Il problema della brachistocrona (“il percorso del tempo più breve” in greco) è una sfida classica della fisica e della matematica, che ci conduce nei meandri dell’affascinante calcolo infinitesimale.

Posto da Johann Bernoulli nel 1696, chiedeva:

“quale curva deve seguire un punto materiale che scivola, senza attrito, tra due punti posti su piani diversi, per impiegare il minor tempo possibile?”

Intuitivamente, si potrebbe pensare che la traiettoria più veloce sia una linea retta, in quanto il percorso più breve tra due punti. Tuttavia, questa intuizione si rivela errata.

Un oggetto che scivola lungo una curva più ripida all’inizio guadagna velocità più rapidamente, e questa maggiore velocità gli permette di completare il percorso in meno tempo, anche se la distanza è maggiore.

La soluzione al problema è la cicloide, la stessa curva generata da un punto su una ruota che rotola.

L’Integrale del Tempo di Caduta

Per risolvere questo problema, si utilizza l’integrale del tempo di caduta. Il tempo $T$ impiegato per percorrere una curva di lunghezza infinitesimale $ds$ è dato da:

$$T = \int_{P_1}^{P_2} \frac{ds}{v}$$
dove $P_1$ e $P_2$ sono i punti di partenza e arrivo, e $v$ è la velocità. La velocità è data dal principio di conservazione dell’energia.

Supponendo che il corpo parta da fermo, la velocità in un punto di altezza $y$ è data da:
$$v = \sqrt{2gy}$$

Sostituiamo l’espressione di $ds$ in termini di $dx$ e $dy$ ($ds = \sqrt{1+(y’)^2}dx$), l’integrale diventa:
$$T=\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1+(y’)^2}}{\sqrt{2gy}}dx$$
L’obiettivo è minimizzare questo integrale. Questa è la base del calcolo delle variazioni, e la soluzione non è la retta ma la cicloide.

Il Caso della Traiettoria Rettilinea

Consideriamo una linea retta che parte dal punto $A=(0,0)$ e arriva al punto $B=(x_B,y_B)$. L’equazione di questa retta è $y=\frac{y_B}{x_B}x$.

Calcolo della derivata:

La derivata di $y(x)$ rispetto a $x$ è semplicemente la pendenza ($m$) della retta:
$$y’=\frac{dy}{dx}=\frac{y_B}{x_B}=m$$
Poiché $y’$ è una costante, $\sqrt{1+(y’)^2}$ è anch’esso una costante.

Sostituzione nell’integrale del tempo:

Sostituiamo $y’=m$ e $y(x)=mx$ nell’integrale del tempo che abbiamo visto:
$$T_{\text{retta}}=\int_{0}^{x_B} \frac{\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{2g(mx)}}dx$$
Raccogliamo le costanti fuori dall’integrale:
$$T_{\text{retta}}=\frac{\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{2gm}}\int_{0}^{x_B} \frac{1}{\sqrt{x}}dx$$

Risoluzione dell’integrale:

L’integrale di $\frac{1}{\sqrt{x}}$ è $2\sqrt{x}$. Applicando i limiti di integrazione da 0 a $x_B$:

$$\int_{0}^{x_B} \frac{1}{\sqrt{x}}dx = [2\sqrt{x}]{0}^{x_B} = 2\sqrt{x_B}$$

Risultato finale:

Sostituiamo il risultato dell’integrale nell’equazione del tempo: $$T{\text{retta}}= 2\sqrt{\frac{x_B^2+y_B^2}{2gy_B}}$$

Il risultato è un valore del tempo che, come dimostrato dal calcolo delle variazioni, sarà sempre maggiore del tempo impiegato per percorrere la cicloide. Questo dimostra matematicamente che la linea retta non è il percorso più veloce per la discesa.

La Dimostrazione per la Cicloide

Partiamo dall’integrale del tempo:
$$T=\int_{A}^{B}\frac{ds}{v}=\int_{A}^{B}\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gy}}$$

Sostituzione con le Equazioni Parametriche:

Per la cicloide, abbiamo:
$$x(\theta) = r(\theta – \sin(\theta))$$
$$y(\theta) = r(1 – \cos(\theta))$$
Abbiamo anche bisogno delle derivate rispetto a $\theta$:
$$dx = r(1-\cos(\theta))d\theta$$
$$dy = r\sin(\theta)d\theta$$

Sostituzione nell’Integrale:

Sostituiamo $dx$ e $dy$ nell’espressione per ds :

$$ds = 2r\sin(\theta/2)d\theta$$

Sostituzione di y:

Sostituiamo anche l’espressione di $y$ nell’integrale:

$$y=r(1-\cos(\theta))=2r\sin^2(\theta/2)$$

Ricomposizione dell’Integrale:

Ora sostituiamo le espressioni di $ds$ e $\sqrt{2gy}​ nell’integrale del tempo:

$$T_{\text{cicloide}} = \sqrt{\frac{r}{g}}(\theta_B-\theta_A)$$

Esempio Finale: La Corsa tra le Curve

Per la retta:

Prendiamo un punto di arrivo $B$ con coordinate $(x_B,y_B)=(\pi,2)$. Questi valori sono scelti perché si adattano perfettamente all’equazione della cicloide, semplificando il calcolo in seguito.

$$T_{\text{retta}} = 2 \sqrt{\frac{\pi^2+2^2}{2g(2)}} = \sqrt{\frac{\pi^2+4}{g}}$$

Approssimando con $\pi \approx 3.14$:

$$T_{\text{retta}} \approx \sqrt{\frac{13.86}{g}} \approx 3.72\sqrt{\frac{1}{g}}$$

Per la cicloide:

Per far sì che la cicloide passi per il punto $B=(\pi,2)$, dobbiamo trovare i valori di $r$ e $\theta$ che soddisfano le equazioni. Scegliamo un valore del parametro $\theta=\pi$, otteniamo:
$$x(\pi) = r(\pi-\sin(\pi))=r\pi=\pi \Rightarrow r=1$$
$$y(\pi) = r(1-\cos(\pi))=2r=2 \Rightarrow r=1$$
Ora usiamo la formula del tempo che abbiamo derivato per la cicloide, sapendo che il punto di partenza $A$ è l’origine $(0,0)$, il parametro $\theta_A$ sarà 0. Sostituiamo i valori:
$$T_{\text{cicloide}} = \sqrt{\frac{1}{g}} (\pi – 0) = \pi\sqrt{\frac{1}{g}}$$
Con $\pi \approx 3.14$:
$$T_{\text{cicloide}} \approx 3.14\sqrt{\frac{1}{g}}$$
Confrontando i due risultati:

Tempo sulla retta: $T_{\text{retta}} \approx 3.72\sqrt{\frac{1}{g}}$

Tempo sulla cicloide: $T_{\text{cicloide}} \approx 3.14\sqrt{\frac{1}{g}}$

È chiaro che il tempo necessario per scivolare lungo la cicloide è minore del tempo necessario per scivolare lungo la linea retta. Questo esempio numerico, costruito appositamente per essere pulito, dimostra in modo inconfutabile la validità della teoria.

La cicloide è il percorso che sfrutta una pendenza iniziale più ripida per far accelerare l’oggetto, compensando così il fatto di essere più lunga e battendo il percorso più breve in termini di tempo.

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