Oggi vediamo come si possono rappresentare i sistemi lineari mediante le matrici.
Un sistema lineare con m equazioni in n incognite può essere visto come la matrice dei coefficienti A (mxn) che moltiplica un vettore X delle incognite (nx1) uguale a un vettore dei termini noti B (mx1).
Possiamo sintetizzare il tutto con la scrittura:
$$ A \cdot X = B $$
INDICE
SISTEMA DI EQUAZIONI
Con il termine sistema di equazioni intendiamo un insieme di m equazioni che devono essere verificate contemporaneamente.
$$ \begin{cases} f_1 (x_1, x_2, \dots , x_n) = 0 \\ f_2 (x_1, x_2, \dots , x_n) =0 \\ \dots \\ f_n (x_1, x_2, \dots , x_n) =0 \end{cases} $$
Un esempio di sistema con 3 equazioni in 3 incognite potrebbe essere:
$$ \begin{cases} x_1 \cdot x_2^2 -1 =0 \\ \ln x_3 + x_2 +1=0 \\ \frac{x_1}{x_3}=3 \end{cases} $$
Molto spesso quando le incognite sono poco numerose, per evitare confusioni, vengono chiamare con nomi più semplici, ed esempio x, y, z, t, h, … e così via.
Quindi il sistema visto può essere scritto come segue:
$$ \begin{cases} x\cdot y^2 -1 =0 \\ \ln z + y +1=0 \\ \frac{x}{z}=3 \end{cases} $$
SISTEMA LINEARE
In particolare il sistema è lineare quando incognite presentano grado uno, ed in generale non compaiono logaritmi, esponenziali, funzioni trigonometriche eccetera.
Le equazioni sono dei semplici polinomi in cui le incognite hanno grado uno.
Ogni equazione del sistema ha una forma generica del tipo:
$$ a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_1 \cdot x_1 = b $$
Dove:
$$ a_1, a_2, \dots , a_n \ \text{ sono i coefficienti delle incognite} $$
$$ x_1, x_2, \dots , x_n \ \text{ sono le incognite} $$
$$ b\ \text{ è il termine noto} $$
Quando stiamo considerando m equazioni lineari contemporaneamente possiamo scrivere un sistema lineare:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
$$ a_{ij} \ \text{ è il coefficiente associato alla $i$-esima equazione e alla $j$-esima incognita}$$
EQUAZIONI DEL SISTEMA LINEARE
Ora focalizziamo l’attenzione sull’ultima scrittura e andiamo ad evidenziare le equazioni del sistema.
Evidenziamo ora prima equazione del sistema lineare:
$$ \begin{cases} \color{blue}{ a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1} \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Mentre la seconda la seconda equazione del sistema lineare è:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ \color{blue}{ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 } \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
La i-esima equazione del sistema si trova sull’i-esima riga:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ \color{blue}{ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i} \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Mentre l’ultima è la m-esima equazione:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ \color{blue}{ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m} \end{cases} $$
INCOGNITE DEL SISTEMA LINEARE.
Evidenziamo ora nel sistema lineare le n incognite presenti.
Partiamo con la prima incognita x1:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot \color{red}{x_1} + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot \color{red}{x_1} + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot \color{red}{x_1} + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot \color{red}{x_1}+ a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Proseguiamo con la seconda incognita x2:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot \color{red}{x_2} + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot \color{red}{x_2} + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot \color{red}{x_2} + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot \color{red}{x_2} + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
La j-esima incognita
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot \color{red}{x_j} + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot \color{red}{x_j} + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot \color{red}{x_j} + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot \color{red}{x_j} + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Ed infine evidenziamo la n-esima e ultima incognita del nostro sistema:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot \color{red}{x_n} = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot \color{red}{x_n} = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot \color{red}{x_n} = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot \color{red}{x_n} = b_m \end{cases} $$
COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE
Notiamo che i coefficienti associati alle incognite presentano due indici:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + \color{green}{a_{ij}} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Il primo indice i identifica l’equazione sulla quale ci troviamo.
Mentre il secondo indice j segnala che ci stiamo riferendo alla j-esima incognita.
$$ \color{green}{a_{ij}} \ \text{ è il coefficiente della $i$-esima equazione e della $j$-esima incognita}$$
TERMINI NOTI DEL SISTEMA
Per ultimo identifichiamo i termini noti del sistema lineare:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = \color{orange}{b_1} \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = \color{orange}{b_2} \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = \color{orange}{b_i} \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = \color{orange}{b_m} \end{cases} $$
L’indice del termine noto indica l’equazione alla quale ci stiamo riferendo.
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SISTEMI LINEARI E MATRICI
Ricordando le proprietà del prodotto tra matrici il sistema lineare:
$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \cdots + a_{1j} \cdot x_j + \cdots + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \cdots + a_{2j} \cdot x_j + \cdots + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{i1} \cdot x_1 + a_{i2} \cdot x_2 + \cdots + a_{ij} \cdot x_j + \cdots + a_{in} \cdot x_n = b_i \\ \cdots \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \cdots + a_{mj} \cdot x_j + \cdots + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases} $$
Può essere visto come il prodotto di due matrici che si eguaglia ad un vettore
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_j \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_i \\ \cdots \\ b_m \end{pmatrix} $$
Dove la prima è detta matrice dei coefficienti, la seconda è il vettore delle incognite e il risultante è detto vettore dei termini noti.
Questa scrittura può essere sintetizzata nel seguente modo:
$$ A \cdot X = B \quad \text{con} \ A(m\times n) , X(n \times 1) , B(m \times 1) $$
MATRICE DEI COEFFICIENTI
La matrice A:
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$
È chiamata matrice dei coefficienti.
Si tratta di una matrice con m righe e n colonne (mxn).
Il numero di righe n equivale al numero delle equazioni del sistema lineare.
Mentre il numero di colonne n rappresenta il numero delle incognite.
I suoi elementi aij sono quelli associati all’i-esima equazione e alla j-esima incognita.
VETTORE INCOGNITO
Il vettore X:
$$ X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_j \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} $$
È il vettore delle incognite, detto anche vettore incognito.
Il numero delle componenti n è pari al numero delle incognite del sistema lineare e le sue componenti sono proprio le incognite del sistema.
VETTORE DEI TERMINI NOTI
Il vettore B:
$$ B = \begin{pmatrix} a_{m1} \\ a_{m2} \\ \cdots \\ a_{mj} \\ \cdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} $$
È definito il vettore dei termini noti o vettore noto.
Il numero m delle sue componenti è pari al numero di equazioni del sistema lineare.
Se il sistema lineare ammette soluzione può essere visto come una combinazione lineare delle n colonne di A.
MATRICE COMPLETA DI SISTEMA
La forma sintetica del sistema lineare è data dunque da:
$$ A \cdot X = B \quad \text{con} \ A(m\times n) , X(n \times 1) , B(m \times 1) $$
Scriveremo per comodità semplicemente:
$$ A \cdot X = B $$
Possiamo abbinare a questo sistema lineare una matrice del tipo A|B.
Questa matrice prende il nome di matrice completa di sistema.
$$ A|B \ \text{ è la matrice completa di sistema} $$
Si tratta semplicemente della matrice A cui viene affiancato (accostato) il vettore dei termini noti.
Proprio per questo motivo viene chiamata anche “A affiancato B” oppure “A accostato B“.
Siccome il vettore B fa da “orlo” alla matrice A, si può anche chiamare “A orlato B“.
$$ A|B = \left( \begin{array}{cccccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} & b_i \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right) $$
ESEMPI DI LETTURA MATRICIALE DI UN SISTEMA LINEARE
La simbologia utilizzata è sempre molto complessa, quindi è molto importante fare degli esempio pratici.
ESEMPIO 1 – SISTEMI LINEARI E MATRICI
Consideriamo il seguente sistema lineare con 3 equazioni in 3 incognite:
$$ \begin{cases} 2x-y-3z &=4 \\ x+2y &=-1 \\ 3x-2y+z &=1 \end{cases} $$
La matrice dei coefficienti A è:
$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$
Il vettore delle incognite X è:
$$ X= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$
Il vettore dei termini noti B è:
$$ B= \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Il sistema può essere anche letto come:
$$ AX= B \to \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
La matrice completa di sistema A|B è:
$$ A|B = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 1 \end{array} \right) $$
ESEMPIO 2 – SISTEMI LINEARI E MATRICI
Prendiamo in esame il seguente sistema lineare con 3 equazioni in 2 incognite
$$ \begin{cases} x+y &=3 \\ x-3y &=-1 \\ 2x-y &=1 \end{cases} $$
La matrice dei coefficienti A è:
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Il vettore delle incognite X è:
$$ X= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Il vettore dei termini noti B è:
$$ B= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Il sistema può essere anche letto come:
$$ AX= B \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
La matrice completa di sistema A|B è:
$$ A|B = \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{array} \right) $$
ESEMPIO 3 – SISTEMI LINEARI E MATRICI
Come ultimo esempio riportiamo un sistema lineare con 2 equazioni in 4 incognite:
$$ \begin{cases} x+2y-3z+t &=3 \\ 2x-z+2t &=0 \end{cases} $$
La matrice dei coefficienti A è:
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3& 1 \\ 2 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$
Il vettore delle incognite X è:
$$ X= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} $$
Il vettore dei termini noti B è:
$$ B= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Il sistema può essere anche letto come:
$$ AX= B \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3& 1 \\ 2 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$
La matrice completa di sistema A|B è:
$$ A|B = \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3& 1 & 3\\ 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \end{array} \right) $$
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