che può essere riscritta in funzione di k (g(k)) oppure in funzione della x (g(k(x)))

$$ g=\left(\quad g(k)=\log k\quad \right)=\left(\quad g(k(x))=\log (e^x+1)\quad \right)$$

Ovviamente quando intendiamo scrivere la funzione k la possiamo esprimere solo in funzione della x (k(x))

$$ k(x)=e^x+1$$

Le derivate semplici risultano

$$y'(f)=\frac{df}{dg}=\frac{1}{2}g^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\quad g'(k)=\frac{dg}{dk}=\frac{1}{k}\quad k'(x)=\frac{dk}{dx}=e^x$$

Il procedimento generale ci dice che

$$ y’=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dk}\cdot\frac{dk}{dx}= \frac{1}{2}g^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{k}\cdot e^x $$

Esprimendo tutto rispetto alla variabile x possiamo scrivere:

$$y’=\frac{2}{2}\left(\log(e^x+1)\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{e^x+1}\cdot e^x$$

Rimettendo tutti i pezzi insieme otteniamo

$$ y’=\frac{e^x}{2(e^x+1)\sqrt{\log(e^x+1)}}$$

ESERCIZIO 2

Calcola la derivata della seguente funzione

$$ y=e^{\sin\sqrt{x^2-1}}$$

Si tratta di una funzione composta da quattro funzioni del tipo:

Dove:

$$f(g)=e^g\quad g(k)=\sin k\quad k(h)=\sqrt{h}\quad h(x)=x^2-1$$

Qui potremo fare lo stesso ragionamento per la funzione f che può essere riscritta come: f(g), f(g(k), f(g(h)), f(g(k(h(x))) (e anche per le altre).

Le derivate semplici risultano

$$f'(g)=\frac{df}{dg}=e^g\quad g'(k)=\frac{dg}{dk}=\cos k\quad k'(h)=\frac{dk}{dh}=\frac{1}{2\sqrt{h}}\quad h'(x)=\frac{dh}{dx}=2x$$

Il procedimento generale ci dice che

$$y’=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dk}\cdot\frac{dk}{dh}\cdot\frac{dh}{dx}=e^g\cdot\cos k\cdot\frac{1}{2\sqrt{h}}\cdot2x$$

Riscriviamo la derivata della funzione rispetto alla sola x

$$ y’=e^{\sin\sqrt{x^2-1}}\cdot\cos\sqrt{x^2-1}\cdot\frac{1}{sqrt{x^2-1}}\cdot2x$$

Possiamo riscrivere tutto esteticamente meglio come segue:

$$y’=e^{\sin\sqrt{x^2-1}}\frac{x\cos\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}$$

ESERCIZIO 3

Calcola la derivata della seguente funzione composta

$$y=\log\sqrt{\frac{xe^x+1}{2+xe^x}}$$

Si tratta di una funzione composta da tre funzioni del tipo:

$$ y=f\left(g\left(k(x)\right)\right)$$

Dove:

$$f(g)=\log g\quad g(k)=\sqrt{k}\quad k(x)=\frac{a(x)}{b(x)}$$

Le derivate semplici risultano

$$f'(g)=\frac{1}{g}\quad g'(k)=\frac{1}{2\sqrt{k}}\quad k'(x)=\left(\frac{a(x)}{b(x)}\right)’\frac{a'(x)\ b(x)-a(x)\ b'(x)}{\left(b(x)\right)^2}$$

Il procedimento generale ci dice che

$$ y’=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dk}\cdot\frac{dk}{dx}= \frac{1}{g}\cdot\frac{1}{2\sqrt{k}}\cdot\left(\frac{a(x)}{b(x)}\right)’ $$

Applichiamo dunque le regole delle derivate elementari alla funzione composta

$$ y’=\frac{1}{\sqrt{\frac{xe^x+1}{2+xe^x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{xe^x+1}{2+xe^x}}}\cdot\left(\frac{xe^x+1}{2+xe^x}\right)’$$

Mettiamo insieme le due radici ribaltando la prima frazione:

$$y’=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{xe^x+1}{2+xe^x}}\left(\frac{xe^x+1}{2+xe^x}\right)’=\frac{1}{2}\cdot\frac{2+xe^x}{xe^x+1}\left(\frac{xe^x+1}{2+xe^x}\right)’$$

Ora calcoliamo la derivata della frazione

$$\left(\frac{xe^x+1}{2+xe^x}\right)’=\frac{(xe^x+1)'(2+xe^x)-(xe^x+1)(2+xe^x)’}{(2+xe^x)^2}$$

Focalizziamo i calcoli al numeratore

$$(x+1)e^x(2+xe^x)-(xe^x+1)(x+1)e^x=$$

Raccogliamo a fattor comune

$$(x+1)e^x((2+xe^x-xe^x-1)=(x+1)e^x$$

Dunque la derivata della frazione è:

$$\left(\frac{xe^x+1}{2+xe^x}\right)’=\frac{(x+1)e^x}{(2+xe^x)^2}$$

Riscriviamo a questo punto la derivata della funzione iniziale

$$y’=\frac{1}{2}\cdot\frac{2+xe^x}{xe^x+1}\frac{(x+1)e^x}{(2+xe^x)^2}$$

Semplifichiamo e mettiamo insieme tutti i pezzi

$$y’=\frac{(x+1)e^x}{2(xe^x+1)(2+xe^x)}$$

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