Il Seicento fu ossessionato dall’infinito. Armati del nuovo e potente Metodo degli Indivisibili (di cui abbiamo parlato grazie a Cavalieri), i matematici iniziarono a “sommare” serie infinite e a calcolare aree e volumi di forme che si estendevano all’infinito. Fu in questo clima di audace esplorazione che Evangelista Torricelli (sì, lo stesso del barometro) scoprì un oggetto che sfidava la logica e il senso comune: un solido con un volume finito ma una superficie infinita.
Questo oggetto è noto come la Tromba di Gabriele (o Solido iperbolico acuto).
Il Paradosso Matematico
Immaginate di prendere la curva dell’iperbole $y = 1/x$. Ora, prendete la parte di questa curva che va da $x=1$ fino all’infinito e fatela ruotare attorno all’asse $x$. Quello che ottenete è una specie di corno o tromba che si estende all’infinito, diventando sempre più sottile ma senza mai chiudersi.
Torricelli, usando il Metodo degli Indivisibili (che oggi chiamiamo Calcolo Integrale), decise di calcolare il Volume di questa tromba e l’Area della sua superficie. I risultati furono sconvolgenti.
1. Il Volume (L’Integrale Converge)
Per calcolare il volume, si “sommano” (integrano) le aree di infiniti dischi sottili. La formula moderna è:
$$\text{Volume} = \int_{1}^{\infty} \pi y^2 dx = \int_{1}^{\infty} \pi \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$$
Questo integrale, sorprendentemente, converge (cioè dà un risultato finito):
$$\text{Volume} = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{\infty} = \pi \left( 0 – (-1) \right) = \pi$$
Il volume della Tromba di Gabriele, un oggetto lungo all’infinito, è finito. È $\pi$ (circa 3,14).
2. L’Area (L’Integrale Diverge)
Poi, Torricelli calcolò l’area della superficie. Per farlo, si “sommano” le circonferenze di quegli stessi dischi. La formula moderna è più complessa, ma si può dimostrare che l’area è maggiore di:
$$\text{Area} = \int_{1}^{\infty} 2\pi y dx = \int_{1}^{\infty} 2\pi \left(\frac{1}{x}\right) dx = 2\pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$$
Questo integrale diverge (cioè va all’infinito):
$$\text{Area} = 2\pi \left[ \ln(x) \right]_{1}^{\infty} = 2\pi (\infty – 0) = \infty$$
L’area della superficie della Tromba di Gabriele è infinita.
Il Paradosso del Pittore
Qui nasce il paradosso, spesso chiamato “il Paradosso del Pittore”:
Abbiamo un oggetto con un volume finito ($\pi$) ma una superficie infinita. Questo significa che possiamo riempire l’intera tromba con una quantità finita di vernice (circa 3,14 litri), ma non avremo mai abbastanza vernice per dipingere la sua superficie esterna (o interna).