PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE

In questo articolo chiariamo la differenza tra il prodotto scalare e vettoriale.

In sintesi il prodotto scalare è una costante (numero o scalare)associata a due vettori che si calcola come la sommatoria dei prodotti delle relative componenti.

Dati due vettori di Rⁿ v e w

$$ v,w \in \mathbb{R^n}: \quad v= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \cdots \\ v_i \\ \cdots \\ v_n \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \cdots \\ w_i \\ \cdots \\ w_n \end{pmatrix} $$

Allora il prodotto scalare tra i due vettori che si legge  v scalare w che si scrive v·w  è :

$$ \large v \cdot w = \sum v_i \cdot w_i \\ \ \\ v \cdot w = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot w_n $$

Il suo valore è dato dal prodotto dei moduli di v e w moltiplicati per il coseno dell’angolo 𝜃 formato dai due vettori.

$$ \large v \cdot w = |v| \cdot |w| \cdot \cos \theta $$

Il prodotto vettoriale è un’operazione che è ammessa solamente quando i vettori appartengono ad R³ ovvero hanno tre componenti e li possiamo disegnare nello spazio.

Tale vettore prodotto sempre di tre componenti è perpendicolare ai vettori di partenza e si indicato con la scritture:

$$ \large v \times w \quad \text{oppure} \quad v \land w $$

Il suo modulo è dato dal prodotto dei moduli di v e w moltiplicati per il coseno dell’angolo 𝜃 che si forma tra i vettori

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot \sin \theta $$

PRODOTTO SCALARE TRA VETTORI

Vediamo di chiarire meglio il concetto di prodotto scalare tra vettori.

Dati due vettori di Rⁿ ovvero con n componenti v e w

$$ v,w \in \mathbb{R^n} \to v \cdot w = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot w_n $$

Il prodotto scalare tra i due vettori che si legge  v scalare w che si scrive v·w  è una costante (numero o costante appunto) che è dato dalla seguente formula.

$$ \large v \cdot w = \sum v_i \cdot w_i \\ \ \\ v \cdot w = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot w_n $$

Per una convenzione matematica tale prodotto scalare è definito come:

$$ \text{vettore riga} \cdot \text{vettore colonna} $$

Dunque se v e w sono entrambi vettori riga usiamo l’operazione di trasposizione per trasformare il secondo vettore (destra):

$$ v \cdot w^T \quad \text{oppure} \quad w \cdot v^T $$

Se accade viceversa che sono entrambi sono colonne scriveremo

$$ v^T \cdot w \quad \text{oppure} \quad w^T \cdot v $$

Quando v è un vettore riga e w è un vettore colonna allora le scritture equivalenti sono:

$$ v \cdot w \quad \text{oppure} \quad w^T \cdot v^T $$

Se accade viceversa (v è una colonna e w è una riga) trasponiamo entrambi i vettori

$$ v^T \cdot w^T \quad \text{oppure} \quad w \cdot v $$

Ora  potrà capitare di omettere questa convenzione (che comunque andrebbe formalmente fatta) per questioni di maggiore semplicità.

In alcuni casi troviamo infatti la scrittura più semplificata:

$$ \langle v,w \rangle $$

ESEMPIO DI PRODOTTO SCALARE

Cominciamo con il considerare un caso molto semplice di vettori nel piano cartesiano :

$$ v= \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 5&1 \end{pmatrix} $$

 che andiamo a rappresentare nel sistema cartesiano.

Applichiamo ora l’operazione di prodotto scalare tra i due vettori:

$$ v \cdot w = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 13 $$

Le scritture più formalmente corrette sarebbero:

$$ v^T \cdot w = \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} $$

Si potrebbe anche usare:

$$ w^T \cdot v = \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} $$

 che non cambierebbe comunque il significato.

Ripeto ancora una volta che per una questione di semplicità potremo omettere questa formalità.

LEGAME TRA IL PRODOTTO SCALARE – MODULI – ANGOLI

Esiste un profondo legame tra il valore del prodotto scalare, il modulo dei vettori e l’angolo tra i vettori.

Tale relazione di dice che il valore del prodotto scalare  è dato dal prodotto dei moduli di v e w moltiplicati per il coseno dell’angolo 𝜃 formato dai due vettori.

$$ v \cdot w = |v| \cdot |w| \cdot \cos \theta $$

Quindi se volessimo ricavare la formula inversa facciamo i seguenti passaggi:

$$ \cos \theta = \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} $$

Da cui applicando la funzione arcoseno (cos^-1) ad entrambi i membri ricaviamo che il valore dell’angolo 𝜃 risulta:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) $$

Ritorniamo per un momento all’esercizio di vettori con due componenti scritto sopra:

$$ v= \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 5&1 \end{pmatrix} $$

 dove il prodotto scalare tra i vettori vale 13

$$ v \cdot w = 13 $$

Le norme di v e w valgono rispettivamente:

$$ \begin{array}{l} |v| &=& \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} \\ |w| &=& \sqrt{5^2+1^2} = \sqrt{26} \end{array} $$

L’angolo  𝜃  formato dai vettori risulta pari a:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{13}{ \sqrt{13} \cdot \sqrt{26}} \right) \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^o $$

DA DOVE VIENE LA FORMULA DEL PRODOTTO SCALARE ?

La formula che lega il prodotto scalare al modulo del vettori e all’angolo tra essi compresi non è stata inventata di sana pianta.

Essa trova la sua origine in un teorema della trigonometria: il teorema del coseno.

Questo teorema afferma che il quadrato costruito su un lato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso.

Se ci riferiamo ad un triangolo di lati a, b, c di angoli 𝛼 (oposto ad a), 𝛽 (opposto a b) e 𝛾 (opposto a c) possiamo scrivere che:

$$ a^2= b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha $$

Modifichiamo ora semplicemente i nomi dei lati del triangolo inserendo i vettori in oggetto

Il terzo lato è chiaramente il vettore differenza v–w poiché si trova sulla diagonale secondaria del parallelogrammo generato dai vettori v e w.

La lunghezza dei vettori è chiaramente data dai loro moduli

Dunque tramite queste sostituzioni applicando il teorema del coseno al triangolo possiamo scrivere:

$$ |v-w|^2 = |v|^2 +|w|^2 -2 |v|\ |w|\ \cos \theta $$

Cominciamo sviluppando le norme dei vettori v e w

$$ \begin{array}{l} |v|^2 &=& v_1^2 + v_2^2 \\ |w|^2 &=& w_1^2 + w_2^2 \end{array} $$

Ora passiamo alla norma del vettore v-w e scopriamo delle relazioni importanti

$$ \begin{array}{l} |v-w|^2 &= (v_1 -w_1)^2+(v_2-w_2)^2 = \\ &=v_1^2+w_1^2-2v_1w_1+v_2^2+w_2^2-2v_2w_2 = \\ &= ( \color{red}{v_1^2+v_2^2})+ (\color{blue}{w_1^2+w_2^2}) -2( \color{green}{v_1w_1+v_2w_2}) = \\ &= \color{red}{|v|^2} + \color{blue}{|w|^2} -2 \color{green}{v \cdot w} \end{array} $$

Ritorniamo alla formula ricavata mediante il teorema del coseno:

 ed inseriamo i risultati appena trovati

$$ \color{orange}{|v|^2+|w|^2} -2 v \cdot w = \color{orange}{|v|^2+|w|^2} -2 |v| \ |w| \ \cos \theta $$

Semplifichiamo i termini simili, dividiamo per 2 e cambiamo i segni, ed otteniamo la relazione che collega il prodotto scalare ai moduli dei vettori ad al coseno dell’angolo compreso

$$ v \cdot w |v| \ |w| \ \cos \theta $$

Si può dimostrare che questa formula è valida qualsiasi sia il numero delle componenti dei vettori.

Da questa formula è possibile ricavare l’angolo compreso tra i vettori:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) $$

ANGOLO COMPRESO TRA DUE VETTORI – ESEMPIO 1

Determina l’angolo compreso tra i vettori di R³

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} $$

Cominciamo con il determinare il modulo o norma dei vettori:

$$ \begin{array}{l} |v| &=& \sqrt{2^2+1^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |w| &=& \sqrt{(-1)^2+4^2+5^2} = \sqrt{42} \end{array} $$

Ora occupiamoci del prodotto scalare:

$$ v \cdot w = 2 \cdot(-1)+1 \cdot 4 +3 \cdot 5 = 17 $$

A questo punto non ci resta che calcolare il valore dell’angolo compreso sfruttando la formula

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) \\ \ \\ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{17}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} \right) \approx 45,49^o $$

In questo caso essendo i vettori tridimensionali possiamo rappresentarli nello spazio

ANGOLO COMPRESO TRA DUE VETTORI – ESEMPIO 2

L’angolo tra due vettori può essere calcolato anche in un generico spazio Rⁿ ovvero quando i vettori hanno un numero di componenti maggiore di 3 e ci troviamo all’interno dell’iper-spazio.

A tal proposito prendiamo come riferimento due vettori di R⁴

$$ v = \begin{pmatrix} 1\\0\\-2\\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 4\\-3\\1\\0 \end{pmatrix} $$

Cominciamo con il determinare il modulo o norma dei vettori:

$$ \begin{array}{l} |v| &=& \sqrt{1^2+0^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |w| &=& \sqrt{4^2+(-3)^2+1^2+0^2} = \sqrt{26} \end{array} $$

Ora occupiamoci del prodotto scalare:

$$ v \cdot w = 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2 $$

A questo punto non ci resta che calcolare il valore dell’angolo compreso sfruttando la formula

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) \\ \ \\ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}} \right) \approx 83,98^o $$

In questo caso essendo i vettori tridimensionali possiamo rappresentarli nello spazio

VETTORI ORTOGONALI  (PERPENDICOLARI)

Due vettori si dicono ortogonali o perpendicolari se le loro direzioni formano un angolo retto.

In questo caso il loro prodotto scalare risulta nullo ovvero pari a zero.

Infatti l’arco il cui coseno è zero vale 90 gradi:

$$ v \cdot w = 0 \to \theta = \cos^{-1} \left( \frac{0}{|v| \cdot |w|} \right) = \cos^{-1}0 = 90^o $$

VETTORI ORTOGONALI ESEMPIO 1:

Partiamo con un esempio molto molto semplice di vettori del piano appartenenti ad un piano R²

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix}$$

Questi vettori risultano sicuramente perpendicolari in quanto paralleli agli assi cartesiani

Le norme dei vettori sono:

$$ \begin{array}{l} |v| &=& \sqrt{2^2+0^2} = 2 \\ |w| &=& \sqrt{0^2+3^2} =3 \end{array} $$

Il loro prodotto scalare è certamente nullo in quanto:

$$ v \cdot w = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 =0 $$

Dunque applicando la formula:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{0}{|v| \cdot |w|} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{0}{2\cdot 3} \right) = 90^o $$

VETTORI ORTOGONALI ESEMPIO 2:

Proseguiamo con un esempio di vettori nello spazio R³

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} -4\\5\\1 \end{pmatrix}$$

Il loro prodotto scalare è certamente nullo in quanto:

$$ v \cdot w = 2 \cdot (-4) + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 1 =0 $$

Dunque i vettori sono perpendicolari e formano un angolo di 90^o.

VETTORI ORTOGONALI ESEMPIO 3:

Consideriamo questo terzo esempio di vettori nell’iperspazio R⁴

$$ v = \begin{pmatrix} 5\\2\\-1\\0 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 2\\-3\\4\\1 \end{pmatrix}$$

Il prodotto scalare dei vettori è:

$$ v \cdot w = 5 \cdot 2+ 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 0 $$

Dunque i vettori risultano perpendicolari.

Ovviamente non è possibile una rappresentazione grafica.

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

Impara l’algebra lineare con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.

Un viaggio che parte dai vettori e dalle matrici, passando per i sitemi lineari giungerai nei meandri degli spazi vettoriali, della diagonalizzazione delle matrici con tappa finale nelle coniche.

PRODOTTO VETTORIALE

Il prodotto vettoriale tra vettori è un’operazione ammessa solamente in R³ ovvero nello spazio, quando i vettori hanno tre componenti.

Presi due vettori di R³

$$ v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} w_x\\w_y\\w_z \end{pmatrix} $$

il prodotto vettoriale simboleggiamo nei seguenti modi

$$ \large v \times w \quad \text{oppure} \quad v \land w $$

 è un vettore perpendicolare ai due vettori di partenza, ovvero perpendicolare al piano su cui giacciono i vettori v e w.

Il modulo del prodotto vettoriale è pari a:

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot \sin \theta $$

Per esse più precisi dovremo scrivere:

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot \sin \theta \quad \text{con }\ 0^o \le \theta \le 180^o $$

In modo equivalente per imporre la positività del seno possiamo mettere un valore assoluto:

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot | \sin \theta | $$

In questo intervallo di angoli siamo infatti che certi che il valore del seno risulta positivo.

 dove 𝜃 è l’angolo compreso tra i due vettori.

Il verso entrante o uscente del prodotto vettoriale è stabilito dalla famosa regola della mano destra.

Secondo questa regola mettiamo

•  il primo vettore sul pollice
•  il secondo vettore sull’indice

A questo punto il verso è stabilito dal dito medio che pieghiamo di modo che risulti essere perpendicolare ai primi due

COMPONENTI DEL PRODOTTO VETTORIALE

Le tre componenti del prodotto vettoriale sono :

$$ v \times w = v \land w = \begin{pmatrix} v_y \cdot w_z – v_z \cdot w \\ v_z \cdot w_x – v_x \cdot z \\ v_x \cdot w_y – v_y \cdot w_x \end{pmatrix} $$

Ricordiamo ancora a tal proposito che i vettori di partenza sono:

$$ v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} w_x\\w_y\\w_z \end{pmatrix} $$

Una regola che è un po’ difficile da  imparare a memoria.

Ma se la volete proprio imparare vi do tre dritte.

La prima è che in ogni componente che una struttura del tipo:

$$ v_a \cdot w_b -v_b \cdot w_a $$

Dunque abbiamo sempre prima la v e poi la w e dopo la differenza si invertono gli indici: prima a-b  poi b-a.

La seconda è nota che nella prima componente di x del prodotto non ci sono le componenti di x, ovvero compaiono solo la y e la z.

Nella seconda componente relativa alla y mancano le componenti in y e vi sono la z e la x.

Allo stesso modo nella componente z mancano le z e ci sono le x e le y.

La terza indicazione è relativa all’ordine di scrittura, ovvero la domanda è: se stiamo facendo la prima componente x del prodotto, appurato che ci sono la y e la z, quale metto per prima?

Vi consiglio a pensare a questo ciclo infinito xyz

$$ xyz-xyz-xyz-\cdots $$

Se stiamo facendo la x del prodotto cancelliamo la x (rosso) ed in ordine ci restano y e z (blue)

$$ \color{red}{x} \color{blue}{yz}-xyz-xyz-\cdots $$

Quando poi ci spostiamo sulla y del prodotto in ordine abbiamo prima la z e poi la y

$$ x\color{red}{y} \color{blue}{z-x}yz-xyz-\cdots $$

In modo analogo quando compiliamo la terza componente z cancelliamo la z ed in ordine rimangono la x e la y

$$ xy \color{red}{z}- \color{blue}{xy}z-xyz-\cdots $$

Possiamo dunque pesare ad una ruota xyz.

CALCOLO DEL PRODOTTO VETTORIALE CON IL DETERMINANTE

Se invece scarseggia la memoria (come nel mio caso) ed aumenta la parte logica e di ragionamento potete pensare al vettore prodotto come il determinate della matrice:

$$ A = \begin{pmatrix} e_3 & v & w \end{pmatrix}$$

Dove e3 è un vettore composto dai tre versori fondamentali di R³:

$$ e_3 = \begin{pmatrix} i\\j\\k \end{pmatrix} \quad \text{con}\ i= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \quad j= \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \quad k= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$

Mentre v e w sono i vettori di partenza

$$ v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} w_x\\w_y\\w_z \end{pmatrix} $$

Dunque dobbiamo calcolare il determinate della matrice A:

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} i&v_x&w_x \\ j&v_y&w_y \\ k&v_z&w_z \end{array} \right| $$

Applicando la regola di Laplace otteniamo:

$$ \begin{array}{l} \det A &= i ( v_y \cdot w_z – v_z \cdot w_y) – j (v_x \cdot w_z – v_z \cdot w_x) +k (v_x \cdot w_y -v_y \cdot w_x ) \\ &= i ( v_y \cdot w_z – v_z \cdot w_y) + j (v_z \cdot w_x – v_x \cdot w_z) +k (v_x \cdot w_y -v_y \cdot w_x ) \\ &= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ( v_y \cdot w_z – v_z \cdot w_y) – \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} (v_x \cdot w_z – v_z \cdot w_x) + \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} (v_x \cdot w_y -v_y \cdot w_x ) \\ &= \begin{pmatrix} v_y \cdot w_z – v_z \cdot w \\ v_z \cdot w_x – v_x \cdot z \\ v_x \cdot w_y – v_y \cdot w_x \end{pmatrix} \end{array} $$

Il determinante di A è proprio il nostro prodotto vettoriale:

$$ v \times w = v \land w = \begin{pmatrix} v_y \cdot w_z – v_z \cdot w \\ v_z \cdot w_x – v_x \cdot z \\ v_x \cdot w_y – v_y \cdot w_x \end{pmatrix} $$

Per approfondire questo tema con esempi numerici leggi l’articolo sul prodotto scalare e vettoriale.

PRODOTTO VETTORIALE – ESEMPIO UNO

Cominciamo con il considerare due vettori di R³ molto semplici paralleli agli assi x e y dunque perpendicolari tra di loro

$$ v= \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \quad w=\begin{pmatrix}0\\3\\0 \end{pmatrix} $$

 che sono facilmente rappresentabili nello spazio tridimensionale

I moduli dei due vettori v e w  sono rispettivamente:

$$ |v|=2 \quad |w|=3 $$

Sappiamo già che l’angolo che essi formano è di 90 gradi.

Inoltre per la regola della mano destra (vettore v sul pollice e vettore w sull’indice) siamo sicuri piegando il dito medio che il prodotto vettoriale risulta uscente

Il modulo del prodotto vettoriale è dato dalla formula

$$ |v \times w| = |v| \cdot |w| \cdot \sin \theta $$

Inserendo i dato abbiamo che:

$$ |v \times w| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^o = 6 $$

In conclusione potremmo affermare che il prodotto vettoriale assume il suo massimo valore quando l’angolo compreso tra i vettori è retto ovvero quando i vettori sono perpendicolari

Questo dal momento che in questo angolo la funzione seno tocca il suo massimo valore nell’angolo di 90^o.

Dunque quando i vettori sono perpendicolari il modulo è semplicemente il prodotto delle norme dei vettori:

$$ v \perp w \to |v \times w| = |v| \cdot |w| $$

Nel nostro caso specifico:

$$ |v \times w| =2 \cdot 3 = 6 $$

Per determinare le componenti del prodotto vettoriale dei vettori in questione

$$ v= \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}0\\3\\0 \end{pmatrix} $$

possiamo applicare la regola:

$$ v \times w = v \land w = \begin{pmatrix} v_y \cdot w_z – v_z \cdot w \\ v_z \cdot w_x – v_x \cdot z \\ v_x \cdot w_y – v_y \cdot w_x \end{pmatrix} $$

Oppure semplicemente facendo un vettore che risulta perpendicolare all’asse delle z di terza componente il modulo del vettore:

$$ v \times w = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} $$

Rappresentiamolo nella figura

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

PRODOTTO VETTORIALE – ESEMPIO DUE

Prendiamo a riferimento i vettori

$$ v= \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1\\2\\-1 \end{pmatrix} $$

 rappresentati qui sotto

Calcoliamo le norma dei vettori:

$$ \begin{array}{l} |v| &=& \sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |w| &=& \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{6} \end{array} $$

Per determinare l’angolo compreso tra i vettori ci serviamo della formula del prodotto scalare

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{v \cdot w}{|v| \cdot |w|} \right) $$

Il prodotto scalare tra i due vettori in questione è pari a :

$$ v \cdot w = 2 \cdot 1 +(-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = -3 $$

Dunque l’angolo compreso risulta:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} \right) \approx 109,11^o $$

Il modulo del prodotto vettoriale risulta dalla formula:

$$ |v \times w| = |v| \cdot |w| \cdot \sin \theta \\ \ \\ |v \times w| = \sqrt{14} \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 109,11^o \approx 8,66 $$

Per determinare le componenti del prodotto vettoriale usiamo la formula:

$$ v \times w = v \land w = \begin{pmatrix} v_y \cdot w_z – v_z \cdot w \\ v_z \cdot w_x – v_x \cdot z \\ v_x \cdot w_y – v_y \cdot w_x \end{pmatrix} $$

Inseriamo nuovamente le coordinate dei vettori con il calcolo al di sotto

$$ v= \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1\\2\\-1 \end{pmatrix} \\ \ \\ v \times w = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) -3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 -2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 -(-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\5\\5 \end{pmatrix} $$

In alternativa possiamo calcolare il determinante della matrice A dove mettiamo sulla prima colonna i versori fondamentali di R3 e nelle altre due colonne i vettori v e w

$$ A = \begin{pmatrix} i&2&1 \\ j&-1&2 \\ k&3&-1 \end{pmatrix} \det A = \left| \begin{array}{c} i&2&1 \\ j&-1&2 \\ k&3&-1 \end{array} \right| $$

Applichiamo la regola di Laplace per il calcolo del determinante:

$$ \begin{array}{l} \det A &= i \cdot \left| \begin{array}{c} -1&2 \\ 3&-1\end{array} \right| -j \cdot \left| \begin{array}{c} 2&1 \\ 3$-1 \end{array} \right| + k \cdot \left| \begin{array}{c} 2&1 \\ -1&2 \end{array} \right| \\ \ \\ &= -5i +5j+5k \end{array}$$

Essendo i, j, k i tre versori fondamentali di R³:

$$ i= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \quad j= \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \quad k= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$

 il calcolo diventa:

$$ v \times w = \det A = -5 \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +5 \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}+5 \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\5\\5 \end{pmatrix} = -5\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} $$

IL MODULO DEL PRODOTO VETTORIALE

Il modulo del prodotto vettoriale viene calcolato come il prodotto delle norme dei vettori per il seno (in valore assoluto) dell’angolo compreso.

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot | \sin \theta | $$

Dal punto di vista geometrico questo valore indica l’area del parallelogrammo generato dai vettori v e w.

Osserviamo infatti la figura sotto

La formula per il calcolo dell’area di un parallelogrammo è :

$$ A = \text{base} \cdot \text{altezza} $$

In questo caso:

$$ \text{base} = |v| \quad , \quad \text{altezza} = |w| \cdot | \sin \theta | $$

Dunque l’area del nostro parallelogrammo che è pari al modulo del prodotto vettoriale e risulta pari a:

$$ A = | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot | \sin \theta | $$

Il valore assoluto messo sul seno indica che tra i due angoli possono anche formarsi angoli maggiori di 180^o oppure minori di 0^o.

Per questi valori ricordiamo che il seno è negativo.

RELAZIONE TRA PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE

Evidenziamo ora una interessante relazione che lega il prodotto scalare a quello vettoriale.

Ricordiamo che questa relazione vale solo quando il vettore ha tre dimensioni, cioè nello spazio.

Questo proprio per il fatto che il prodotto vettoriale è ammissibile con due vettori di R³.

Considerando due vettori dello spazio tridimensionale

$$ v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} w_x\\w_y\\w_z \end{pmatrix} $$

 il prodotto scalare è dato dalla formula:

$$ v \cdot w = \sum v_i \cdot w_i = v_x \cdot w_x + v_y \cdot w_y + v_z \cdot w_z $$

Il suo valore è individuato dal prodotto delle norme dei vettori per il coseno dell’angolo compreso:

$$ v \cdot w = |v| \cdot |w| \cdot \cos \theta $$

Il modulo del prodotto vettoriale è dato dal prodotto delle norme per il seno dell’angolo compreso (in valore assoluto).

$$ | v \times w | = |v| \cdot |w| \cdot | \sin \theta | $$

Ricordiamo che il modulo posto sul seno serve a garantirne la positività dal momento che la norma è una quantità geometrica.

Individuammo perciò una relazione pitagorica esistente tra il prodotto scalare, il prodotto vettoriale è il prodotto tra le norme

Affinché il risulto sia geometricamente corretto imponiamo anche la positività del prodotto scalare, dunque lo mettiamo in valore assoluto:

$$ | v \cdot w| = |v| \cdot |w| \cdot | \cos \theta | $$

Il prodotto delle norme è l’ipotenusa del triangolo rettangolo

Mentre la norma del prodotto vettoriale e il valore assoluto del prodotto scalare sono i due vettori

Possiamo facilmente verificare questa relazione:

$$ \left( |v| \cdot |w| \right)^2 = \left ( |v| \cdot |w| \cdot | \cos \theta | \right)^2 + \left( |v| \cdot |w| \cdot | \sin \theta | \right)^2 $$

Dividiamo entrambi i termini per il quadrato del prodotto delle norme e ci resta la relazione pitagorica

$$ 1 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta $$

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