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DEFINIZIONE DELLA RETTA

EUCLIDE , GLI ELEMENTI E LE DEFINIZIONI PRELIMINARI

Il primo a dare una definizione di retta fu Euclide tra il IV e il III secolo a.C. nelle sua opera “Elementi di geometria”.

Nelle definizioni preliminari, dopo aver definito il punto come “ciò che non ha parti” e la linea come una “lunghezza senza larghezza” da la definizione di linea retta.

Euclide ne da la seguente definizione:

Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa (cioè, ai suoi punti)”.

Se non avete capito questa frase non vi preoccupate perché ne daremo un senso un po’ più moderno.

Per quanto riguarda il punto, che è il primo ente geometrico fondamentale potremmo dire che esso non ha dimensioni.

Mentre la linea presenta solamente una dimensione, ovvero quella della lunghezza.

Per linea retta potremmo intendere quella linea che segue il percorso più breve tra due punti.

In questo secondo una linea retta, il secondo ente geometrico fondamentale,  è un insieme infinito di punti che segue sempre la direzione più breve tra due punti qualsiasi che giacciono su di essa.

CARTESIO E L’UONE DELLA GEOMETRIA CON LA MATEMATICA

Quasi due millenni dopo un altro matematico, Cartesio, ebbe il grande merito di unire la geometria dei classici con la matematica.

Da questa unione prese vita quella che oggi chiamiamo la geometria cartesiana.

René Descartes, Cartesio appunto, è stato filosofo e matematico francese.

Egli è ritenuto tra i fondatori della concezione filosofica e matematica in termini moderni ed passato alla storia per la sua famosa frase “cogito ergo sum” cioè “penso dunque sono”.

La maggior parte della sua vita fu segnata dal desiderio di trovare un centro di gravità permanente della conoscenza attraverso il quale poter descrivere ogni aspetto della realtà.

Cartesio trovò questo centro nella matematica.

Tutta la realtà poteva essere descritta attraverso leggi matematiche, che ne forniscono gli schemi di interpretazione.

L’opera più importante scritta da Cartesio fu “il discorso sul metodo”, che fornisce un quadro di riferimento per la scienza moderna.

Una delle tre appendici del metodo è la GEOMETRIE, in cui fa conoscere ai suoi contemporanei i principi della geometria euclidea.

Proprio all’interno della Geometrie Cartesio rielabora la geometria euclidea attraverso dei ragionamenti di natura matematica chiama lunghezze di segmenti indicate con AB, BC CD ecc. con i numi di x, y e z.

Comprendere a fondo i ragionamenti del matematico francese non è impresa affatto facile.

I ragionamenti sono pressoché contorti ma hanno il grande merito di dar vita alla fusione tra la geometria classica e la matematica moderna.

Così nasce dopo millenni di separazione la geometria cartesiana.

LA NOZIONE MODERNA DI RETTA

Grazie a cinque secoli di esperimenti abbiamo formalizzato in maniera quasi definitiva le informazioni che ci vengono dai classici e da Cartesio.

Così oggi tutta la geometria cartesiana è ben formalizzata attraverso formula e schemi.

EQUAZIONE IMPLICITA DELLA RETTA

Andiamo dunque  ad introdurre la teoria della retta.

L’equazione di una retta può essere scritta in due forme principali, quella implicita e quella esplicita.

Nella sua forma implicita abbiamo un’equazione in cui sul lato sinistro abbiamo un generico trinomio in x e y di primo grado:

Dove ab, e c rappresentano dei coefficienti reali

Sul lato destro dell’equazione troviamo lo zero 0.

L’equazione di una retta si presenta nella sua forma implicita come:

Se togliamo quelle asterisco al posto del simbolo per la possiamo vedere in modo più semplice come:

CASI ELEMENTARI a=0, b=0; c=0

A partire dall’equazione implicita della retta:

Possiamo studiare dei casi più elementari ponendo uguali a zero ognuno dei coefficienti per vedere cosa succede all’equazione.

Se imponiamo nullo il primo coefficiente l’equazione diventa

Ponendo invece  b pari a zero otteniamo:

Quando annulliamo il termine noto c scriviamo:

CASI ELEMENTARI a=0

Vediamo che cosa succede più nel dettaglio cosa succede nel primo di questi tre casi.

Partendo dall’equazione:

Se imponiamo:

Otteniamo:

Cioè possiamo riscrivere:

Ora possiamo ricavare la y in funzione del resto, spostiamo a destra il c cambiando di segno:

E dividiamo tutto per b.

Siccome i termini b e c sono dati e sono dei numeri, allora y risulta pari ad una costante che possiamo chiamare semplicemente k.

Avremo quindi l’espressione:

Dal punto di vista grafico possiamo concepire l’equazione:

Come una retta orizzontale costante.

Infatti qualsiasi sia il valore della x la y non cambia mai e rimane sempre pari a k.

ESEMPIO

Per fare un esempio pratico del caso:

Immaginiamo di dare a b il valore 2 e a c il valore -4.

L’equazione che scriviamo è :

Se spostiamo a destra il -4, cambiamo di segno e successivamente dividiamo per 2 abbiamo il valore della y

Per qualsiasi valore della x il valore della y rimarrà invariato e pari a 2.

Perciò nel sistema cartesiano faremo passare la retta ad esempio per i punti:

E potremmo continuare all’infinito.

Quello che ne viene fuori è una retta orizzontale.

Potete pensare ad esempio state camminando in piano ovvero sempre alla stessa altitudine.

CASI ELEMENTARI  b=0

Possiamo procedere in modo identico nel secondo caso in cui si annullava la b.

Partendo dall’equazione:

Se imponiamo:

Otteniamo:

Cioè possiamo riscrivere:

Ora possiamo ricavare la x in funzione del resto, spostiamo a destra il c cambiando di segno:

E dividiamo tutto per a.

Siccome i termini b e c sono dati e sono dei numeri, allora x risulta pari ad una costante che possiamo chiamare semplicemente h.

Avremo quindi l’espressione:

In questo caso ci troviamo di fronte ad una retta verticale.

Per qualsiasi valore della y, la x varrà sempre h.

ESEMPIO

Facciamo un esempio del caso 

Consideriamo la retta:

Spostando a destra il 2, cambiando si segno e dividendo entrambi i membri per 3 abbiamo la nostra x.

Che possiamo rappresentare come una retta verticale che passa per tutti i punti di ascissa -3/2.

CASI ELEMENTARI  c=0

Passiamo ora al terzo dei tre casi quello in cui poniamo il termine costante c uguale a zero.

Partendo dall’equazione parametrica:

Imponendo 

Otteniamo

Ovviamente questa è una retta passante per l’origine.

Se infatti sostituiamo le coordinate dell’origine (0;0) troviamo soddisfatta questa equazione.

Se proviamo ora a ricavare la y in funzione della x, ovvero la formula esplicita della retta, risolviamo l’equazione di primo grado in y.

Spostiamo a destra ax cambiando di segno:

Ora dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della y

Per comodità diamo il nome m al posto del coefficiente –a/b.

Si può facilmente dimostrare che quest’ultima è una retta passante per l’origine degli assi del sistema cartesiano.

ESEMPIO

Facciamo un esempio del terzo caso:

Consideriamo la retta nella sua forma implicita:

Se spostiamo a destra il  –3y l’espressione diventa:

Che possiamo rileggere da destra verso sinistra come:

A questo punto dividiamo entrambi i termini per 3 e otteniamo:

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Per rappresentare graficamente nel piano cartesiano questa retta, basta attribuire valori a scelta alle x per ricavare i valori della y .

Se imponiamo alla x il valore 1 la y risulta pari a due. Infatti:

Quindi la retta passa per il punto di coordinate (1; 2)

Se facciamo questa operazione con i valori della x

Otteniamo che i corrispondenti valori delle y sono:

Dunque la retta passa per i punti di coordinate:

E così via…

FORMA ESPLICITA     y=m*x + q

Adesso vediamo come ricavare la formula esplicita di una retta a partire dalla sua forma implicita completa.

Partiamo dalla forma implicita:

Isoliamo la y sul lato sinistro e spostiamo tutto il resto a destra cambiando di segni:

A questo punto dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della y b, ottenendo la forma esplicita della retta:

Ora per semplicità chiamiamo m il coefficiente della x, ovvero -a/b,  e con il nome q il termine noto -c/b.

RICAVARE LA FORMA ESPLICITA – ESEMPIO

Facciamo un esempio pratico per ricavare la forma esplicita della retta a partire dal quella implicita.

Consideriamo la retta nella sua forma implicita:

Isoliamo la y sul lato sinistro spostando a destra il resto e cambiando di segno:

Dividiamo tutto per 2:

Quindi l’equazione in forma esplicita della retta è:

RAPPRESENTAZIONE PUNTO A PUNTO

Rappresentiamo ora punto a punto la retta fissando dei valori delle x e ricavando la y attraverso l’equazione di in forma esplicita:

Se alla x attribuiamo valore 0 avremo:

La retta passa dunque per il punto di di coordinate:

Se alla x attribuiamo con lo stesso procedimento i valori 1, 2 e –1, i corrispondenti valori delle y sono 7/2, 11/2 e –1/2

Dunque la retta passa per i punti:

COEFFICIENTE ANGOLARE E ORDINATA ALL’ORIGINE

Quando consideriamo la forma esplicita della retta:

Possiamo attribuire ai due parametri m e q dei significati ben precisi sia del punto di vista matematico che geometrico.

Il parametro m identifica il coefficiente angolare della retta.

Mentre il parametro q è chiamato intercetta (ordinata)  all’origine.

ORDINATA ALL’ORIGINE

Partiamo dal parametro q, che identifica l’intercetta all’origine.

Se consideriamo la retta studiata sopra:

Essa passa per il punto 

Questo identifica il punto di intersezione con l’asse delle y.

Il parametro 3/2 dell’equazione della retta in forma esplicita ha dunque questo significato geometrico.

Il parametro noto verrà dunque identificato con il nome intercetta o ordinata all’origine.

Poiché è il valore assunto dalla y (ordinata) in prossimità dell’origine, cioè quando la x vale zero.

Dal punto di vista matematico 3/2 è il valore che la y assume quando il valore della x è pari a zero.

INTERCETTA ALL’ORIGINE

Anche considerando la formula generale della retta esplicita:

Notiamo subito che se la x assume valore zero la corrispondente y vale proprio q.

La retta passa dunque per il punto (0; q), che rappresenta l’ordina all’origine.

COEFFICIENTE ANGOLARE

Un po’ più laboriosa è la spiegazione dell’altro parametro m

Nell’equazione della nostra retta:

Possiamo notare che quando aumentiamo la x di una unità la y aumenta costantemente di 2 unità.

Ad esempio questo avviene passando dal punto (–1; 1/2) al punto (0; 3/2).

Ma anche se passiamo dal punto (0; 3/2) al punto (1;7/2).

Oppure ancora quando passiamo dal punto (1; 7/2) al punto (2; 11/2) e così via.

Ogni volta che aumentiamo la x di una unità la risposta delle y è sempre costante ed è pari a 2.

In questo caso specifico dunque il 2 è il coefficiente angolare, che può essere identificato come la variazione delle y quando la x aumenta di una sola unità.

COEFFICIENTE ANGOLARE

Se consideriamo sempre nella retta:

 un aumento o in generale una variazione delle ascisse x che sia diversa da 1, notiamo che la y questa volta non aumenta di 2.

Ad esempio se passiamo da unto della retta di coordinate (0; 3/2) al punto di coordinate (2; 11/2) l’incremento sulle x è di 2 unità.

L’incremento sulle y è pari a 4 ovvero alla differenza tra le ordinate dei punti:

Ora se facciamo il rapporto tra la variazione delle y (che possiamo chiamare ∆y) e la variazione delle x (∆x) otteniamo proprio il coefficiente angolare 2.

Si può dimostrare che per qualsiasi coppia di punti che appartengono alla retta vale questa proprietà.

COEFFICIENTE ANGOLARE

Considerando l’equazione generale della retta in forma esplicita

Il valore del coefficiente angolare m esprime la variazione della y quando la x aumenta di una unità

Se passiamo infatti da un generico punto di ordinata x , il valore della y è appunto:

Se aumentiamo la x di una unità e quindi passiamo al punto di ascissa x+1, avremo che il corrispondete valore della y’ è pari a:

Ovvero:

Se facciamo la differenza tra y’ e y per calcolare la variazione della y otteniamo proprio m

D’altro canto il coefficiente angolare m della retta può essere visto come il rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse.

Consideriamo infatti due punti P1 e P2 che appartengono alla retta 

Se sostituiamo a y1 e y2 i valori ricavati dall’equazione della retta otteniamo:

Se calcoliamo la variazione delle y ∆y abbiamo:

Calcolando otteniamo:

Raccogliendo a fattor comune la m ci risulta:

Da notare che il termine dentro la parentesi può essere identificato come la variazione delle x, cioè ∆x.

Dunque possiamo anche scrivere:

Da cui possiamo ricavare m proprio come il rapporto tra la variazione delle ordinate ∆y rispetto a quella delle ascisse ∆x.

Il coefficiente angolare assume il significato di pendenza della retta.

Infatti ad un coefficiente angolare maggiore corrisponde una pendenza più elevata della retta.

LA RETTA IN SINTESI

La forma esplicita della retta è: 

Che possiamo riscrivere nella forma esplicita:

Dove q indica l’intercetta all’origine, ovvero il punto (0;q).

Il parametro m è il coefficiente angolare della retta che esprime il rapporto tra la variazione delle ascisse e quella delle ordinate.

RAPPRESENTAZIONE DI UNA RETTA DALL’EQUAZIONE ESPLICITA

È possibile  applicare le informazione che abbiamo appena appreso per rappresentare nel sistema cartesiano le rette di cui è nota l’equazione nella forma esplicita:

Ad esempio se abbiamo l’equazione della retta:

L’intercetta all’origine è 3, quindi la retta passa per il punto (0;1)

Il coefficiente angolare è 2.

Quindi se aumentiamo l’ascissa di 1 aumentiamo contestualmente l’ordinata di 2.

La retta passa perciò per il punto (1; 3)

Siccome per uno dei postulati della geometria per due punti distinti passa una sola retta, allora basta congiungere i due punti e prolungare.

DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE

Con le informazioni che abbiamo imparato sino a qui è possibile anche trovare l’equazione partendo da alcuni tipi di grafico.

Consideriamo ad esempio il grafico sottostante e vogliamo trovare l’equazione esplicita della retta.

Osserviamo che la retta passa per il punto (0,3), quindi deduciamo immediatamente il valore del parametro q pari a 3.

In secondo luogo vediamo che la retta passa anche per il punto (4;0)

Quindi possiamo calcolarci il valore del coefficiente angolare m

A questo punto abbiamo l’equazione della retta in oggetto:

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