La scomposizione a fattor comune (detto anche raccoglimento totale) è il metodo più elementare per la scomposizione di un polinomio.
Tale metodo consiste nell’individuare un elemento comune tra tutti i termini del polinomio e successivamente raccoglierlo.
Per raccoglierlo si intende moltiplicarlo per tutto il residuo del polinomio.
Tale residuo del polinomio è lo stesso polinomio di partenza in cui ad ogni termine si elimina mediante divisione proprio il termine comune.
Detta così sembra una cosa complicata ma vediamo di capirlo più semplicemente
INDICE
DINAMICA DEL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE
Vediamo la dinamica dei passaggi per effettuare il raccoglimento a fattor comune.
Per farlo utilizziamo un polinomio di partenza molto semplificato, che potrebbe essere il nostro caso generale.
$$ ax+ay-az $$
In questo caso si tratta di un trinomio, un polinomio composto da tre termini.
Non è difficile capire che tra tutti i termini del polinomio vi è in comune la a.
Questo elemento è anche il massimo comune divisore (MCD) tra i termini del polinomio
$$ \color{red}{a}x+\color{red}{a}y-\color{red}{a}z $$
Andiamo dunque a raccogliere il fattore comune e a scrivere tutto il resto dentro una parentesi:
$$ a(x+y-z) $$
Ovviamente in mezzo vi è il simbolo di per (·).
ESEMPI DI RACCOGLIMENTI A FATTOR COMUNE
Andiamo a svolgere alcuni esempi di raccoglimento a fattor comune:
ESEMPIO 1
$$ x^4+3x^2-5x $$
Il termine comune a tutti è certamente la x, che andiamo a raccogliere:
$$ \color{blue}{x} \left( \frac{x^4}{\color{blue}{x}}+\frac{3x^2}{\color{blue}{x}}-\frac{5x}{\color{blue}{x}} \right) $$
Per facilitare la comprensione di quello che dobbiamo fare ho anche evidenziato il passaggio in blu.
Quando raccogliamo il termine comune e riscriviamo il polinomio dobbiamo dividere ogni termine del polinomio per la parte comune.
Otteniamo quindi:
$4 x(x^3+3x-5) $$
ESEMPIO 2
$$ 4x^3-10x^5 +2x^4 -6x^6 $$
Questa volta notiamo che la parte comune non è solo letterale, ma anche numerica.
Tutti i coefficienti presenti (parte numerica)
$$ 4 \quad -10 \quad 2 \quad -6 $$
Sono numeri pari, quindi divisibili per 2.
Per la parte letterale
$$ x^3 \quad x^5 \quad x^4 \quad x^6 $$
Il massimo comune divisore la potenza di x con esponente minore ovvero: x3.
Dunque la parte che raccogliamo è:
$$ 2x^3 $$
La raccogliamo e la moltiplichiamo per il polinomio diviso per essa:
$$ \color{blue}{2x^3} \left( \frac{4x^3}{\color{blue}{2x^3}} – \frac{10x^5}{\color{blue}{2x^3}} + \frac{2x^4}{\color{blue}{2x^3}} – \frac{6x^6}{\color{blue}{2x^3}} \right) $$
(chiaramente quando avete un po’ di dimestichezza saltare questo passaggio vi verrà naturale come fare colazione)
$$2x^3 (2-5x^2 +x -3x^3)$$
Se per ordine mentale volete anche riordinare il polinomio (ad esempio in maniera decrescente) potete anche scrivere:
$$ 2x^3 (-3x^3 -5^2 +x+2 )$$
ESEMPIO 3
Vediamo un terzo esempio di raccoglimento a fattor comune con più lettere nella parte letterale
$$ 15ax^2y^3 -5a^3xy^2 + 10a^2x^2y^2 -20a^2x^3y^5 $$
Concentriamoci in modo separato sui numeri ed ogni singola lettera.
Per comodità userò questa simbologia:
$$ \text{elenco } \to \text{ parte comune (massimo comune divisore} $$
Per i numeri abbiamo:
$$ 15, -5, 10, -20 \to 5 $$
Per la parte letterale:
$$ a, a^3, a^2 \to a \\ x^2, x, x^2, x^3 \to x \\ y^3, y^2, y^2, y^5 \to y^2 $$
Dunque la parte comune è:
$$ 5axy^2 $$
Andiamo ad effettuare il raccoglimento totale:
$$ \color{blue}{5axy^2} \left( \frac{15ax^2y^3}{\color{blue}{5axy^2}} – \frac{5a^3xy^2}{\color{blue}{5axy^2}} + \frac{10a^2x^2y^2}{\color{blue}{5axy^2}}- \frac{20a^2x^3y^5}{\color{blue}{5axy^2}} \right)$$
Se facciamo vedere ancora meglio i ragionamenti separati del tipo:
Numero + lettera1 (esponente1) +lettera2 (esponente2) + …
$$ 5axy^2 \left( \frac{15}{5} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} – \frac{5}{5} +\frac{a^3}{a} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y^2}{y^2} + \frac{10}{5} +\frac{a^2}{a} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y^2}{y^2} + -\frac{20}{5} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{x^3}{x} + \frac{y^5}{y^2} \right) $$
Che potremmo anche scrivere così:
$$ 5axy^2 \left( \frac{15}{5} a^{1-1} x^{2-1} y^{3-2} – \frac{5}{5} a^{3-1} x^{1-1} y^{2-2} + \frac{10}{5} a^{2-1} x^{2-1} y^{2-2} – \frac{20}{5} a^{2-1} x^{3-1} y^{5-2} \right) = \\ 5axy^2 \left( 3 a^{0} x^{1} y^{1} – 1 a^{2} x^{0} y^{0} + 2a^{1} x^{1} y^{0} – 4 a^{1} x^{2} y^{3} \right) = \\ 5axy^2 ( 3xy-a^2+2ax-3ax^2y^3) $$
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RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE CON I POLINOMI
Consideriamo bene il fatto che possiamo fare un raccoglimento a fattor comune anche quando la parte comune è un polinomio.
Se ritorniamo alla teoria generale iniziale, ovvero che:
$$ \color{red}{a}x+ \color{red}{a}y- \color{red}{a}z = \color{red}{a} (x+y-z)$$
Pensiamo che al posto del termine a vi sia ad esempio (b+c)
$$ \color{red}{(b+c)}x+ \color{red}{(b+c)}y- \color{red}{(b+c)}z $$
Il meccanismo di raccoglimento funziona esattamente allo stesso modo.
Raccogliamo la parte comune!!!
$$ \color{red}{(b+c)} (x+y-z) $$
Vediamo insieme un paio di esempi.
ESEMPIO 1
$$ 3(2x+3)xy^2 +4(2x+3)^2 x^3 y^4 $$
Facciamo l’elenco delle parti comuni separando
$$ \begin{array}{ccccc} & 3,4 & \to & 1 & \\ & (2x+3) , (2x+3)^2 & \to & (2x+3) & \\ & x, x^3 & \to & x^1=x & \\ & y^2, y^4 & \to & y^2 & \end{array} $$
Raccogliamo e semplifichiamo:
$$ xy^2 (2x+3) [ 3(2x+3)^0 x^0 y^0 + 4(2x+3)^1 x^2y^2 ] = \\ xy^2 (2x+3) [ 3 + 4x^2y^2(2x+3) ]$$
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ESEMPIO 2
Consideriamo questo secondo esempio di raccoglimento a fattor comune con i polinomi
$$ ax(x+y)^2 +2bx(x+y)+3cx(x+y)^3$$
Qui il fattor comune è subito evidente:
$$ x(x+y) $$
Andiamo dunque a raccoglierlo a fattor comune, riportante il residuo
$$ x(x+y) [a(x+y) +2b +3c(x+y)^2] $$
VERSO IL RACCOGLIMENTO PARZIALE
Da ultimo è doveroso che diciamo una cosa sul raccoglimento totale.
Per arrivare a questo step può rendersi necessario effettuare prima dei raccoglimenti parziali.
Consideriamo ad esempio il seguente caso:
$$ ax+ay +b(x+y) $$
Se tra i primi due terni raccogliamo la a a fattor comune:
$$ a(x+y) +b(x+y) $$
Adesso il testo risulta spaccato in due parti che hanno in comune il fattore polinomiale (x+y)che andiamo prontamente a raccogliere:
$$(a+b)(x+y)$$
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