FORMULE DI BISEZIONE – GONIOMETRIA

Le formule di bisezione nella goniometria permettono di scrivere le funzioni goniometriche associate alla metà di un angolo.

Le formule di bisezione che vediamo in questo articolo si riferiscono a seno, coseno e tangente.

Per il caso del seno abbiamo:

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}} $$

Nel caso del coseno abbiamo:

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+ \cos \alpha}{2}} $$

Mentre per la tangente 

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1+ \cos \alpha}} \\ \ \\ \tan \frac{\alpha}{2} =\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1 -\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

RICAVARE LE FORMULE DI BISEZIONE

Le formule di bisezione degli angoli si ricavano dalle formule di duplicazione.

Ricordiamo che queste ultime sono ricavate a loro volta dalle formule di addizione.

Vediamo ora nello specifico i ragionamenti per ricavare le formule di bisezione per seno, coseno e tangente.

FORMULE DI BISEZIONE PER IL SENO

Per ricavare la formula di bisezione per il seno dobbiamo partire da una delle versioni delle formule di duplicazione del coseno.

In particolare da quella dove il coseno associato al doppio di un angolo viene riscritto come la differenza tra 1 e il doppio del quadrato del seno.

$$ \cos 2\alpha = 1 -2\sin^2 \alpha $$

Da questa relazione ricaviamo il quadrato del seno dell’angolo 𝛼

$$ \begin{array}{l} 2 \sin^2 \alpha = 1- \cos 2\alpha \\ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} \end{array} $$

Ora non ci resta che risolvere l’equazione con incognita il seno di 𝛼

$$ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos 2\alpha}{2}} $$

Da notare che l’angolo 𝛼 è esattamente la metà dell’angolo 2𝛼.

Dunque possiamo riscrivere l’espressione sostituendo al posto di 𝛼 la sua metà 𝛼/2 e al posto di 2𝛼 la sua metà 𝛼

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} $$

Ecco ricavata la formula di bisezione del seno.

FORMULA DI BISEZIONE PER IL COSENO

Per ricavare la formula di bisezione per il coseno partiamo da un’altra versione della formula duplicazione del coseno.

In questo caso da quella dove il coseno associato al doppio di un angolo viene riscritto come la differenza tra il doppio del quadrato del coseno di 𝛼 e 1.

$$ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha -1 $$

Da questa relazione ricaviamo il quadrato del coseno dell’angolo 𝛼

$$ \begin{array}{l} 2 \cos^2 \alpha = 1+ \cos 2\alpha \\ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} \end{array} $$

Ora non ci resta che risolvere l’equazione con incognita il coseno di 𝛼

$$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}} $$

Da notare che l’angolo 𝛼 è esattamente la metà dell’angolo 2𝛼.

Dunque possiamo riscrivere l’espressione sostituendo al posto di 𝛼 la sua metà 𝛼/2 e al posto di 2𝛼 la sua metà 𝛼

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+ \cos \alpha}{2}} $$

Ecco ricavata la formula di bisezione del coseno.

FORMULE DI BISEZIONE PER LA TANGENTE

Per ricavare la formula di duplicazione della tangente abbiamo due strade possibili.

RAGIONAMENTO 1

Nella più semplice versione riscriviamo la tangente dell’angolo 𝛼/2 come il rapporto tra il seno e il coseno di 𝛼/2 (definizione di tangente)

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} } $$

Sostituendo le due relazioni ricavate sopra scriviamo.

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} }{\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} } $$

Ricordiamo che per le proprietà dei radicali possiamo scrivere il rapporto tra due radici come la radice del rapporto dei radicandi.

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1+ \cos \alpha}}$$

In questo caso rimangono incerti i segni associati all’operazione.

Sarebbe infatti un errore semplificare il (+–) al numeratore con il (+–) al denominatore.

RAGIONAMENTO 2

Per giungere allo stesso scopo possiamo usare un ragionamento un po’ più sofisticato.

Partiamo esattamente come prima scrivendo la tangente come rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo in oggetto

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} } $$

Ora moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per il doppio del coseno di 𝛼/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} } \cdot \frac{\color{red}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}}{\color{red}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}} $$

Riscrivendo meglio otteniamo

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} }{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} $$

Ricordiamo che per i ragionamenti sulle formule di duplicazione e bisezione possiamo riscrivere il quadrato del coseno di 𝛼/2 come  (1+cos𝛼)/2.

Dunque sostituendo nell’espressione otteniamo 

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{2\ \frac{1+\cos \alpha}{2}} $$

Semplificando i 2 ecco una possibile espressione della tangente di 𝛼/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} $$

Questo ragionamento non è finito!

Infatti è possibile dimostrare che il valore di questa espressione è equivalente in maniera certa ad un’altra espressione.

$$ \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha} $$

Per verificare tale identità basta semplicemente moltiplicare ambo i membri dell’equazione per il denominatore comune.

$$ \sin \alpha \sin \alpha = (1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha) $$

Quello che otteniamo è la relazione fondamentale della goniometria!

$$ \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha $$

Al termine di questo virtuoso ragionamento possiamo esprimere la tangente di 𝛼/2 anche nel seguente modo:

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} $$

RIEPILOGO DELLE FORMULE DI DUPLICAZIONE

Facciamo un riepilogo delle formule di bisezione che abbiamo dimostrato fino a qui

UTILITÀ DELLE FORMULE DI BISEZIONE

Le formule di bisezione hanno una notevole quantità di applicazioninell’ambito della goniometriche.

Tra i tanti utilizzi ricordiamo:

• Calcolare seni, coseni e tangenti di angoli sconosciuti
• Semplificare espressioni goniometriche
• Risolvere problemi con gli angoli
• Rappresentare funzioni goniometriche
• Trovare la soluzioni di equazioni goniometriche
• Risolvere problemi geometrici con triangoli

CALCOLARE SENI, COSENI E TANGENTI SCONOSCIUTE

Tra i vari utilizzi delle formule di bisezione c’è sicuramente quello di ricavare seni, coseni e tangenti sconosciuti.

Vediamo ad esempio come calcolare seno, coseno e tangente associati all’angolo 15 gradi o π/12 partendo dal seno, coseno e tangente dell’angolo 30 gradi o π/6

Cominciamo con l’elencare le caratteristiche dell’angolo π/6 e lo faremo in questo modo:

$$ \begin{array} \alpha\ (\cos \alpha, \sin \alpha, \tan \alpha ) \\ 30^o = \frac{\pi}{6}\ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \end{array} $$

Ora sfruttiamo le formule di bisezione per calcolaci seno, coseno e tangente di π/12

$$ \sin \frac{\pi}{12} = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2- \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} $$

Teniamo conto che tutte le quantità che ci interessano sono certamente positive dal momento che l’angolo si trova nel primo quadrante dunque

$$ \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} $$

Applichiamo ora la formula del radicale doppio per esplicitare meglio il numeratore della frazione.

Ricordiamo che tale formula ci dice che:

$$ \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}} – \sqrt{\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}}$$

Dunque possiamo scrivere

$$ \sqrt{2- \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+ \sqrt{2^2-3}}{2}} – \sqrt{\frac{2- \sqrt{2^2-b}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} – \sqrt{\frac{1}{2}}$$

Razionalizzando le frazioni 

$$ \sqrt{\frac{3}{2}} – \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2} $$

Ritornando al seno dell’angolo cercato:

$$ \sin \frac{\pi}{12} = \frac{2- \sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $$

Passiamo ora al coseno di π/12 e usiamo la formula di bisezione

$$ \sin \frac{\pi}{12} = \pm \sqrt{\frac{1+ \cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1+ \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2+ \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $$

Grazie al procedimento dei radicali doppi di prima giungiamo al valore (positivo) 

$$ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{2}}{4} $$

Possiamo giungere al valore della tangente di π/12 applicando la definizione seno/coseno oppure ancora attraverso la formula di bisezione per la tangente

$$ \tan \frac{\pi}{12} = \frac{1 – \cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{1- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2- \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2- \sqrt{3} $$

Da notare che saremmo arrivati allo stesso risultato applicando la formula

$$ \tan \frac{\pi}{12} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{1+ \cos \frac{\pi}{6}} $$

IMPARA LA TRIGONOMETRIA!

Impara la trigonometria con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.

Un viaggio che parte dai concetti elementari (seno, coseno e tangente) , passando per le formule di trasformazione degli angoli, le equazioni e le disequazioni goniometriche, fino ai teoremi e problemi sui triangoli.

SEMPLIFICARE ESPRESSIONI GONIOMETRICHE

Vediamo un paio di esempio in cui semplifichiamo espressioni goniometriche applicando le formule di bisezione

ESEMPIO 1

$$ \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 – \sin \alpha + 1 = $$

Svolgiamo il quadrato di binomio

$$ \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} +2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} – \sin \alpha +1 $$

Per le formule di bisezione abbiamo che:

$$ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{2} \quad \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+ \cos \alpha}{2} $$

Mentre per la formula di duplicazione del seno possiamo scrivere 

$$ 2 \sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} = \sin 2\alpha $$

Dunque sostituendo nell’espressione

$$ \frac{1- \cos \alpha}{2} + \frac{1+ \cos \alpha}{2} + \sin \alpha – \sin \alpha +1 $$

La somma dei primi due termini è 1 (potevamo applicare anche la relazione fondamentale anziché usare la bisezione) mentre i seni si semplificano

$$ 1+1 = 2 $$

ESEMPIO 2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} + 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \text{cosec} \alpha $$

Applichiamo le formule di bisezione per la tangente e per il coseno e scriviamo la cosecante come 1/seno

$$ \begin{array}{l} \frac{1- \cos \alpha}{2} + 2 \frac{1+ \cos \alpha}{2} \cdot \frac{1}{\sin \alpha} \\ \frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{1+ \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} \end{array}$$

RISOLVERE PROBLEMI CON GLI ANGOLI

Sappiamo che il coseno di un certo angolo 𝛼 comepre tra 0π e π/2  vale 3/5 e vogliamo conoscere: seno, coseno e tangente di 𝛼/2

$$ \cos \alpha = \frac{3}{5} \quad 0<\alpha< \frac{\pi}{2} \to \sin \frac{\alpha}{2} , \cos \frac{\alpha}{2}, \tan \frac{\alpha}{2} = ??? $$

Se l’angolo 𝛼 è compre so tra 0π e π/2 allora certamente la sua metà 𝛼/2 risulta compresa tra 0π e π/4, dunque ha seno, coseno e tangente positivi.

Applichiamo ora le formule di bisezione per determinare seno e coseno di 𝛼/2 

$$ \begin{array}{l} \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}} = \frac{1 – \frac{3}{5}}{2} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+ \cos \alpha}{2}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5} \sqrt{5} \end{array} $$

Per la tangente di 𝛼/2 possiamo usare la formula

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} $$

Calcoliamo dunque il seno di 𝛼 usando la relazione fondamentale

$$ \sin \alpha = \sqrt{1- \cos^2 \alpha} = \sqrt{1- \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1- \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$

Dunque inseriamo nel calcolo della tangente

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{1}{2} $$

RAPPRESENTARE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Consideriamo la seguente funzione goniometrica

$$ y = 4 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x $$

Applichiamo la formula di bisezione sul seno di x/2

$$ \begin{array}{l} 4 \frac{1+\cos x}{2} + 3\cos x \\ y= 2(1-\cos x ) + 3\cos x \\ y= 2-2\cos x +3\cos x \\ y= \cos x +2 \end{array} $$

Non abbiamo altro dunque che la funzione coseno di x traslata verso l’alto di 2 unità

TROVARE SOLUZIONI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Consideriamo la seguente equazione goniometrica

$$ \sin^2 \frac{x}{2} – \tan \frac{x}{2} \sin x + \frac{1}{2} + \cos^2 x = 0 $$

Usiamo le formule di bisezione sul seno e sulla tangente

$$ \frac{1-\cos x}{2} – \frac{1-\cos x}{\sin x} \cdot \sin x + \frac{1}{2}+ \cos^2 x =0 $$

Semplifichiamo i seni

$$ \frac{1-\cos x}{2} -(1-\cos x) + \frac{1}{2}+ \cos^2 x =0 $$

Raddoppiamo ambo i membri

$$ 1 – \cos x -2(1-\cos x) +1 + 2 \cos^2 x =0 $$

Riorganizziamo rispetto al grado maggiore

$$ 1-\cos x -2 + 2\cos x +1 +2\cos^2x=0 \\ 2\cos^2x +\cos x = 0 $$

Possiamo risolverla ora come una spuria di secondo grado applicando la legge di annullamento del prodotto

$$ \cos x (2\cos x+1) = 0 $$

Dal primo fattore otteniamo:

$$ \cos x = 0 \to x = \frac{\pi}{2} + k\pi $$

Mentre annullando il secondo fattore

$$ \cos x = -\frac{1}{2} \to x = \pm \frac{2}{3}\pi + 2k\pi $$

RISOLVERE PROBLEMI CON I TRIANGOLI

Consideriamo un triangolo rettangolo con i due angoli non retti pari a 𝛽 e 2𝛼. 

Sappiamo che la tangente di 𝛽 misura 7/24 e doiamo determinare il seno, il coseno e la tangente di 𝛼.

Individuiamo due modi per risolvere il problema.

MODO 1

Dai dati del problema ricaviamo immediatamente che gli angoli 2𝛼 e 𝛽 sono complementari tra di loro.

Ne deduciamo dunque che per gli angoli associati complementari

$$ \begin{array}{l} \sin 2\alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2}-\beta \right) = \cos \beta \\ \cos 2\alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2}-\beta \right) = \sin \beta \end{array} $$

Dalla tangente di 𝛽 cerchiamo dunque di ricavare il seno e il coseno di 𝛽

$$ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{7}{24} \\ 24 \sin \beta = 7 \cos \beta $$

Eleviamo entrambi i membri al quadrato e applichiamo la relazione fondamentale della goniometria

$$ \begin{array}{l} 576 \sin^2 \beta = 49 \cos^2 \beta \\ 576 ( 1- \cos^2 \beta ) = 49 \cos^2 \beta \\ 625 \cos^2 \beta = 576 \\ \cos^2 \beta = \frac{576}{625} \end{array} $$

Siccome l’angolo 𝛽 è inferiore a π/2 avrà seno e coseno positivi

$$ \cos \beta = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} $$

Dalla relazione fondamentale otteniamo immediatamente il valore del seno di 𝛽

$$ \sin \beta = \sqrt{1- \left( \frac{24}{25} \right) } = \frac{7}{25} $$

Dal seno e coseno di 𝛽 otteniamo per il ragionamento fatto sopra il seno e il coseno di 2𝛼

$$ \begin{array}{l} \sin 2\alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2}-\beta \right) = \cos \beta = \frac{24}{25} \\ \cos 2\alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2}-\beta \right) = \sin \beta = \frac{7}{25} \end{array} $$

Possiamo ora applicare le formule di bisezione per determinare seno, coseno e tangente dell’angolo 𝛼 che è la metà dell’angolo 2𝛼

(Anche l’angolo 𝛼 ha seno e coseno positivi)

$$ \begin{array}{l} \sin \alpha = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \\ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \end{array} $$

Per determinare la tangente di 𝛼 possiamo fare il rapporto del seno e del coseno di 𝛼

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{4} $$

Oppure applicare nuovamente la formula di bisezione per la tangente

$$ \tan \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1- \frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$

MODO 2

Per risolvere questo problema possiamo anche utilizzare le formule di duplicazione.

(dopo tutto ricordiamo che le formule di bisezione derivano proprio da queste)

Ricordiamo che la tangente di 2𝛼 può essere scritta come

$$ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} $$

La tangente di 2𝛼 a sua volta può essere ricavata dalla tangente di 𝛽 sfruttando le formule degli angoli associati

$$ \tan 2\alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2}- \beta \right) = \text{cotan} \beta = \frac{1}{\frac{7}{24}} = \frac{24}{7} $$

Sostituendo questo dato nella formula di duplicazione otteniamo un’equazione di secondo grado con incognita la tangente di 𝛼

$$ \begin{array}{l} \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} = \frac{24}{7} \\ \frac{\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} = \frac{12}{7} \\ 7 \tan^2 \alpha = 12(1-\tan^2 \alpha) \\ 7 \tan \alpha = 12 -12\tan^2 \alpha \\ 12\tan^2 \alpha+ 7\tan \alpha -12 =0 \end{array} $$

Ricordiamo he siccome l’angolo 𝛼 è nel primo quadrante accettiamo solamente la soluzione con tangente positiva

$$ \tan \alpha = \frac{-7 +\sqrt{7^2-4 \cdot 12 \cdot (-12) }}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$

Ora che possediamo la tangente di 𝛼 possiamo ricavare seno e coseno di 𝛼 sfruttando la definizione di tangente e la relazione fondamentale

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \to 4\sin \alpha = 3 \cos \alpha \\ \ \\ \begin{array}{l} 16 \sin^2 \alpha = 9 \cos^2 \alpha \to 16 \sin^2 \alpha = 9(1-\sin^2 \alpha) \\ 16 \sin^2 \alpha = 9-9\sin^2 \alpha \to 25\sin^2 \alpha = 9 \\ \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \to \sin \alpha = \frac{3}{5} \\ cos \alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5} \end{array}$$

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