RIDUZIONE IN SCALA DI UNA MATRICE ED ELEMENTI PIVOT

In questo articolo parliamo della riduzione in scala di una matrice e degli elementi pivot o speciali.

Una matrice si definisce ridotta per righe quando presenta una forma di questo tipo:

$$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} $$

$$ ▲ \ \text{ è un generico elemento} $$

$$ \textbf{0} \text{ è lo zero} $$

$$ \color{red}{ ★ \ \text{ sono gli elementi speciali o pivot } } $$

Come possiamo notare in una matrice di questo tipo definita anche matrice a scalini notiamo alcune cosa che la rendono molto particolare.

In primo luogo la presenza degli zeri che sono posizionati nella parte inferiore della matrice.

In secondo luogo su ogni riga è presente un solo elemento speciale o Pivot.

L’elemento pivot è speciale poiché sotto di lui ci sono solamente zeri!

Notiamo meglio questa cosa guardando la stessa matrice  focalizzando l’attenzione su una colonna alla volta:

$$ \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ \color{blue}{0} & \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ \color{blue}{0}& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ \color{blue}{0}& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ \color{blue}{0}& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ \color{blue}{0}& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ \color{blue}{0}& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{blue}{0}& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& \color{blue}{0}& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& \color{blue}{0}& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& \color{blue}{0}& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& \color{blue}{0}& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& \color{blue}{0}& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{blue}{0}& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& \color{blue}{0}& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& \color{blue}{0}& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \cdots $$

La terza caratteristica che possiamo notare è che il pivot è il primo elemento non nullo di ogni riga

Per vederlo meglio focalizzate ora l’attenzione sulle righe della matrice:

$$ \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ \color{blue}{0}& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{blue}{0}& \color{red}{★} \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad \cdots $$

Nella figura generica che vi ho rappresentato il primo elemento pivot cade sulla prima riga, mentre il secondo elemento pivot cade sulla seconda.

In generale l’i-esimo elemento pivot cade sulla i-esima riga, ma non è sempre così.

Quindi non è detto che gli elementi pivot si distribuiscano per forza su una diagonale.

(anche se a mio avviso questa è la forma di gran lunga più elegante)

Possiamo ad esempio osservare il seguente esempio generico:

$$ A = \begin{pmatrix} ▲& ▲& \color{red}{★}& ▲& ▲ \\ ▲& ▲& 0& ▲& \color{red}{★} \\ \color{red}{★}& ▲& 0 & ▲& 0 \\ 0& \color{red}{★} & 0 & ▲& 0 \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} $$

Da ultimo diciamo che l’ultima riga potrebbe anche non essere nulla.

In tal caso ovviamente l’ultimo elemento pivotale non avrà nessuno zero al di sotto.

$$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{★}& ▲& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& \color{red}{★}& ▲& ▲& \dots & ▲ \\ 0& 0& \color{red}{★}& ▲ & \dots & ▲& \\ 0& 0& 0& \color{red}{★} & \dots & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} & ▲ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \color{red}{★} \end{pmatrix} $$

ELEMENTO SPECIALE O PIVOT

La matrice ridotta per righe (a scala) si caratterizza per la presenza di elementi pivot e ne abbiamo identificato le caratteristiche salienti.

Ma da cosa deriva il nome “elemento pivot”?

Perché la presenza di elementi speciali rende così speciale la matrice?

Il termine francese  “pivot” significa perno che è l’asse di spostamento.

Quando dobbiamo aprire un rubinetto o smontare la ruota di una macchina dobbiamo subito focalizzare l’attenzione sulla manovella oppure sui bulloni che permetteranno all’acqua o alla ruota di uscire.

Allo stesso modo l’elemento pivot nell’ambito dell’algebra lineare diventa molto importante quando dobbiamo effettuare dei calcoli particolari.

La presenza di questi elementi ci aiuta a porre l’attenzione su pochi elementi e aiuta a stabilire una mappatura o sistema di riferimento per le nostre azioni.

In matematica, specialmente nell’algebra lineare, e in informatica l’elemento pivot è il primo elemento scelto da un algoritmo.

Questo elemento è in grado di rendere più snello un certo procedimento o procedura che viene utilizzata per un fine ben determinato.

Nell’ambito dell’algebra lineare la riduzione in scala di una matrice aiuta a:

• Calcolare il determinante di una matrice quadrata
• Determinare il rango di una matrice
• Risolvere sistemi lineari

Cliccate su questi termini per vedere degli esempi pratici.

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

Comincia il tuo percorso in matematica partendo da zero.

Recupera le basi per accedere ai livelli superiori di conoscenza

ESEMPI PRATICI DI MATRICI RIDOTTE A SCALA

Andiamo a vedere qualche esempio concreto di matrici ridotte a scala:

$$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{2}& 1 \\ 0 & \color{red}{1} \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} \color{red}{1}& 1 \\ 0 & \color{red}{1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad C= \begin{pmatrix} \color{red}{2}& -1 & 3\\ 0 & 0 & \color{red}{5} \end{pmatrix} \quad D= \begin{pmatrix} \color{red}{3}& 1 & 4\\ 0 & \color{red}{-2} & 1 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} \end{pmatrix}$$

$$ E = \begin{pmatrix} 0 & \color{red}{1} & 3 & 4 \\ 0 & 0 & \color{red}{\frac{1}{2}} & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad F = \begin{pmatrix} \color{red}{\pi} & -3 & 1 \\ 0 & \color{red}{e} & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 &-6 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \quad F = \begin{pmatrix} \color{red}{\phi} & 2 & 1 & 4\\ 0 & \color{red}{\sqrt{2}} & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{2} \\ 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} $$

METODO PER RIDURRE UNA MATRICE A SCALA

Fino qui abbiamo visto come riconoscere una matrice ridotta in scala visualizzandone degli esempi pratici.

Ma qual è la procedura per ottenere una matrice ridotta per righe a partire da una data matrice?

La prima cosa che dobbiamo avere in mente se vogliamo ridurre una matrice per righe è che dobbiamo visualizzare la matrice per righe.

Sembra una cosa abbastanza banale e scontata ma vi garantisco che non lo è.

Consideriamo come esempio la seguente matrice del tipo 4×4 

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1\\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3& -1& 1& -1 \end{pmatrix} $$

Focalizziamo ora la nostra attenzione sulla prima riga della matrice ed in particolar modo sul primo elemento della riga

$$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{green}{1} & \color{green}{3} & \color{green}{1}\\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3& -1& 1& -1 \end{pmatrix} $$

Ora noi vogliamo che sotto questo primo elemento ci siamo tutti zeri, ovvero lo vogliamo elemento pivot.

$$ F = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{green}{1} & \color{green}{3} & \color{green}{1}\\ -1 \color{blue}{\to 0}& 2 & 1 & 2 \\ 0 \color{blue}{\to 0} & 1 & 0 & 2 \\ 3 \color{blue}{\to 0}& -1& 1& -1 \end{pmatrix} $$

Le operazioni che sono consentite per ridurre una matrice per righe sono:

• Scambiare due righe tra di loro
• Sostituire al posto di una riga una combinazione lineare tra la riga stessa e altre righe

In particolare modo faremo combinazioni lineari tra le tre righe sotto e la riga su cui fissiamo l’attenzione di passaggio in passaggio

PRIMA RIGA – PRIMO ELEMENTO

Partiamo dalla prima riga della matrice focalizzando in particolare l’attenzione sul primo elemento.

$$ \color{blue}{r_1 = \begin{pmatrix} \color{red}{-1} & \color{green}{1} & \color{green}{3} & \color{green}{1} \end{pmatrix}} $$

Il nostro scopo è creare tutti zeri sotto il primo numero 1.

Partiamo dalla seconda riga che chiamiamo r2, il cui primo elemento è -1

$$ r_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2& 1& 2 \end{pmatrix} $$

Al posto della seconda riga sommiamo la seconda riga con la prima riga.

$$ r_2 \to \ r’_2 = r_2 \color{blue}{ + r_1} $$

$$ r’_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2& 1& 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1& 3& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{0} & 3& 4& 3 \end{pmatrix} $$

Il primo elemento della terza riga è 0, quindi non dovremo fare niente.

$$ r_3 \to \ r’_3 =r_3 \color{blue}{ + 0 r_1}= \begin{pmatrix} \color{blue}{0} & 1& 0& 2 \end{pmatrix} $$

Per quanto riguarda la quarta riga il primo elemento vale 3, pertanto èer ottenere lo zero sottraiamo dalla terza riga il  triplo della prima riga.

Per quanto riguarda la quarta riga il primo elemento vale 3, pertanto èer ottenere lo zero sottraiamo dalla terza riga il  triplo della prima riga.

$$ r_4 \to \ r’_4 = r_4 \color{blue}{ -3 r_1 } $$

$$ r’_4 = \begin{pmatrix} 3 & -1& 1& -1 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 1 & 1& 3& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{0} & -4& -8& -4 \end{pmatrix} $$

La matrice che otteniamo che chiamiamo A’ è:

$$ A’ = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & 3& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & 1 & 0 & 2 \\ \color{blue}{0}& -4& -8& -4 \end{pmatrix} $$

Come vedete abbiamo ottenuto il primo pivot della nostra tabella utilizzando la prima riga per annullare la seconda colonna:

Riepilogando quanto fatto con una scrittura più veloce che useremo da ora in poi possiamo scrivere:

$$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{green}{1} & \color{green}{3} & \color{green}{1}\\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3& -1& 1& -1 \end{pmatrix} \ \begin{array}{c} \color{blue}{r_1 \to r_1} \\ r_2 \to r_2 \color{blue}{+r_1} \\ r_3 \to r_3 \\ r_4 \to r_4 \color{blue}{- 3r_1 } \end{array} \quad \to \quad A’ = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & 3& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & 1 & 0 & 2 \\ \color{blue}{0}& -4& -8& -4 \end{pmatrix} $$

SECONDA RIGA – SECONDO ELEMENTO

Ripartiamo dalla matrice A’:

A’ = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& \color{green}{4} & \color{green}{3} \\ \color{blue}{0} & 1 & 0 & 2 \\ \color{blue}{0}& -4& -8& -4 \end{pmatrix} $$

Ora focalizziamo l’attenzione sulla seconda riga.

$$ r_2 = \begin{pmatrix} \color{blue}{0} & \color{red}{3}& \color{green}{4} & \color{green}{4} \end{pmatrix} $$

Il nostro scopo è far si che il suo secondo elemento diventi un elemento pivot.

Osserviamo che il secondo elemento della terza riga vale 1, quindi sottraiamo la seconda riga dal triplo della terza.

$$ r_3 \to \color{blue}{ r’_3 = 3 \color{black}{r_3} – r_2} $$

Per quanto riguarda la quarta riga notiamo che tutti i suoi elementi sono multipli di 4.

Prima di fare qualsiasi altra operazione ci conviene dividere per 4 (o moltiplicare per 1/4) tutti i suoi elementi) prima di procedere a qualsiasi altra operazione.

$$ r_4 \to \color{blue}{ r’_4 = \frac{1}{4} \color{black}{r_3} } = \begin{pmatrix} \color{blue}{0} & -1& -2& -1 \end{pmatrix} $$

Fatta questa operazione il secondo elemento di riga diventa –1.

Per ottenere zero sommiamo il triplo della nuova quarta riga alla seconda.

$$ r’_4 \to \ \color{blue}{ r”_4 = 3 \color{black}{r’_4} + r_2} $$

Scritto in modo sintetico:

$$ A’ = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& \color{green}{4} & \color{green}{3} \\ \color{blue}{0} & 1 & 0 & 2 \\ \color{blue}{0}& -1& -2& -1 \end{pmatrix} \begin{array}{c} {r_1 \to r_1} \\ r_2 \to r_2 \\ r_3 \to 3 {r_3} – r_2 \\ r’_4 \to 3 {r’_4} + r_2 \end{array} \quad \to \quad A” = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -4 & 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -2& -6 \end{pmatrix} $$

A questo punto otteniamo la matrice A”:

Ecco che abbiamo ottenuto il nostro secondo elemento pivotale.

Vi faccio notare che gli zeri presenti sulla prima colonna non sono cambiati, poiché una combinazione lineare di zeri è sempre pari a zero.

In questo modo non siamo andati a modificare il primo elemento pivot ricavato nel punto precedente.

Arrivati a questo punto possiamo subito dividere l’ultima riga per 2, in quanto i numero sono pari.

Anche se in questo caso è un’operazione inutile facciamola lo stesso per tenerci un po’ in esercizio.

$$ A” = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -4 & 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -1& -3 \end{pmatrix} $$

Siccome vogliamo che il terzo elemento della quarta riga valga zero sottraiamo la riga 3 al quadruplo della riga 4.

$$ A” = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -4 & 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & -1& -3 \end{pmatrix} \begin{array}{c} {r_1 \to r_1} \\ r_2 \to r_2 \\ r_3 \to {r_3} \\ r_4 \to 4 {r_4} – r_3 \end{array} \quad \to \quad A”’ = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 1 & 3 & 1\\ \color{blue}{0} & \color{red}{3}& 4& 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{red}{-4} & 3 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{red}{-15} \end{pmatrix} $$

Otteniamo in questo caso la matrice ridotta a scala che è la matrice A”’:

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti.

Il tuo commento è molto importante per aiutare altri utenti con le tue stesse difficoltà.

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

Scopri tutti i corsi di matematica

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica