VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI E DIPENDENTI – COMBINAZIONI LINEARI

In questo articolo vediamo un argomento assolutamente centrale di tutta l’algebra: i vettori linearmente dipendenti e indipendenti.

NOZIONE DI VETTORE

Nell’algebra lineare lo studio dei vettori linearmente dipendenti e indipendenti occupa un ruolo di assoluta importanza.

Fissato un campo k, molto spesso coincidente con l’insieme dei numeri reali, possiamo immaginare un vettore come una ennupla ordinata di numeri.

V = (x1, x2, x3, …., xn), con x1, x2, .., xn appartenenti ad R

Diciamo quindi che il vettore v appartiene ad R^n. 

$$ v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_i \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} \ \ \text{con } \ v \in \Re ^n $$

Molto spesso per indicare che ci troviamo di fronte ad un vettore indichiamo la lettera v con un trattino in basso.

Esempio di vettore potrebbe essere il seguente

$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \text{con } \ v \in \Re ^3 $$

Questo vettore ha tre componenti e diciamo perciò che appartiene ad R³, ovvero allo spazio.

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

Dati k vettori costruiti sopra lo stesso campo (esempio R), ed aventi lo stesso numero di componenti (esempio n) dichiamo che questi vettori sono linearmente indipendenti se non possiamo scrivere nessuno di questi k vettori come combinazione lineare degli altri k-1 vettori.

Scritto in simboli:

Dati k vettori con n componenti

$$ v_1, v_2, \dots , v_i , \dots , v_k \ \in \Re^n $$

 e k-1 costanti 

$$ \lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_{i-1} , \dots , \lambda_k \ \in \Re $$

Preso un generico vettore v_i, diciamo che risulta linearmente indipendente dagli altri k-1 vettori se non è possibile scriverlo come una combinazione lineare di questi.

In altre parole per tutti i possibili valori dei “lambda” è sempre verificata la seguente disequazione:

$$ v_i \ne\lambda_1 \cdot v_1 +\lambda_2 \cdot v_2 + \cdots+ \lambda_{i-1} \cdot v_{i-1} + \cdots + \lambda_k \cdot v_k $$

Per definire meglio quando un vettore è linearmente indipendente meglio chiarire con un esempio pratico cosa si intende per vettore linearmente dipendente.

COMBINAZIONI LINEARI E VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

Siccome è sempre difficile capire queste simbologie molto astratte, vediamo un esempio in concreto.

Prendiamo ad esempio i vettori:

$$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Dove T messo all’esponente significa che leggiamo i vettori in colonna anziché in riga, per semplicità

Creiamo ora il vettore

$$ v_3 = 2 \cdot v_1 – v_2 $$

Allora possiamo scrivere:

$$ v_3 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} $$

Ora il vettore v₃ è sicuramente ottenuto da una combinazione lineare dei vettori v₁ e v₂.

Perciò affermiamo che v₃ è linearmente dipendente dai vettori v₁ e v₂.

UNA DEFINIZIONE PIU’ PRECISA DI DIPENDENZA LINEARE

Dati k vettori 

$$ v_1, v_2, \dots , v_i , \dots , v_k \ \in \Re^n $$

 dati k scalari 

$$ \lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_{i} , \dots , \lambda_k \ \in \Re $$

 e data la seguente equazione vettoriale:

$$ \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_{i} \cdot v_{i} + \cdots + \lambda_k \cdot v_k = 0$$

Diremo che:

Se l’unica soluzione di questa equazione è 

$$ \lambda_1 = 0 \land \lambda_2 = 0 \land \dots \land \lambda_k = 0 $$

allora diremo che i vettori tra di loro risultano essere linearmente indipendenti.

Ovvero nessuno dei vettori dati potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri k-1 vettori

Questa soluzione di tutti coefficienti, che sono le incognite del nostro sistema, si definisce anche soluzione banale.

Proprio perché è la più ovvia.

Risulta infatti subito evidente che se moltiplichiamo per zero ogni vettore otteniamo il vettore nullo (inteso come vettore nullo).

Ed una somma di vettori nulli darà come risultato sicuramente il vettore nullo

$$ 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_k = 0 \quad \forall v_1, v_2, \dots , v_k $$

Se oltre a questa soluzione banale otteniamo anche altre soluzioni (di solito infinite) allora i vettori sono tra di loro linearmente dipendenti.

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ESEMPIO DI VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

Come sempre quando leggiamo queste definizioni troppo astratte ci viene il mal di testa.

È sempre meglio prendere qualche esempio pratico.

Partiamo proprio dai tre vettori che abbiamo creato prima

$$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \quad v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix}$$

ed impostiamo l’equazione vettoriale:

$$ \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \lambda_3 \cdot v_3 = 0$$

Ora per comodità chiamiamo le incognite a1, a2, a3 con i nomi più comodi di x, y, z.

$$ \lambda_1 = x \quad \lambda_1 = x \quad \lambda_1 = x $$

dunque possiamo siamo scrivere

$$ x \cdot v_1 + y \cdot v_2 + z \cdot v_3 = 0$$

Ovvero espandendo ulteriormente:

$$ x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Possiamo inoltre riscrivere questa equazione vettoriale in un modo a noi molto più familiare dai tempi del liceo.

Un sistema lineare di tre equazioni dove otteniamo ogni componente i-esima nulla del vettore nullo coma la somma tra:

 x volte la componente i-esima del primo vettore

 y volte la componente i-esima del secondo vettore

 z volte la componente i-esima del terzo vettore

$$ \begin{cases} x+0y+2z=0 \\ 3x+5y+z=0 \\ -2x+3y-7z=0 \end{cases} $$

Per risolvere tale sistema dalla prima equazione possiamo ricavarci la x in funzione della z.

$$ x+2y=0 \to \ x=-2z $$

Ora sostituiamo questo risultato nella seconda equazione:

$$ 3x+5y+z=0 \overset{x=-2z}{\longrightarrow} 3(-2z)+5y+z=0 \to $$

$$ \to \ -6z+5y+z =0 \to \ -5z+5y=0 \to \ 5y=5z \overset{ \div 5}{\longrightarrow} y=z $$

Adesso che abbiamo sia la x che la y in funzione della z entriamo nella terza equazione e sostituiamo tali incognite di modo da avere tutto in funzione della z.

$$ -2x+3y-7z=0 $$

Cambiamo prima i segni per comodità di lettura e sostituiamo i valori della x e della z:

$$ -2x+3y-7z=0 \overset{ \begin{cases} x= -2z \\ y=z \end{cases}}{\longrightarrow} 2(-2z)+3z-7z=0 \to \ -4z-3z+7z =0 \to \ 0=0$$

Questa è una forma indeterminata, pertanto risulta sempre vera qualsiasi valore di z noi inseriamo.

In questo senso z è una variabile libera.

Detto in altre parole i valori della  x e della y rimangono vincolate al valore che assume la z.

Immaginiamo ora di riassumere attraverso un vettore le tre incognite, in maniera ordinata avremo:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2z \\ z \\ z \end{pmatrix} = z \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Da qui capite che se z = 0 , otteniamo la soluzione banale, ovvero:

$$ z=0 \to \ \text{soluzione banale: } \ x=0 \land y=0 \land z=0 $$

Per z =1, otteniamo un’altra soluzione non banale, ovvero:

$$ z=1 \to \ \ x=-2 \land y=1 \land z=1 $$

Quando z=2 i coefficienti diventano:

$$ z=2 \to \ \ x=-4 \land y=2 \land z=2 $$

Da qui possiamo affermare che i vettori tra di loro sono linearmente dipendenti.

In realtà le possibili soluzioni sono infinite poiché sono infiniti i valori reali che la z può assumere.

Ricordando ora l’equazione vettoriale di partenza

$$ x \cdot v_1 + y \cdot v_2 + z \cdot v_3 = 0$$

Con la seconda soluzione (z=1) trovata avremo che:

$$ -2 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 = 0 \to \ -2 \cdot v_1 + v_2 + v_3 = 0 $$

Da qui possiamo ricavare v₁ in funzione di v₂ e v₃.

$$ -2 \cdot v_1 + v_2 + v_3 = 0 \ \ \ \ \overset{ v_1 (v_2 , v_3) }{\longrightarrow} \ \ \ \ v_1 = \ -\frac{1}{2} v_2 -\frac{1}{2} v_3$$

Oppure v₂ in funzione di v₁ e v₃:

$$ -2 \cdot v_1 + v_2 + v_3 = 0 \ \ \ \ \overset{ v_2 (v_1 , v_3) }{\longrightarrow} \ \ \ \ v_2 = 2 v_1 – v_3$$

Oppure ancora v₃ in funzione di v₁ e v₂

$$ -2 \cdot v_1 + v_2 + v_3 = 0 \ \ \ \ \overset{ v_3 (v_2 , v_3) }{\longrightarrow} \ \ \ \ v_3 = 2 v_1 – v_2$$

Questa era appunto la relazione con cui abbiamo creato v₃ all’inizio

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI- ESERCIZIO

Prendiamo i seguenti tre vettori:

$$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Impostiamo l’equazione:

$$ x \cdot v_1 + y \cdot v_2 + z \cdot v_3 = 0$$

Avremo dunque:

$$ x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Creiamo dunque il seguente sistema lineare con 3 equazioni e 3 incognite:

$$ \begin{cases} x+z=0 \\ -y+z=0 \\ 2x=0 \end{cases} $$

Dall’ultima equazione si capisce immediatamente che la x vale zero:

$$ 2x=0 \to \ x=0 $$

Sostituendo nella prima equazione, otteniamo:

$$ x+z=0 \ \ \overset{ x=0 }{\longrightarrow} \ \ 0+z=0 \to \ z=0 $$

Inseriamo tale risultato nella seconda equazione, e abbiamo:

$$ -y+z=0 \ \ \overset{ \begin{cases} x=0 \\ z=0 \end{cases} }{\longrightarrow} \ \ -y+0=0 \to \ y=0 $$

Siccome l’unica soluzione ammessa è la soluzione banale, concludiamo che i tre vettori sono linearmente indipendenti.

$$ \text{soluzione banale:} \ x=0 \land y=0 \land z=0 \to \ v_1, v_2, v_3 \ \text{lin. indip.} $$

UN METODO PIU’ VELOCE

Per sapere se in generale k vettori risultano essere linearmente dipendenti o indipendentiabbiamo impostato un sistema lineare del tipo:

$$ \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_{i} \cdot v_{i} + \cdots + \lambda_k \cdot v_k = 0 \quad \text{con} \begin{cases} v_1, v_2, \dots , v_k, 0 \in \Re^n \\ \lambda_1 , \lambda_2, \dots , \lambda_k \in \Re \end{cases} $$

Ma questa è la strada più veloce?

In effetti no.

Esiste infatti un metodo che si basa sulle matrici ed in particolare sullo studio del rango di una matrice.

Per determinare il rango di una matrice si può ricorrere a più metodi tra i quali ricordiamo:

• Sistema lineare (ma siamo sempre al punto di partenza)
• Determinante e minori
• Metodo di riduzione a scala di una matrice

Utilizzando uno degli ultimi due metodi non abbiamo bisogno di “sporcarci” con le incognite nella risoluzione di sistemi lineari.

In pratica concentriamo tutta la nostra attenzione sui numeri della matrice in cui troviamo i vettori oggetto della nostra attenzione scritti sulle colonne della stessa.

In realtà anche se volessimo risolvere un sistema lineare potremmo farlo con il solo utilizzo degli elementi algebrici della matrice.

Per risolvere i sistemi lineari cito due metodi quali:

• Determinante
• Riduzione a scala di una matrice
• Gauss

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