EQUAZIONI IRRAZIONALI – FORMA BASE

Le equazioni irrazionali sono equazioni in cui l’incognita x compare sotto il simbolo della radice.

La forma base dell’equazione irrazionale è:

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

Il lato di sinistra indica una funzione radice, mentre sul lato destro una costante (numero reale).

Il metodo puramente algebrico per trovare le soluzioni implica l’elevamento alla potenza  n sia del lato destro che di quello sinistro, di modo da mandare via la radice e trovare la x.

$$ \sqrt[n]{x} = k \to \color{red}{( \color{black}{ \sqrt[n]{x}} )^n \color{black}{=} \color{black}{k}^n} \to x= k^n $$

Tuttavia l’esistenza di tale soluzione dipende dal valore di k nel caso in cui n è pari.

In questa situazione la soluzione è vera solamente se k non è negativo.

$$ \sqrt[n]{x} = k \to \begin{cases} \text{ $n$ pari } &\to & \begin{cases} k &>& 0 \to x= k^n \\ k &=& 0 \to x= 0 \\ k &<& 0 \to \text{ impossibile} \end{cases} \\ \ \\ \text{ $n$ pari } &\to & x= k^n \end{cases} $$

L’esempio più utilizzato è quando n=2 e abbiamo una radice quadrata.

Graficamente possiamo vederla in questo modo:

Quando l’indice è dispari (ad esempio 3) non ci sono problemi e la soluzione è sempre:

$$ x= k^n $$

Oltre al caso base nell’articolo di oggi sulle equazioni irrazionali parleremo anche della forma base ampliata:

$$ \sqrt[n]{f(x)} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

 e del caso più generale di questa forma:

$$ \sqrt[n]{f(x)} = k(x) $$

 nella quale sul lato destro compare una funzione in x.

Andremo poi ad accennare di un caso risolubile per sostituzione e di un caso ancora più generale.

LA FORMA BASE DELLE EQUAZIONI IRRAZIONALI

La forma base per le equazioni irrazionali si presenta nella forma:

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

Come detto qui sopra dovremo seguire lo schema sulla base dell’indice n pari o dispari.

$$ \sqrt[n]{x} = k \to \begin{cases} \text{ $n$ pari } &\to & \begin{cases} k &>& 0 \to x= k^n \\ k &=& 0 \to x= 0 \\ k &<& 0 \to \text{ impossibile} \end{cases} \\ \ \\ \text{ $n$ pari } &\to & x= k^n \end{cases} $$

IL CASO DELL’INDICE PARI:  RADICE QUADRATA DI X = COSTANTE

Il caso certamente più complesso è quello in cui è presente l’indice pari (il più utilizzato è il2 in cui parliamo di radice quadrata).

Vediamo una quaterna di esercizi dove la radice quadrata di x è uguagliata ad una costante positiva:

ESEMPIO 1 – EQUAZIONI IRRAZIONALI (n=2)

$$ \sqrt{x}= 0 \quad \sqrt{x}= 1 \quad \sqrt{x}= 2 \quad \sqrt{x}= 3 $$

In tutti questi casi basterà elevare alla seconda a destra e sinistra per trovare la soluzione che è il quadrato della costante:

$$ \sqrt{x}= 0 \to x= 0^2 \to x= 0 \\ \sqrt{x}= 1 \to x= 1^2 \to x= 1 \\ \sqrt{x}= 2 \to x= 2^2 \to x= 4 \\ \sqrt{x}= 3 \to x= 3^2 \to x= 9 $$

Dal punto di vista grafico vediamo queste soluzioni sull’asse delle x in corrispondenza dell’intersezione tra la funzione radice e le rette costanti.

Nulla chiaramente vieta che ci possono essere delle costanti positive più grandi, come ad esempio:

$$ $$ \begin{array}{ccccc} \sqrt{x}= 100 &\to& x= 100^2 &\to& x= 10.000 \\ \sqrt{x}= 12.786 &\to& x= 12.786^2 &\to& x= 148.498.596 \end{array}$$

Oppure che le costanti possano essere delle frazioni:

$$ \sqrt{x}= \frac{2}{5} \to x= \left( \frac{2}{5} \right)^2 \to x= \frac{4}{25} \\ \sqrt{x}= \frac{3}{7} \to x= \left( \frac{3}{7} \right)^2 \to x= \frac{9}{49}$$

Oppure ancora dei numeri irrazionali

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt{x}= \sqrt{2} & \to & x= \left( \sqrt{2} \right)^2 & \to & x= 2 \\ \sqrt{x}= \pi & \to & x= \pi^2 \approx 9,869 \\ \sqrt{x}= \varphi \approx 1,61803 & \to & x= \varphi^2 \approx 2,61803 \end{array} $$

Il caso della radice quadrata con esponente pari a 2 può essere esteso a tutti i radicali con n pari

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[4]{x} = 0 & \to & x= 0^4 & \to & x =0 \\ \sqrt[6]{x} = 1 & \to & x= 1^6 & \to & x = 1 \\ \sqrt[8]{x} = 2 & \to & x= 2^8 & \to & x =256 \\ \sqrt[10]{x} = 3 & \to & x= 3^{10} & \to & x = 59.049 \end{array} $$

ESEMPIO 2

Quando però la radice quadrata di x è eguagliata ad un numero negativo l’equazione è impossibile nei numeri reali.

Vediamo questa situazione nel seguente esempio di terna di esercizi:

$$ \sqrt{x} = -1 \quad \sqrt{x} = -2 \quad \sqrt{x} = -2 $$

In questi casi non ci sono dubbi e l’equazione risulta impossibile!

$$ \begin{array}{ccc} \sqrt{x} = -1 &\to& \text{ impossibile o $ \not \exists x \in \mathbb{R}$ o $ x \not \in \mathbb{R}$ o $\emptyset$} \\ \sqrt{x} = -2 &\to& \text{ impossibile o $ \not \exists x \in \mathbb{R}$ o $ x \not \in \mathbb{R}$ o $\emptyset$} \\ \sqrt{x} = -3 &\to& \text{ impossibile o $ \not \exists x \in \mathbb{R}$ o $ x \not \in \mathbb{R}$ o $\emptyset$} \end {array} $$

Per chi non avesse dimestichezza con le scritture matematiche chiarisco i significatiletterali delle scritture

$$ \begin{array}{ccc} \not \exists x \in \mathbb{R} &:& \ \text{ non esite $x$ appartenente all’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$} \\ x \not \in \mathbb{R} &:& \ \text{ $x$ non appartiene all’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$} \\ \emptyset &:& \ \text{ la soluzione è un insieme vuoto } \end{array} $$

Dal punto di vista grafico l’assenza delle soluzioni sta nel fatto che la radice quadrata di x non interseca le rette costanti negative:

IL CASO DELL’INDICE DISPARI:  RADICE CUBICA DI X = COSTANTE

Quando l’indice del radicale è dispari non ci sono problemi di segno.

Per risolvere l’equazione irrazionale basta semplicemente elevare alla potenza n sia a destra che a sinistra.

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con $n$ dispari}\ \to x = k^n $$

Vediamo alcuni esempi che riguardano l’esponente dispari maggiormente utilizzato, ovvero il 3:

ESEMPIO 3- EQUAZIONI IRRAZIONALI (n=3)

$$ \sqrt[3]{x} = 0 \quad \sqrt[3]{x} = 1 \quad \sqrt[3]{x} = 2 \quad \sqrt[3]{x} = 3 \quad \sqrt[3]{x} = -1\quad \sqrt[3]{x} = -2 $$

Per risolvere queste equazioni irrazionali basta semplicemente elevare al cubo entrambi i membri.

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[3]{x} =0 & \to & x = 0^3 & \to & x = 0 \\ \sqrt[3]{x} = 1 & \to & x = 1^3 & \to & x =1 \\ \sqrt[3]{x} = 2 & \to & x =2 ^3 & \to & x = 8 \\ \sqrt[3]{x} = 3 & \to & x =3 ^3 & \to & x = 27 \\ \sqrt[3]{x} =-1 & \to & x =(-1) ^3 & \to & x = -1 \\ \sqrt[3]{x} =-2 & \to & x =(-2) ^3 & \to & x = -8 \end{array} $$

Graficamente le soluzioni delle equazioni sono rappresentato delle proiezioni sull’asse delle x dei punti di intersezione tra la funzione radice e la retta costante.

Chiaramente il ragionamento si estende anche a costanti positive più grandi, come ad esempio:

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[3]{x} =100 & \to & x = 100^3 & \to & x = 10.000 \\ \sqrt[3]{x} = 12.786 & \to & x = 12.786^3 & \to & x \approx 2,09 \cdot 10^{12} \end{array} $$

Oppure che le costanti possano essere delle frazioni:

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[3]{x} = \frac{2}{5} & \to & x = \left( \frac{2}{5} \right)^3 & \to & x = \frac{8}{125} \\ \sqrt[3]{x} = – \frac{3}{7} & \to & x = \left( – \frac{3}{7} \right)^3 & \to & x =\ – \frac{27}{343} \end{array} $$

Oppure ancora dei numeri irrazionali

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[3]{x}= \sqrt[3]{2} & \to & x= \left( \sqrt[3]{2} \right)^3 & \to & x= 2 \\ \sqrt[3]{x}= \pi & \to & x= \pi^3 \approx 31,006 \\ \sqrt[3]{x}= \varphi \approx 1,61803 & \to & x= \varphi^3 \approx 4,236 \end{array} $$

Il caso della radice cubica con esponente pari a 3 può essere esteso a tutti i radicali con n dispari

$$ \begin{array}{ccccc} \sqrt[3]{x} = 0 & \to & x = 0^5 & \to & x = 0 \\ \sqrt[5]{x} = 1 & \to & x = 1^5 & \to & x = 1 \\ \sqrt[9]{x} = 2 & \to & x = 2^9 & \to & x = 512 \\ \sqrt[11]{x} = -3 & \to & x = (-3)^11 & \to & x = 177.147 \end{array} $$

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AMPLIAMENTO DELLA FORMA BASE DELLE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Tutto quello che abbiamo detto riguardo alla forma base delle equazioni irrazionali:

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

 può essere ampliato per il caso più generale:

$$ \sqrt[n]{f(x)} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

L’unica cosa che cambia rispetto a prima è che l’argomento del radicale è una funzione in x(f(x)).

Vediamo qualche esempio con il caso n pari e con il caso n dispari.

ESEMPI CON L’INDICE PARI

Vediamo ora degli esempi per il caso ampliato delle equazioni irrazionali quando l’indice è pari ed in particolare pari a 2.

Il metodo che utilizziamo è quello in cui per comodità andiamo a sostituire una t al posto di f(x) di modo da ricondurre il tutto alla forma base:

$$ \sqrt{t} = k $$

Di modo da applicare le regole viste in precedenza:

$$ \sqrt{t} = k \to \begin{cases} k>0 & \to & t = k^2 \\ k>0 & \to & t = 0 \\ k<0 & \to & \text{impossibile} \end{cases} $$

Nel caso di k maggiore o uguale a zero si risolverà dunque l’equazione del tipo:

$$ f(x) = k^2 $$

Mentre risulta impossibile in x nel caso di k negativo.

ESEMPIO 1

$$ \sqrt{x+3} = 1 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali:

$$ \sqrt{t} = 1 $4

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 1 \to t = 1$4

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t e risolviamo ora una banale equazione di primo grado:

$$ x+3 = 1 \to x= -2 $$

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale al posto della x il valore trovato per verificare l’identità:

$$ \sqrt{x+3} = 1 \overset{x=-2}{\longrightarrow} \sqrt{-2+3} = 1 \to \sqrt{1} = 1 \to \text{vero!}$$

ESEMPIO 2

$$ \sqrt{x^2+x+4} = 1 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali che risolviamo.

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 2 \to t = 4$$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ x^2+x+4 = 4 \to x^2+x = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado del tipo spuria, che possiamo risolvere mediante un raccoglimento a fattor comune, poi applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni:

$$ x(x+1) = 0 \to x = 0 \lor x = -1 $$

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale al posto della x i valori trovati:

$$ \begin{array}{ccccccc} x=0 &\to& \sqrt{0^2 +0+4} = 2 &\to& \sqrt{4} = 2 &\to& \text{vero! } \\ x=-1 &\to& \sqrt{(-1)^2 +(-1)+4} = 2 &\to& \sqrt{4} = 2 &\to& \text{vero! } \end{array} $$

ESEMPIO 3 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{3x^3-6x^2 +x+7} = 3 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali.

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 3 \to t = 9 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ 3x^3-6x^2 +x+7 = 9 \to 3x^3-6x^2 +x-2 =0 $$

Si tratta di un’equazione di terzo grado , che possiamo riso-vere mediante un raccoglimento parziale

$$ 3x^2 (x-2) +1 (x-2) = 0 \to (x-2) ( 3x^2+1) = 0 \to x=2$$

Notiamo che l’equazione ammette una sola soluzione.

Applicando la legge di annullamento del prodotto Infatti solo il primo fattore di primo grado (x-2) si annulla, mentre il secondo risulta sempre positivo in quanto è una somma di quadrati.

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale  al posto della x i valori trovati:

$$ x = 2 \to \sqrt{3 \cdot 2^3 – 6 \cdot 2^2 +2+7} = 3 \to \sqrt{9} = 3 \to \text{ vero!}

ESEMPIO 4

$$ \sqrt{4x^2+7} = 4 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali.

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 4 \to t= 16 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ 4x^2 +7 = 16 \to 4x^2-9 = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado del tipo pura, che possiamo risolvere mediante una differenza di quadrati.

Applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni:

$$ (2x+3)(2x-3) = 0 \to x = \pm \frac{3}{2} $$

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale:

$$ \sqrt{4x^2+7} = 4 $$

 al posto della x i valori trovati:

$$ x= \pm \frac{3}{2} \to \sqrt{ 4 \cdot \left( \pm \frac{3}{2} \right)^2 +7} = 4 \to \sqrt{16}= 4 \to \text{ vero!} $$

ESEMPIO 5

$$ \sqrt{x^2-x-1} = \sqrt{5} $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali:

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{5} = \sqrt{5} \to t = 5 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ x^2-x-1 = 5 \to x^2-x-6 = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado , che possiamo risolvere mediante la scomposizione del trinomio speciale di secondo grado (caratteristico)

Applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni:

$$ (x-3)(x+2)= 0 \to x = 3 \lor x = -2 $$

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale:

$$ \sqrt{x^2-x-1} = \sqrt{5} $$

 al posto della x i valori trovati:

$$ \begin{array}{ccccccc} x=3 &\to& \sqrt{3^2 -3-1} = \sqrt{5} &\to& \sqrt{5} = \sqrt{5} &\to& \text{vero! } \\ x=-2 &\to& \sqrt{(-2)^2 -(-2)-1} = \sqrt{5} &\to& \sqrt{5} = \sqrt{5} &\to& \text{vero! } \end{array} $$

ESEMPIO 6 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{x^2+4x+8} = 2 $$

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 2 \to t = 4 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ x^2+4x+8 = 4 \to x^2+4x+4 = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado , che possiamo risolvere mediante la scomposizione del quadrato di binomio.

Applichiamo quindi la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni:

$$ (x+2)^2=0 \to x+2 =0 \to x = -2 $$

Per verificare che la soluzione è corretta basta sostituire nell’equazione iniziale  al posto della x il valore trovato:

$$ x = -2 \to \sqrt{(-2)^2 + 4 \cdot (-2) +8} = 2 \to \sqrt{4} = 2 \to \text{vero!} $$

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ESEMPIO 7

$$ \sqrt{\frac{1}{x}} = 5 $$

Adottiamo la stessa strategia di sostituzione:

$$ \sqrt{t} = 5 \to t= 25 \to \frac{1}{x} = 25 \to x = \frac{1}{25} $$

 Per verificare la ontà della soluzione sostituiamo nell’equazione di partenza al posto della x il valore trovati:

$$ x = \frac{1}{25} \to \sqrt{ \frac{1}{ \frac{1}{25}}} = 5 \to \text{vero!} $$

ESEMPIO 8

$$ \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}} = 1 $$

Riconduciamo l’espressione alla forma base delle irrazionali:

$$ \sqrt{t} = \to t= 1 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = 1 $$

Si tratta di un’equazione fratta , che possiamo risolvere con la procedura standard, ovvero prima spostiamo tutto a sinistra scomponendo i denominatori (che in questo caso sono già scomposti)

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} – 1 =0 $$

Ora facciamo il denominatore comune e sommiamo le frazioni:

$$ \frac{x+1+x-x(x+1)}{x(x+1)} = 0 $$

Svolgiamo i calcoli al numeratore:

$$ 2x+1-x^2-x = -x^2+x+1 $4

Riscriviamo la frazione:

$$ \frac{-x^2+x+1}{x(x+1)} = 0 $$

Imponiamo le condizioni di esistenza, applicando la legge di annullamento del prodotto sui fattori al denominatore:

$$ \text{CE : } x \ne 0 \land x \ne -1 $$

Troviamo la soluzione imponendo il numeratore uguale a zero:

$$ -x^2+x+1 = \to x^2-x-1 = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado che possiamo risolvere con la formula risolutiva, controllando prima il delta:

$$ \Delta = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \to x_{1,2} = \frac{ 1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Che sono entrambe accettabili.

ESEMPIO 9

$$ \sqrt{e^x-1} = 1 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali:

$$ \sqrt{t} = 1 \to t = 1 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t, in modo da ottenere un’equazione esponenziale, che possiamo risolvere con i logaritmi:

$$ e^x-1 = 1 \to e^x = 2 \to x= \ln 2$$

ESEMPIO 10

$$ \sqrt{ \ln x -1} = 2 $$

Possiamo ricondurre l’espressione alla forma base delle irrazionali.

Dal momento che la costante è positiva esiste certamente la soluzione in t, che si ottiene elevando entrambi i membri alla seconda:

$$ \sqrt{t} = 2 \to t = 4 $$

A questo punto risostituiamo i valori in x al posto della t: otteniamo un’equazione logaritmica, che possiamo risolvere con gli esponenziali:

$$ \ln x -1 = 4 \to \ln x = 5 \to x = e^5 $$

ESEMPI DI EQUAZIONI IRRAZIONALI IMPOSSIBILI

Chiaramente se la costante a destra di uno dei casi appena visti fosse negativa ci troveremmo di fronte ad equazioni impossibili!

Ne cito alcuni esempi:

$$ \begin{array}{cccccc} \sqrt{x+3} = -1 & \to & \text{ impossibile} & \sqrt{x^2+x+4} = -2 & \to & \text{ impossibile} \\ \sqrt{3x^3-6x^2+x+7} = -3 & \to & \text{ impossibile} & \sqrt{4x^2+7} = -4 & \to & \text{ impossibile} \\ \sqrt{x^2-x-1} = -\sqrt{5} & \to & \text{ impossibile} & \sqrt{x^2+4x+8} = -2 & \to & \text{ impossibile} \\ \sqrt{\frac{1}{x}} = -5 & \to & \text{ impossibile} & \sqrt{\frac{1}{x}+ \frac{1}{1+x}} = -1 & \to & \text{ impossibile} \\ \sqrt{e^x – 1} = -1 & \to & \text{ impossibile} & \sqrt{\ln x -1} = -2 & \to & \text{ impossibile} \end{array} $$

ESEMPI CON L’INDICE DISPARI

Quando l’indice dell’equazione irrazionale è dispari non ci sono problemi di segno nell’elevamento alla potenza.

Se ci troviamo di fronte  all’equazione:

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con $n$ dispari e } k\in \mathbb{R} $$

Andiamo ad elevare alla potenza n entrami i membri e ripartire dall’equazione:

$$ f(x) = k^n $$

E poi risolviamo questa in base al tipo di equazione a cui ci troviamo di fronte.

Qui facciamo solo un paio di esempi:

ESEMPIO 1 – EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE DISPARI

$$ \sqrt[3]{\frac{1}{x+1}} = 2 $$

Eleviamo entrambi i termini al cubo:

$$ \sqrt[3]{\frac{1}{x+1}} = 2 \to \frac{1}{x+1} = 8$$

Moltiplichiamo ambo i lati per (x+1) e risolviamo l’equazione di primo grado:

$$ 1 = 8(x+1) \to 8x+8 = 1 \to 8x= -7 \to x =\ – \frac{7}{8} $$

ESEMPIO 2

$$ \sqrt[3]{\sqrt{x} -2} = -1 $$

Eleviamo entrambi i termini al cubo ottenendo un’irrazionale nella forma base:

$$ \sqrt{x} -3 = -2 \to \sqrt{x} = 2 \to x = 4 $$

RISOLVERE PER SOSTITITUZIONE

In alcuni casi di equazioni irrazionali possiamo  adottare la sostituzione senza ricorrere al procedimento generale.

In tal modo riconduciamo quella equazione alla forma base dell’equazione irrazionale.

Facciamo un paio di esempi:

ESEMPIO 1

$$ 2x – \sqrt{x} – 1 = 0 $$

chiamiamo t la radice di x (sostituzione) ottenendo un’equazione di secondo grado do in t:

$$ 2x – \sqrt{x} – 1 = 0 \overset{\sqrt{x} = t}{\longrightarrow} 2t^2-t-1 =0 $$

Possiamo applicare la formula risolutiva oppure scomporre un trinomio di secondo grado:

$$ 2t^2-2t+t-1= 0 \to 2t(t-1) +1(t-1) = 0 \to (t-1)(2t+1) = 0 $$

Da cui ricaviamo le soluzioni:

$$ (t-1)(2t+1) = 0 \to t= 1 \lor t =\ -\frac{1}{2} $$

Ricordando che t è la radice quadrata di x accettiamo solamente la soluzione positiva, da cui ricaviamo la x:

$$ t = 1 \to \sqrt{x} = 1 \to x = 1 $$

Pertanto la soluzione negativa non è accettabile, mentre lavorando su quella positiva abbiamo che:

VERSO UNA PROCEDURA PIU’ GENERALE

Tutti i ragionamento sulla forma base del tipo:

$$ \sqrt[n]{x} = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N }\ \text{ e } k\in \mathbb{R} $$

Ci conducono inevitabilmente ad una forma più generale di equazione irrazionale, che tenga conto di tutti i ragionamento visti fino ad ora.

Questa forma generalizzata è:

$$ \sqrt[n]{f(x)} = k(x) $$

Dove k(x) questa volta è una funzione e non ne conosciamo in maniera precisa il segno.

Dunque è necessario che facciamo delle verifiche sul suo segno che dipende per forza dalla x.

Ovviamente questo ragionamento avviene quando l’indice n è pari.

Riporto sotto lo schema generale di analisi, che adiamo ad affrontare in questo articolo.

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k(x) \to \begin{cases} \text{$n$ pari} &\to& \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ k(x) \ge 0 \\ f(x) = \left[ k(x) \right]^n \end{cases} \\ \ \\ \text{$n$ dispari} & \to & f(x) = \left[ k(x) \right]^n \end{cases} $$

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