Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo I, se x0 è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in x0 vale zero.
Ovvero x0 è un punto stazionario.
Prima di addentrarci nel teorema vediamo insieme chi era Pier de Fermat.
CONCETTI PRELIMINARI
Prima di passare alla dimostrazione del teorema vi consiglio di dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:
- Rapporto incrementale
- Derivata prima in un punto
- Massimi e minimi relativi
- Massimi e minimi stazionari e non stazionari
Vi ho riportato questi concetti qui sotto.
Qualora tutti questi vi siano chiari, allora passate tranquillamente alla dimostrazione del teorema.
RAPPORTO INCREMENTALE
Data una funzione continua in un determinato intorno si definisce rapporto incrementale in un punto x0 appartenente a questo intorno, il rapporto tra la variazione della funzione ad opera di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso
Sia f: R –> R
Continua in un certo intervallo I
Sia x0 un punto appartenente ad I
Sia h un certo incremento rispetto al punto x0
Geometricamente corrisponde alla pendenza della retta secante passante per il punto A ( x0, x0+h) e il punto B (x0+h, f(x0+h)
DERIVATA PRIMA IN UN PUNTO
La derivata prima di una funzione in un punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale quando l’incremento tende a zero.
Geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto x0
MASSIMO/MINIMO RELATIVO
MASSIMO RELATIVO
Sia f: R –> R
Definiamo x0 punto di massimo relativo sse esiste almeno un torno di x0 tale che:
per ogni x appartenente all’intorno di x0 il valore della funzione in x0 è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno
MINIMO RELATIVO
Sia f: R –> R
Definiamo x0 punto di minimo relativo sse esiste almeno un torno di x0 tale che:
per ogni x appartenente all’intorno di x0 il valore della funzione in x0 è minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno
UN PUNTO DI MASSIMO/ MINIMO PUO’ ESSERE STAZIONARIO O NON STAZIONARIO
Un punto di massimo o di minimo può essere stazionario o non stazionario.
In particolare è un punto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero.
In questo caso la pendenza della retta tangente è nulla, e quindi la retta tangente è orizzontale.
Diversamente potrebbe essere:
- Un punto angoloso
- Una cuspide
- Un estremo in cui la pendenza delle retta non nulla
MASSIMO NON STAZIONARIO
MINIMONON STAZIONARIO
TEOREMA DI FERMAT
Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo I, se x0 è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in x0 vale zero.
Ovvero x0 è un punto stazionario.
IPOTESI
TESI
DIMOSTRAZIONE
Cominciamo con il considerare un certo intorno di x0, (x0-delta; x0+ delta)
Possiamo suddividere l’intorno in due zone
Intorno sinistro di x0 (x0-delta; x0]
Intorno destro di x0 [x0; x0+delta)
INTORNO SINISTRO DI X0
Consideriamo ora nell’intorno sinistro il rapporto incrementale sinistro nel punto x0.
Se scriviamo il rapporto incrementale nel seguente modo:
Dovremo considerare il valore di h negativo.
Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:
- Un numeratore negativo
- Un denominatore negativo
Il numeratore è negativo poiché x0 è punto di massimo.
Quindi il valore di f(x0) è maggiore o uguale a quello di ogni altra f(x) all’interno dell’intorno e quindi anche di f(x0+h)
Il denominatore è negativo poiché abbiamo assunto un incremento h negativo.
Dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente maggiore o uguale a zero.
Dopo tutto vediamo chiaramente che la retta secante è crescente
Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che è maggiore o uguale a zero.
Dunque stiamo ammettendo che la derivata sinistra è maggiore o uguale a zero.
INTORNO DESTRO DI X0
Consideriamo ora nell’intorno destro il rapporto incrementale destro nel punto x0.
Se scriviamo il rapporto incrementale nel seguente modo:
Dovremo considerare il valore di h positivo.
Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:
- Un numeratore negativo
- Un denominatore positivo
Il numeratore è negativo poiché x0 è punto di massimo.
Quindi il valore di f(x0) è maggiore o uguale a quello di ogni altra f(x) all’interno dell’intorno e quindi anche di f(x0+h)
Il denominatore è positivo poiché abbiamo assunto un incremento h positivo.
Dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente minore o uguale a zero.
Dopo tutto vediamo chiaramente che la retta secante è decrescente
Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che è maggiore o uguale a zero.
Dunque stiamo ammettendo che la derivata sinistra è maggiore o uguale a zero.
RICAPITOLANDO
La derivata sinistra di x0 è maggiore o uguale a zero.
La derivata destra di x0 è minore o uguale a zero.
Siccome la funzione è derivabile in x0 per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra.
Questo è possibile solamente quando la derivata è uguale a zero, che è la nostra tesi.
Abbiamo dunque dimostrato che se una funzione è continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.
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