Come si calcolano il montante e gli interesse nel regime a capitalizzazione semplice?
Vediamo insieme un esercizio pratico.
ESEMPIO
Marco investe 1.000 euro per 2 anni e 5 mesi in regime di capitalizzazione semplice al tasso del 6%.
A quanto ammontano gli interessi maturati?
Di quale montante disporrà alla fine del periodo?
Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:
L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale e il tempo finale dell’investimento.
Sotto l’epoca zero (oggi) mettiamo il capitale che stiamo investendo, ovvero 5.000 euro.
Sotto è rappresentata una freccia che si muove verso destra, ad indicare che l’investimento sta procedendo verso tempi futuri.
Sopra la freccia è indicato il tasso di interesse del 6%.
Sotto il tempo finale, ovvero 3 anni, scriviamo l’interesse prodotto e il montante che dobbiamo calcolare.
CALCOLO INTERESSI
Per prima cosa procediamo con il calcolo degli interessi.
Nel regime semplice utilizziamo la seguente formula:
Dove:
I sono gli interessi, C è il capitale investito, i è il tasso di interesse e t è il tempo dell’investimento.
TEMPO IN ANNI
Una delle condizioni importanti per poter applicare questa formula è che il tempo e il tasso di interesse devono essere correlati alla stessa unità di misura.
Scriviamo perciò il tempo in anni, in sintonia con il tasso di interesse
Ovviamente due anni sarà pari al numero 2, mentre 5 mesi saranno 5/12 dal momento che un mese è 1/12 di anno.
CALCOLO INTERESSI
A questo punto procediamo con il calcolo degli interessi, applicando la formula:
CALCOLO MONTANTE
Per calcolare il montante facciamo la somma tra il capitale e gli interessi.
CALCOLO MONTANTE – FORMULA ALTERNATIVA
In modo alternativo potremmo calcolare direttamente il montante utilizzando la seguente formula:
In questo caso faremmo il seguente calcolo:
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Per il ritardo di 68 giorni nel pagamento di una bolletta vengono addebitati 2,60€ di interessi passivi, applicando un saggio di mora del 5%. Qual è l’importo della bolletta?
Questa dovresti avere la risposta in un altro articolo 😉
Un capitale di 3.000€ versato alla fine di maggio produce a fine anno un interesse di 62,36€. A quale saggio è stato impiegato?
E questo non l’ho vedo svolto forse l’hai dimenticato?
RISPOSTA AL QUESITO:
Un capitale di 3.000€ versato alla fine di maggio produce a fine anno un interesse di 62,36€.
A quale saggio è stato impiegato?
PARIAMO DALLA FORMULA DELL’INTERESSE NEL REGIME SEMPLICE
I = C·i·t
Se la invertiamo otteniamo il tasso di interesse, che corrisponde al saggio dell’investimento.
Dunque ricaviamo i come segue:
i = I/(C·t)
I dati a nostra disposizione sono
C = 3.000
I = 62,36
t = 7 mesi = 7/12 (dalla fine di maggio alla fine di dicembre)
Inseriamo ora i dato all’interno del calcolo e otteniamo:
i = I/(C·t) = 62,36 / (3.000·7/12) = 0,035634
Questo corrisponde ad un tasso di interesse del 3,5634%
Un importo di 7.300€ è pagabile a fine anno. Qual è, al saggio del 3,5%, l’importo pagabile oggi (19 aprile)?
Anbiamo un debito con scadenza 31/12 e ci viene richiesto di pagarlo con anticipo il 19 aprile.
Il calcolo dei giorni mi risulta pari a 256 (se sbaglio correggi pure)
Il valore anticipato di questo debito (ipotizziamo nel regime semplice) lo calcoliamo con la formula:
V = M/(1+it)
Dove M indica il valore del debito a scadenza
i è il tasso
t è il tempo espresso in giorni 256/365
Inserendo i dati numerici otteniamo
V=7.300/(1+0,035*256/365) = 712,51
Tizio è debitore di 14.834€ da pagare a fine gennaio e di 6.852€ da pagare a fine ottobre. Calcolare l’importo pagabile a metà dell’anno per estinguere entrambi i debiti (r=2,8%)
Immaginiamo che a metà anno sia il mese 6, quindi espresso in anno È 6/12
Il primo debito scade a fine gennaio, dunque al tempo 1/12, mentre il secondo scade a fine ottobre, dunque in 10/12.
Se vogliamo estinguere tutto questo debito al tempo 6/12 dobbiamo spostare tutte e due le cifre al tempo 6/12.
L’importo di gennaio dobbiamo capitalizzarlo di 5 mesi, ovvero 5/12 di anno.
Mente l’importo di fine ottobre viene attualizzato di 4 mesi.
In tal modo usiamo le formule della capitalizzazione e dell’attualizzazione (immaginiamo di trovarci nel regime ad interesse semplice)
Dunque il calcolo risulta:
V=14.834*(1+0,028*5/12)+6.852/(1+0,028*4/12)
Il valore risulta pari a
V=21.795,70
Da notare che eventuali cambiamenti del risultato possono significare che il tempo può anche essere espresso come
gg/365, dove gg è il numero di giorni che intercorre tra le date
Ciao scusami il disturbo vorrei chiederti due esercizi perché non mi sono venuti dal libro i risultati e possibile?
Se sono sul regime semplice falle qui
In commenti distinti
Domani quando ho tempo rispondo
Il primo. È disponibile nel conto corrente un importo di 4.654 € al 30 giugno.
Si effettuano i seguenti versamenti
– 2500 € al 20 ottobre
-7320 € al 14 novembre
e si effettuano i seguenti prelievi
– 1600 € al 5 agosto
– 4600 € al 13 settembre
Calcolare l’importo disponibile a fine anno (r= 0,6%)
Ciao Mihaela, grazie per il quesito.
Cominciamo anzitutto a creare 4 variabili, che saranno pari agli interessi che maturano nei vari periodi.
I1: sono gli interessi che maturano sul capitale iniziale di 4.654 dal 30/06 al 5/08 per un tempo di 36 giorni.
I2: sono gli interessi che maturano sul capitale di 3.054 (4.654-1.600) dal 5/08 al 13/09 per un tempo di 39 giorni.
I3: sono gli interessi che maturano sul capitale di –1.446 (3.054-4.500) dal 13/09 al 20/10 per un tempo di 37 giorni.
I4: sono gli interessi che maturano sul capitale di 1.054 (–1.446+2.500) dal 20/10 al 14/11 per un tempo di 25 giorni.
I5: sono gli interessi che maturano sul capitale di 8.374 (1.054+7.320) dal 14/11 al 31/12 per un tempo di 25 giorni.
Chiedo solo la cortesia di controllare gli importi (ottenuti dal capitale precedente sommato dei versamento o tolti i prelevamenti).
E di controllare inoltre la correttezza dei giorni che vanno da una data all’altra, dal momento che ho fatto questo calcolo una sola volta.
Ora ricordiamo che per calcolare gli interessi nel regime semplice da una data all’altra rincorriamo alla seguente formula:
I = C*i*g/36.500
Dove:
I = interesse
C = capitale su cui matura l’interesse
i = tasso annuale di riferimento (nel nostro caso è pari a 1,2%)
g = numero di giorni che intercorrono nella maturazione degli interessi
Calcoliamo ora i valori dei 5 interessi:
I1 = 4.654*1,2*36 / 36.500 = 5,508
I2 = 3.054*1,2*39 / 36.500 = 3,916
I1 = –1.444*1,2*37 / 36.500 = -1,759 (attenzione che questo interesse è negativo!)
I1 = 1.054*1,2*25 / 36.500 = 0,866
I1 = 8.374*1,2*47 / 36.500 = 12,940
Per sapere il saldo disponibili a fine anno aggiungiamo all’ultimo capitale disponibile (8.374) la somma degli interessi maturati.
Dunque il saldo S di fine anno risulta pari a:
S = 8.374 + (5,508 + 3,916 – 1,759 + 0,866 + 12,940)
S = 8.395,47
Il secondo. Il Sig. Rossi è debitore oggi verso il sig. Bianchi di 5300 € e il Sig. Bianchi è debitore verso il Sig. Rossi:
-tra 2 mesi di 9100 €
-tra 8 mesi di 3500 €
Calcolare l’importo che il Sig. Bianchi deve pagare a saldo tra 6 mesi ( r= 1,2%).
Ciao Mihaela, grazie per la domanda.
Dobbiamo innanzitutto considerare che il debito verrà estinto tra 6 mesi.
Chiamo M1 il valore del primo debito (Rossi vs Bianchi).
Per ottenere questo valore dobbiamo capitalizzare di 6 mesi il debito attuale di 5.300
Supponendo che l’operazione avvenga nel regime ad interesse semplice utilizziamo la seguente formula per il montante:
M = C* (1 + it)
Dove i rappresenta l’interesse annuale (0,012), mentre t il tempo espresso in anni (6/12)
M1 = 5.300 * (1 + 0,012*6/12) = 5.331,80
Passiamo ora ad M2 (Bianchi vs Rossi).
In questo caso dobbiamo capitalizzare l’importo di 9.100 per un tempo di 4 mesi (dal mese 2 al mese 6),
cui va aggiunto l’importo 3.500 attualizzato di 2 mesi(dal mese 8 al mese 6).
Ricordiamo che mentre per capitalizzare moltiplichiamo *(1+it)
Per attualizzare dividiamo per tale quantità: /(1+it)
Dunque passando ai calcoli abbiamo che:
M2 = 9.100 * (1 + 0,012*4/12) + 3.500 / (1 + 0,012*2/12)
M2 = 12.629,41
(Anche qui chiedo di ricontrollare la correttezza dei conti)
A questo punto l’importo che tra 6 mesi dovrà pagare al signor Bianchi è pari alla differenzanza tra M2 e M1.
M2 – M1 = 12.629,41 – 5.331,80 = 7.297,61
Grazie mille
Il secondo non l’ho capito
Riesci ha farmeli perché i risultati del libro non mi vengono
Grazie mille davvero con il suo aiuto ho anche finito i compiti di matematica finanziaria gentilissimo!!!
Ottimo!!!
Il quarto: In sostituzione di una rata mensile anticipata di 500 € da pagare per un anno si vogliono versare nello stesso periodo due rate semestrali posticipate. Qual è l’importo della rata (r=2%)?
Ciao Mihaela!
In questo caso bisogna eguagliare il valore attuale di due rendite.
La prima posticipata di rara incognita semestrale R, di 2 rate
La seconda anticipata di rata mensile di 500, con 12 rate.
Provvediamo per prima cosa a calcolare i rispettivi tassi di interesse relativi ai periodi
delle rate.
Partiamo dal tasso semestrale:
i2 = 1,02^(1/2) – 1 = 0,0099505
Proseguiamo col tasso mensile
i12 = 1,02^(1/12) – 1 = 0,0016516
Ora a questo punto impostiamo l’equazione che eguaglia i valori attuali:
R* a(2;0,0099505) = 500* a(12;0,0016516) *1,0099505
Ricaviamo dunque R dividendo per a(2; 0,0016516)
Tale ultimo è il fattore attuale di una rendita posticipata di 2 rate:
a(2;0,0099505) = (1-1,0099505^(-2))/0,0099505
Mentre l’atro è il fattore attuale della rendita di 12 rate:
a(12;0,0016516) = (1-1,0016516^(-2))/0,0016516
Ricaviamo ora R
R = 500* a(12;0,0016516)/a(2;0,0099505) *1,0099505
R = 3.017,39
Il 5 e già fatto. Grazie mille!!!