TEOREMA DI LAGRANGE

Il teorema di Lagrange è una generalizzazione del teorema di Rolle

Questo famoso teorema afferma che quando una funzione ad una variabile è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), allora ammette almeno un punto in cui la derivata prima è pari al rapporto incrementale che c’è tra i punti estremi dell’intervallo.

Il teorema può essere considerato come un’espansione del teorema di Rolle formulato quasi un secolo prima.

Da un punto di vista geometrico tale derivata è pari alla pendenza della retta che congiunge gli estremi.

Prima di addentrarci nel teorema vediamo insieme chi era Lagrange.

TEOREMA

IPOTESI

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (funzione ad una variabile reale)

Continua nell’intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato (compatto)

Derivabile in $(a,b)$ intervallo aperto e limitato

TESI

Esiste un punto $c \in (a,b)$ tale che

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

OSSERVAZIONE 1- INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Nel punto c di cui si dimostra l’esistenza la derivata prima è pari al rapporto incrementale tra i punti estremi dell’intervallo.

Sapendo che la derivata prima esprime il coefficiente angolare della retta tangente al punto nel punto c tale coefficiente angolare è pari alla pendenza della retta passante per i punti estremi dell’intervallo.

La retta tangente è dunque orizzontale e la sua equazione è $y = f(c)$.

Nota bene:

La retta tangente nel punto c è parallela alla retta passante per i punti $A(a, f(a))$ e $B(b, f(b)$.

Essa può essere ottenuta come una traslazione di questa ultima retta fino al punto di tangenza ($c$) alla funzione.

OSSERVAZIONE 2-POSSIBILE ESISTENZA PIU’ PUNTI C

Attenzione che il teorema afferma l’esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto $c$ tale che ha derivata nulla.

Questo punto potrebbe anche essere più di uno.

Si veda ad esempio il grafico sottostante:

OSSERVAZIONE TRE – ESPANSIONE DEL TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Lagrange è un’espansione del teorema di Rolle formulato nel 1691.

Il teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del Teorema di Lagrange.

DIMOSTRAZIONE:

DIMOSTRAZIONE:

Partendo dalle suddette ipotesi consideriamo la funzione:

$$F(x) = f(x) – kx$$

• $F(x)$ è continua in $[a,b]$, perché somma di funzioni continue in $[a,b]$
• $F(x)$ è derivabile in $(a,b)$, perché somma di funzioni derivabili in $(a,b)$

Determiniamo ora ⁵$k$ di modo che ⁶$F(x)$ soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, ci⁷oè si abbia $F(a) = F(b)$.

Avremo dunque che:

$$f(a) – ka = f(b) – kb \quad \to \quad k = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

Sostituiamo dunque nella funzione:

$$F(x) = f(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a} x$$

Poiché $F(x)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, esiste almeno un punto $c \in (a,b)$ tale che:

Calcoliamo ora la derivata di $F(x)$,

$$F'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

Nel punto $c$ avremo dunque che:

$$F'(c) = f'(c) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = 0$$

Otteniamo dunque la tesi, ovvero che nel punto $c$ la derivata vale:

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

C.V.D.

ESERCIZI SUL TEOREMA DI LAGRANGE

Per applicare correttamente il Teorema di Lagrange (o Teorema del Valore Medio), dobbiamo sempre seguire tre passaggi:

1. Verificare le Ipotesi: Assicurarci che la funzione sia continua nell’intervallo chiuso $[a, b]$ e derivabile nell’intervallo aperto $(a, b)$.
2. Calcolare la Pendenza Media: Calcolare il valore della pendenza $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$.
3. Risolvere l’Equazione: Trovare il punto (o i punti) $c$ tali che $f'(c)$ sia uguale alla pendenza media e verificare che $c$ appartenga all’intervallo $(a, b)$.

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Esercizio 1: Funzione Polinomiale – teorema di Lagrange

Funzione: $f(x) = x^3 – x$

Intervallo: $[a, b] = [0, 2]$

1. Verifica Ipotesi:

La funzione $f(x)$ è un polinomio.

• È continua su tutto $\mathbb{R}$, quindi è continua sull’intervallo chiuso $[0, 2]$.
• È derivabile su tutto $\mathbb{R}$. La sua derivata è $f'(x) = 3x^2 – 1$. Quindi è derivabile sull’intervallo aperto $(0, 2)$.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Tesi (Pendenza Media):

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi:

• $f(a) = f(0) = (0)^3 – 0 = 0$
• $f(b) = f(2) = (2)^3 – 2 = 8 – 2 = 6$

La pendenza media è:

$$\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{6 – 0}{2 – 0} = \frac{6}{2} = 3$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare un punto $c \in (0, 2)$ tale che $f'(c) = 3$.

$$f'(c) = 3c^2 – 1$$

$$3c^2 – 1 = 3$$

$$3c^2 = 4$$

$$c^2 = \frac{4}{3}$$

$$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.154$$

Delle due soluzioni, scartiamo quella negativa ($-\frac{2}{\sqrt{3}}$) perché non appartiene all’intervallo $(0, 2)$.

La soluzione $c = +\frac{2}{\sqrt{3}}$ (circa $1.154$) è compresa tra $0$ e $2$.

Soluzione: $c = \frac{2}{\sqrt{3}}$

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Esercizio 2: Funzione Irrazionale – teorema di Lagrange

Funzione: $f(x) = \sqrt{x – 1}$

Intervallo: $[a, b] = [1, 5]$

1. Verifica Ipotesi:

La funzione $f(x)$ è una funzione radice (irrazionale).

• È continua nel suo dominio, $[1, +\infty)$. Quindi è continua sull’intervallo chiuso $[1, 5]$.
• La sua derivata è $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x – 1}}$. Questa derivata è definita per $x > 1$. Quindi $f(x)$ è derivabile sull’intervallo aperto $(1, 5)$.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Tesi (Pendenza Media):

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi:

• $f(a) = f(1) = \sqrt{1 – 1} = 0$
• $f(b) = f(5) = \sqrt{5 – 1} = \sqrt{4} = 2$

La pendenza media è:

$$\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{2 – 0}{5 – 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare un punto $c \in (1, 5)$ tale che $f'(c) = \frac{1}{2}$.

$$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c – 1}}$$

$$\frac{1}{2\sqrt{c – 1}} = \frac{1}{2}$$

$$2\sqrt{c – 1} = 2$$

$$\sqrt{c – 1} = 1$$

Elevando al quadrato entrambi i membri:

$$c – 1 = 1$$

$$c = 2$$

Il valore $c = 2$ appartiene all’intervallo $(1, 5)$.

Soluzione: $c = 2$

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Esercizio 3: Funzione Esponenziale

Funzione: $f(x) = e^x$

Intervallo: $[a, b] = [0, 1]$

1. Verifica Ipotesi:

La funzione $f(x)$ è una funzione esponenziale.

• È continua su tutto $\mathbb{R}$, quindi è continua sull’intervallo chiuso $[0, 1]$.
• È derivabile su tutto $\mathbb{R}$. La sua derivata è $f'(x) = e^x$. Quindi è derivabile sull’intervallo aperto $(0, 1)$.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Tesi (Pendenza Media):

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi:

• $f(a) = f(0) = e^0 = 1$
• $f(b) = f(1) = e^1 = e$

La pendenza media è:

$$\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{e – 1}{1 – 0} = e – 1$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare un punto $c \in (0, 1)$ tale che $f'(c) = e – 1$.

$$f'(c) = e^c$$

$$e^c = e – 1$$

Applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri:

$$c = \ln(e – 1)$$

Il valore $e – 1 \approx 2.718 – 1 = 1.718$.

Il valore $c = \ln(e – 1) \approx \ln(1.718) \approx 0.54$.

Questo valore appartiene all’intervallo $(0, 1)$.

Soluzione: $c = \ln(e – 1)$

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Esercizio 4: Funzione Logaritmica

Funzione: $f(x) = \ln(x)$

Intervallo: $[a, b] = [1, e^2]$

1. Verifica Ipotesi:

La funzione $f(x)$ è una funzione logaritmica, definita per $x > 0$.

• È continua nel suo dominio $(0, +\infty)$. L’intervallo $[1, e^2]$ è contenuto nel dominio, quindi la funzione è continua su $[1, e^2]$.
• La sua derivata è $f'(x) = \frac{1}{x}$. Questa derivata è definita per $x \neq 0$. Quindi $f(x)$ è derivabile sull’intervallo aperto $(1, e^2)$.Le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Tesi (Pendenza Media):

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi:

• $f(a) = f(1) = \ln(1) = 0$
• $f(b) = f(e^2) = 2 \ln(e) = 2$

La pendenza media è:

$$\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{2 – 0}{e^2 – 1} = \frac{2}{e^2 – 1}$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare un punto $c \in (1, e^2)$ tale che $f'(c) = \frac{2}{e^2 – 1}$.

$$f'(c) = \frac{1}{c}$$

$$\frac{1}{c} = \frac{2}{e^2 – 1}$$

$$c = \frac{e^2 – 1}{2}$$

Il valore $e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389$.

Il valore $c = \frac{7.389 – 1}{2} = \frac{6.389}{2} \approx 3.19$.

Questo valore appartiene all’intervallo $(1, 7.389)$.

Soluzione: $c = \frac{e^2 – 1}{2}$

VIDEO DI UN ESERCIZIO SUL TEOREMA DI LAGRANGE

Nel video sotto andiamo a svolgere un esercizio sul teorema di Lagrange

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