TEOREMA DI CAUCHY

Il teorema di Cauchy generalizza il teorema di Lagrange, che a sua volta generalizza quello di Rolle.

Il teorema di si applica a due funzioni ad una variabile reale $f$ e $g$ continue in un certo intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabili nell’intervallo aperto $(a,b)$, e la derivata di $g$ non si annulla mai all’interno dell’intervallo aperto.

In questa situazione esiste almeno un punto c in cui il rapporto delle derivate tra $f$ e $g$ è pari al rapporto dei differenziali della funzioni f e g negli estremi dell’intervallo.

AUGUST LOUIS CAUCHY

TEOREMA DI CAUCHY (O Teorema del Valore Medio Generalizzato)

IPOTESI DEL TEOREMA

Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni (a una variabile reale):

• Continue nell’intervallo compatto (chiuso e limitato) $[a,b]$
• Derivabili nell’intervallo aperto $(a,b)$
• $g'(x) \neq 0$ (diversa da zero) per ogni $x$ nell’intervallo $(a,b)$

TESI

Allora esiste almeno un punto $c$ interno ad $(a,b)$ tale che:

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$$

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione è molto simile (se non praticamente identica) alla dimostrazione fornita per il teorema di Lagrange. L’unica differenza è che qui sono in gioco due funzioni.

Consideriamo la funzione ausiliaria $F(x)$:

$$F(x) = f(x) – kg(x) \quad \text{con } k \in \mathbb{R}$$

• $F(x)$ è continua in $[a,b]$, perché differenza di funzioni continue in $[a,b]$.
• $F(x)$ è derivabile in $(a,b)$, perché differenza di funzioni derivabili in $(a,b)$.

Determiniamo ora la costante $k$ in modo che $F(x)$ soddisfi la terza ipotesi del Teorema di Rolle, cioè si abbia $F(a) = F(b)$.

Avremo dunque che:

$$F(a) = F(b)$$

$$f(a) – kg(a) = f(b) – kg(b)$$

$$kg(b) – kg(a) = f(b) – f(a)$$

$$k(g(b) – g(a)) = f(b) – f(a)$$

Da cui ricaviamo $k$:

$$k = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$$

(Nota: La divisione è possibile perché $g(b) – g(a) \neq 0$. Se infatti fosse $g(b) = g(a)$, per il Teorema di Rolle esisterebbe un punto in $(a,b)$ dove $g'(x) = 0$, cosa che abbiamo escluso per ipotesi).

Sostituiamo dunque $k$ nella funzione ausiliaria:

$$F(x) = f(x) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} g(x)$$

Poiché $F(x)$ soddisfa tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, possiamo affermare che esiste almeno un punto $c \in (a,b)$ tale che la derivata $F'(c)$ sia zero:

$$F'(c) = 0$$

Calcoliamo ora la derivata di $F(x)$:

$$F'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} g'(x)$$

Valutando la derivata nel punto $c$, otteniamo:

$$F'(c) = f'(c) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} g'(c) = 0$$

Detto in altri termini, spostando i termini, questo equivale a dire la tesi, cioè:

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} g'(c)$$

E infine (poiché $g'(c) \neq 0$ per ipotesi):

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$$

C.V.D.

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Il teorema di Cauchy può essere considerato come un’espansione del teorema di Lagrange, che a suo volta è un’espansione del teorema di Rolle.

Per i già citati teoremi è stato abbastanza semplice fornire un’interpretazione geometrica.

Essa era legata ad una traslazione della retta passante per i punti della funzione estremi dell’intervallo fino ai punti di tangenza.

Per quanto riguarda il teorema di Cauchy ad essere sincero è molto difficile dare un’interpretazione geometrica.

Ho pensato e ripensato ad una possibile lettura della questione, ma le uniche idee che mi sono venute in mente erano di natura algebrica.

ESERCIZI SUL TEOREMA DI CAUCHY

Per applicare correttamente il Teorema di Cauchy (o Teorema del Valore Medio Generalizzato), dobbiamo sempre seguire questi passaggi:

1. Verificare le Ipotesi: Assicurarci che entrambe le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ siano continue in $[a, b]$, derivabili in $(a, b)$ e che $g'(x) \neq 0$ nell’intervallo aperto.
2. Calcolare il Rapporto delle Differenze: Calcolare il valore del rapporto $\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$.
3. Calcolare il Rapporto delle Derivate: Calcolare il rapporto $\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
4. Risolvere l’Equazione: Trovare il punto (o i punti) $c$ tali che $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ sia uguale al rapporto delle differenze e verificare che $c$ appartenga all’intervallo aperto $(a, b)$.

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Esercizio 1: Funzioni Polinomiali

Funzioni: $f(x) = x^3$ e $g(x) = x^2$

Intervallo: $[a, b] = [1, 2]$

1. Verifica Ipotesi:

• $f(x)$ e $g(x)$ sono polinomi, quindi sono continue e derivabili su tutto $\mathbb{R}$, e in particolare continue in $[1, 2]$ e derivabili in $(1, 2)$.
• Calcoliamo le derivate: $f'(x) = 3x^2$ e $g'(x) = 2x$.
• Verifichiamo $g'(x) \neq 0$: $g'(x) = 2x$ è zero solo per $x=0$, che è fuori dal nostro intervallo $(1, 2)$.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Rapporto Differenze (Tesi):

• $f(b) – f(a) = f(2) – f(1) = (2)^3 – (1)^3 = 8 – 1 = 7$
• $g(b) – g(a) = g(2) – g(1) = (2)^2 – (1)^2 = 4 – 1 = 3$
• Rapporto Tesi: $\frac{7}{3}$

3. Calcolo Rapporto Derivate:

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}x$$

4. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (1, 2)$ tale che $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{7}{3}$.

$$\frac{3}{2}c = \frac{7}{3}$$

$$c = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{9}$$

Il valore $c = \frac{14}{9} \approx 1.55…$ appartiene all’intervallo $(1, 2)$.

Soluzione: $c = \frac{14}{9}$

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Esercizio 2: Funzioni Irrazionali

Funzioni: $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x$

Intervallo: $[a, b] = [1, 4]$

1. Verifica Ipotesi:

• $f(x) = \sqrt{x}$ è continua in $[1, 4]$. La sua derivata $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ è definita in $(1, 4)$.
• $g(x) = x$ è continua in $[1, 4]$. La sua derivata $g'(x) = 1$ è definita in $(1, 4)$.
• Verifichiamo $g'(x) \neq 0$: $g'(x) = 1$ non è mai zero.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Rapporto Differenze (Tesi):

• $f(b) – f(a) = f(4) – f(1) = \sqrt{4} – \sqrt{1} = 2 – 1 = 1$
• $g(b) – g(a) = g(4) – g(1) = 4 – 1 = 3$
• Rapporto Tesi: $\frac{1}{3}$

3. Calcolo Rapporto Derivate:

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

4. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (1, 4)$ tale che $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{1}{3}$.

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3}$$

$$2\sqrt{c} = 3 \quad \implies \quad \sqrt{c} = \frac{3}{2}$$

Elevando al quadrato:

$$c = \frac{9}{4} \quad (o \quad c = 2.25)$$

Il valore $c = 2.25$ appartiene all’intervallo $(1, 4)$.

Soluzione: $c = \frac{9}{4}$

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Esercizio 3: Funzioni Esponenziali

Funzioni: $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$

Intervallo: $[a, b] = [0, 2]$

1. Verifica Ipotesi:

• $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$ sono continue e derivabili su tutto $\mathbb{R}$, quindi anche in $[0, 2]$ e $(0, 2)$.
• Calcoliamo le derivate: $f'(x) = e^x$ e $g'(x) = -e^{-x}$.
• Verifichiamo $g'(x) \neq 0$: $g'(x) = -e^{-x}$ non è mai zero (l’esponenziale è sempre positiva).Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Rapporto Differenze (Tesi):

• $f(b) – f(a) = f(2) – f(0) = e^2 – e^0 = e^2 – 1$
• $g(b) – g(a) = g(2) – g(0) = e^{-2} – e^0 = e^{-2} – 1$
• Rapporto Tesi: $\frac{e^2 – 1}{e^{-2} – 1} = \frac{e^2 – 1}{\frac{1}{e^2} – 1} = \frac{e^2 – 1}{\frac{1 – e^2}{e^2}} = (e^2 – 1) \cdot \frac{e^2}{-(e^2 – 1)} = -e^2$

3. Calcolo Rapporto Derivate:

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{e^x}{-e^{-x}} = -e^x \cdot e^x = -e^{2x}$$

4. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (0, 2)$ tale che $\frac{f'(c)}{g'(c)} = -e^2$.

$$-e^{2c} = -e^2$$

$$e^{2c} = e^2 \quad \implies \quad 2c = 2 \quad \implies \quad c = 1$$

Il valore $c = 1$ appartiene all’intervallo $(0, 2)$.

Soluzione: $c = 1$

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Esercizio 4: Funzioni Logaritmiche

Funzioni: $f(x) = \ln(x)$ e $g(x) = x$

Intervallo: $[a, b] = [1, e]$

1. Verifica Ipotesi:

• $f(x) = \ln(x)$ è continua e derivabile per $x > 0$. L’intervallo $[1, e]$ è contenuto nel dominio, quindi $f(x)$ è continua in $[1, e]$ e derivabile in $(1, e)$. Derivata: $f'(x) = \frac{1}{x}$.
• $g(x) = x$ è continua in $[1, e]$ e derivabile in $(1, e)$. Derivata: $g'(x) = 1$.
• Verifichiamo $g'(x) \neq 0$: $g'(x) = 1$ non è mai zero.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Rapporto Differenze (Tesi):

• $f(b) – f(a) = f(e) – f(1) = \ln(e) – \ln(1) = 1 – 0 = 1$
• $g(b) – g(a) = g(e) – g(1) = e – 1$
• Rapporto Tesi: $\frac{1}{e – 1}$

3. Calcolo Rapporto Derivate:

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{x}$$

4. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (1, e)$ tale che $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{1}{e – 1}$.

$$\frac{1}{c} = \frac{1}{e – 1}$$

$$c = e – 1$$

Dato che $e \approx 2.718$, il valore $c \approx 1.718$. Questo valore appartiene all’intervallo $(1, e)$.

Soluzione: $c = e – 1$