
Il teorema di Cauchy generalizza il teorema di Lagrange, che a sua volta generalizza quello di Rolle.
Il teorema di si applica a due funzioni ad una variabile reale f e g continue in un certo intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell’intervallo aperto (a,b), e la derivata di g non si annulla mai all’interno dell’intervallo aperto.
In questa situazione esiste almeno un punto c in cui il rapporto delle derivate tra f e g è pari al rapporto dei differenziali della funzioni f e g negli estremi dell’intervallo.
AUGUST LOUIS CAUCHY

IPOTESI DEL TEOREMA
- Continue nell’intervallo compatto (chiuso e limitato) [a,b]
- Derivabili nell’intervallo aperto (a,b)
- g′ (x)≠0 nell’intervallo (a,b)
TESI
Allora esiste almeno un punto c interno ad (a,b) tale che:

DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione è molto simile (se non praticamente identica) alla dimostrazione fornita per il teorema di Lagrange.
Se non che qui sono in gioco due funzioni.
Consideriamo la funzione:

- F(x) è continua in [a,b], perché differenza di funzioni continue in [a,b]
- F(x) è derivabile in (a,b), perché differenza di funzioni derivabili in (a,b)
Determiniamo ora k di modo che F(x) soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, cioè si abbia che F(a) = F(b).
Avremo dunque che:

Sostituiamo dunque nella funzione:

Nel punto c avremo dunque che:

Calcoliamo ora la derivata di F(x),

Nel punto c avremo dunque che:

Detto in altri termini questo equivale a dire la tesi, cioè:

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Il teorema di Cauchy può essere considerato come un’espansione del teorema di Lagrange, che a suo volta è un’espansione del teorema di Rolle.
Per i già citati teoremi è stato abbastanza semplice fornire un’interpretazione geometrica.
Essa era legata ad una traslazione della retta passante per i punti della funzione estremi dell’intervallo fino ai punti di tangenza.
Per quanto riguarda il teorema di Cauchy ad essere sincero è molto difficile dare un’interpretazione geometrica.
Ho pensato e ripensato ad una possibile lettura della questione, ma le uniche idee che mi sono venute in mente erano di natura algebrica.
buongiorno, mi permetto di segnalare che c’è un errore nella tesi del teorema di cauchy è riportata la tesi del teorema di lagrange nonostante le funzioni siano 2, sono sicuro sia un errore di battitura, ma potrebbe essere utile correggerlo per chi viene sulla pagina per imparare, al fine di imparare una cosa sbagliata
Giusto
Grandissimo Fabrizio
Oggi correggo