Il teorema di Cauchy generalizza il teorema di Lagrange.
Il teorema di si applica a due funzioni ad una variabile reale f e g continue in un certo intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell’intervallo aperto (a,b), e la derivata di g non si annulla mai all’interno dell’intervallo aperto.
In questa situazione esiste almeno un punto c in cui il rapporto delle derivate tra f e g è pari al rapporto dei differenziali della funzioni f e g negli estremi dell’intervallo.
AUGUST LOUIS CAUCHY
IPOTESI DEL TEOREMA
- Continue nell’intervallo compatto (chiuso e limitato) [a,b]
- Derivabili nell’intervallo aperto (a,b)
- g′ (x)≠0 nell’intervallo (a,b)
TESI
Allora esiste almeno un punto c interno ad (a,b) tale che:
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione è molto simile (se non praticamente identica) alla dimostrazione fornita per il teorema di Lagrange.
Se non che qui sono in gioco due funzioni.
Consideriamo la funzione:
- F(x) è continua in [a,b], perché differenza di funzioni continue in [a,b]
- F(x) è derivabile in (a,b), perché differenza di funzioni derivabili in (a,b)
Determiniamo ora k di modo che F(x) soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, cioè si abbia che F(a) = F(b).
Avremo dunque che:
Sostituiamo dunque nella funzione:
Nel punto c avremo dunque che:
Calcoliamo ora la derivata di F(x),
Nel punto c avremo dunque che:
Detto in altri termini questo equivale a dire la tesi, cioè:
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Il teorema di Cauchy può essere considerato come un’espansione del teorema di Lagrange, che a suo volta è un’espansione del teorema di Rolle.
Per i già citati teoremi è stato abbastanza semplice fornire un’interpretazione geometrica.
Essa era legata ad una traslazione della retta passante per i punti della funzione estremi dell’intervallo fino ai punti di tangenza.
Per quanto riguarda il teorema di Cauchy ad essere sincero è molto difficile dare un’interpretazione geometrica.
Ho pensato e ripensato ad una possibile lettura della questione, ma le uniche idee che mi sono venute in mente erano di natura algebrica.
