EQUAZIONI IRRAZIONALI –  FORMA GENERALE

La forma generale per le equazioni irrazionali è:

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k(x) \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N} \\ \ \\ \ \\ f(x)\ \text{ è la funzione radicando } \\ n \in \mathbb{N}\ \text{ è l’indice del radicale} \\ k(x)\ \text{ è la funzione valore della radice} $$

Lo schema logico per la risoluzione dell’equazione è:

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k(x) \to \begin{cases} \text{$n$ pari} &\to& \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ k(x) \ge 0 \\ f(x) = \left[ k(x) \right]^n \end{cases} \\ \ \\ \text{$n$ dispari} & \to & f(x) = \left[ k(x) \right]^n \end{cases} $$

Tutti i ragionamenti che servono per poter comprendere questo schema provengono dalla forma base per le equazioni irrazionali:

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k \quad \text{con }\ n \in \mathbb{N} \ \text{ e }\ k\in \mathbb{R} $$

Come si può notare il metodo generale per risolvere l’equazione:

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k(x) $$

 consiste nell’elevare alla potenza n sia il termine di sinistra che quello di destra:

$$ \color{red}{\left[ \color{black}{\sqrt[n]{f(x)} }\right]^n \color{black}{=} \left[ \color{black}{k(x)}\right]^n} $$

In tal modo sul lato sinistro la radice viene eliminata e si giunge alla forma:

$$ f(x) = \left[ k(x) \right]^n $$

Come si può notare facilmente dallo schema le equazioni irrazionali che presentano una maggiore difficoltà sono quelle che presentano un indice pari.

Infatti in questo caso la soluzione generale deve rispettare due condizioni

$$ \sqrt[n]{f(x) } = k(x) \quad \text{ se $n$ è pari} \to C.E. : \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ k(x) \ge 0 \end{cases} $$

La prima di queste è detta condizione di esistenza della radice, che impone che il radicando di una radice pari debba essere non negativo

Mentre la seconda è detta anche condizione di concordanza del segno della radice.

Infatti quando abbiamo imposto che il radicando f(x) sia positivo o eguale a zero ne deduciamo che anche il segno del valore della funzione radice k(x) lo sia.

Sono esempi di equazioni irrazionali nella forma generale:

$$ \begin{array}{ccc} \sqrt{3x+1} =x+1 & \sqrt{2x+1} =x & \sqrt[4]{x^2-x-3} = x-4 \\ \sqrt{x^3+2x+1} = x^2-1 & \sqrt{x} = \frac{1}{x} & \sqrt{\frac{x-1}{x^2+1}} = x^4-5x \end{array} $$

Gli esempi più trattati di tale tipo di equazioni sono quelli con indice pari a 2 (il più trattato in assoluto) e pari a 3.

In particolare quelli con indice pari a 2 ovvero con le radici quadrate che in generale rappresentano tutte le radici con indice pari.

Mentre il caso dell’indice pari a 3 tratta delle radici cubiche, che più in generale rappresentano le radici con indice dispari.

ESEMPI DI EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE PARI A 2

Cominciamo a vedere quindi esempi che trattano di equazioni irrazionali con radicali con indice pari a 2, ovvero con radici quadrate di funzioni f(x) che si eguagliano a funzioni k(x).

ESEMPIO 1 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

Partiamo da un esempio molto semplice, ovvero quella della radice quadrata di x che si eguagli ad x.

$$ \sqrt{x} = x $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{ C.E.}: \quad \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $$

Essendo che questi due concetti sono identici e sono pari proprio all’incognita x, ci basta semplicemente scrivere:

$$ \text{ C.E.}: \quad \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \to x \ge 0$$

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione:

$$ \sqrt{x} = x \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{x}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{x})^2} \to x= x^2 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado nella sua forma incompleta spuria, che possiamo anche scrivere così:

$$ x^2-x = 0 $$

Sulla sinistra abbiamo un polinomio di secondo grado che possiamo scomporre mediante un raccoglimento a fattor comune della x:

$$ x(x-1) =0 $$

Usando ora l’annullamento del prodotto si arriva alle due soluzioni:

$$ x= 0 \lor x= 1 $$

Soluzioni che sono entrambe accettabili.

Vi faccio notare che per risolvere questo esercizio si poteva anche sfruttare la forma base delle equazioni irrazionali.

In questo caso le condizioni di esistenza non erano necessarie e bastava procedere con una sostituzione.

ESEMPIO 1 – MODO ALTERNATIVO

Ripartiamo dal testo di partenza:

$$ \sqrt{x} = x $$

Imponiamo la seguente sostituzione: chiamiamo t la dice quadrata di x, in questo modo otteniamo una equazione di secondo grado:

$$ \sqrt{x} = x \overset{\sqrt{x} = t}{\longrightarrow} t= t^2$$

Questa equazione la risolviamo con gli stessi passaggi di prima:

$$ t^2-t= 0 \to t(t-1) =0 \to t= 0 \lor t=1 $$

Ora ricordiamoci che abbiamo trovato i valori della radice quadrata di x per cui andiamo a risostituire, ricavando equazioni irrazionali elementari:

$$ t= 0 \to \sqrt{x}=0 \to x= 0 \\ t= 1 \to \sqrt{x}=1 \to x= 1 $$

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 1

Andiamo ora a vedere cosa si intende graficamente con l’equazione:

$$ \sqrt{x} = x $$

Il termine sinistro dell’equazione rappresenta la funzione radice quadrata:

$$ y = \sqrt{x} $$

Mentre sul lato destro troviamo la retta inclinata a 45 gradi passante per l’origine che è bisettrice del primo e del terzo quadrante del sistema cartesiano.

$$ y = x $$

Come si può facilmente notare dal grafico sottostante le due funzioni si intersecano l’origine (0,0) e nel punto di coordinate (1,1)

Le soluzioni dell’equazione sono le proiezioni di tali punti sull’asse delle ascisse:

$$ x = \lor x= 1 $$

Ora possiamo anche aggiungere il fatto che questi due punti sono soluzioni anche dell’equazione:

$$ x^2 = x $$

In questo caso stiamo mettendo a confronto la funzione potenza:

$$ y = x^2 $$

 sempre con la bisettrice del primo e del terzo quadrante:

$$ y = x $$

Alternativamente potremmo immaginarli anche come le soluzioni dell’equazione:

$$ x^2-x = 0 $$

In questo caso si tratta di intersecare la parabola:

$$y = x^2-x $$

Con l’asse delle x, ovvero la retta:

$$ y= 0 $$

ESEMPIO 2 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

Proseguiamo con un esempio di equazione irrazionale abbastanza simile al precedente

$$ \sqrt{x} = 2x-1 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} x\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x\ge 0 \\ x\ge \frac{1}{2} \end{cases} \to x \ge \frac{1}{2} $$

Ovvero le soluzioni sono accettabili solamente se maggiori della frazione 1/2.

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione:

$$ \sqrt{x} = 2x+1 \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{x}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{2x-1})^2} \to x= (2x-1)^2 $$

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio:

$$ x = 4x^2 -4x+1 $$

Ora spostiamo tutto sul lato destro, leggendo al contrario:

$$ 4x^2 -5x+1=0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado nella sua forma completa, pertanto possiamo calcolarne il delta e applicare la formula risolutiva:

$$ \Delta = (-5)^2 -4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 \\ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8} $$

Le due soluzioni sono:

$$ x = 1 \lor x = \frac{1}{4} $$

Attenzione che solo la prima soluzione x=1 è accettabile  !!!

Mentre la seconda x=1/4 non è accettabile poiché minore di 1/2

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 2

$$ \sqrt{x} = 2x-1 $$

Andiamo ora a vedere cosa si intende graficamente con l’equazione:

Il termine sinistro dell’equazione rappresenta la funzione radice quadrata:

$$ y = \sqrt{x} $$

Mentre sul lato destro troviamo la retta inclinata a con coefficiente angolare 2 e intercetta all’origine –1.

$$ y = 2x-1 $$

Come si può facilmente notare dal grafico sottostante le due funzioni si intersecano nel punto di coordinate (1;1)

La soluzione dell’equazione è la proiezione di tale punto sull’asse delle ascisse:

$$ x = 1 $$

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA SOLUZIONE MANCANTE

Come possiamo interpretare graficamente la soluzione non accettabile dell’equazione ???

$$ x = \frac{1}{4} \quad \text{non accettabile} $$

Riusciamo a vedere questa soluzione come il punto di intersezione tra la retta:

$$ y = 2x-1 $$

E la funzione opposta alla radice di x, ovvero:

$$ y = – \sqrt{x} $$

Possiamo vedere questi punti come le soluzioni dell’equazione di secondo grado:

$$ 4x^2 -5x+1 =0 $$

Ricordiamo che questa è stata ottenuta dopo aver elevato alla seconda entrambi i membri dell’equazione irrazionale iniziale.

Qui si tratta di trovare i punti di intersezione della parabola:

$$ y = 4x^2-5x+1 $$

Con l’asse delle x:

ESEMPIO 3 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

Proseguiamo con un esempio di equazione irrazionale abbastanza simile al precedente

$$ \sqrt{3x+1} = x+1 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 3x+1\ge 0 \\ x+1\ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x\ge – \frac{1}{3} \\ x\ge -1 \end{cases} \to x \ge – \frac{1}{3}$$

La soluzione di questo sistema di disequazioni è la nostra condizione di accettabilità per la soluzione:

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione.

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio:

$$ \sqrt{3x+1} = x+1 \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{3x+1}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{x+1})^2} \to 3x+1= (x+1)^2 $$

Sviluppiamo il quadrato di binomio e riportiamo l’equazione di secondo grado nella sua forma base:

$$ 3x+1 = x^2 +2x +1 \to x^2 -x = 0

Ora spostiamo tutto sul lato destro, leggendo al contrario:

Si tratta di un’equazione di secondo grado nella sua forma incompleta spuria.

Sulla sinistra abbiamo un polinomio di secondo grado che possiamo scomporre mediante un raccoglimento a fattor comune della x.

Applicando poi l’annullamento del prodotto si arriva alle due soluzioni:

$$ x^2 -x = 0 \to x(x-1) = 0 \to x= 0 \lor x= 1 $$

Tutte e due le soluzioni sono accettabili.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 3

Andiamo ora a vedere tre modi per interpretare graficamente  l’equazione irrazionale:

$$ \sqrt{3x+1} = x+1 $$

Il primo modo è l’intersezione tra le funzioni (irrazionale e retta)

$$ y = \sqrt{3x+1} \quad y = x+1 $$

Un secondo modo è l’intersezione  tra i quadrati di queste funzioni (retta e parabola)

$$ y = 3x+1 \quad y = (x+1) ^2 $$

Mentre il terzo modo (ultima equazione che abbiamo risolto) tra una funzione parabola e l’esse delle x:

$$ y = x^2-x \quad y = 0 $$

Ovviamente dobbiamo ricordare per il secondo e il terzo modo che le soluzioni sono accettabile se rispettano la condizione di esistenza iniziale, ovvero che:

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

ESEMPIO 4 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{5x+6} = x+2 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 5x+6 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x\ge – \frac{6}{5} \\ x\ge -2 \end{cases} \to x \ge – \frac{6}{5}$$

La soluzione di questo sistema di disequazioni è la nostra condizione di accettabilità per la soluzione:

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione:

$$ \sqrt{5x+6} = x+2 \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{5x+6}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{x+2})^2} \to 5x+6= (x+2)^2 $$

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio, poi ordiniamo l’equazione di secondo grado.

$$5x+6 = x^2+4x+4 \to x^2-x-2 = 0$$

Si tratta di un’equazione di secondo grado che possiamo risolvere applicando la formula risolutiva oppure scomponendo il polinomio di sinistra con un trinomio speciale di secondo grado da cui troviamo le soluzioni con l’annullamento del prodotto si arriva alle due soluzioni:

$$ (x-2)(x+1)=0 \to x=2 \lor x= -1 $$

Tutte e due le soluzioni sono accettabili.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 4

Andiamo ora a vedere tre modi per interpretare graficamente  l’equazione irrazionale:

$$ \sqrt{5x+6} = x+2 $$

Il primo modo è l’intersezione tra le funzioni (irrazionale e retta)

$$ y = \sqrt{5x+6} \quad y=2 $$

Un secondo modo è l’intersezione  tra i quadrati di queste funzioni (retta e parabola)

$$ y = 5x+6 \quad y = (x+2)^2 $$

Mentre il terzo modo (ultima equazione che abbiamo risolto) tra una funzione parabola e l’esse delle x:

$$ y = x^2-x-2 \quad y=0 $$

Ovviamente dobbiamo ricordare per il secondo e il terzo modo che le soluzioni sono accettabile se rispettano la condizione di esistenza iniziale, ovvero che:

ESEMPIO 5 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{2x+1} = x+2 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x\ge – \frac{1}{2} \\ x\ge -2 \end{cases} \to x \ge – \frac{1}{2}$$

La soluzione di questo sistema di disequazioni è la nostra condizione di accettabilità per la soluzione:

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione:

$$ \sqrt{2x+1} = x+2 \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{2x+1}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{x+2})^2} \to 2x+1= (x+2)^2 $$

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio, poi ordiniamo l’equazione di secondo grado.

$$2x+1 = x^2+4x+4 \to x^2+2x+3 =0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado che risulta impossibile in quanto il suo delta è negativo.

$$ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4-12 = -8 $$

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 5

Se interpretiamo graficamente le soluzioni non troviamo soluzioni tra la funzione irrazionale e la retta.

$$ y = \sqrt{2x+1} \quad y = x+2 $$

Questo si verifica anche tra la parabola e la retta.

$$ y = 2x+1 \quad y= x^2 +4x+4 $$

E neanche tra parabola e asse x

$$ y = x^2 +2x+3 \quad y= 0 $$

ESEMPIO 6 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{5-x^2} = x+3 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 5-x^2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}\\ x\ge -3 \end{cases} \to -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$$

La soluzione di questo sistema di disequazioni è la nostra condizione di accettabilità per la soluzione:

Adesso che conosciamo quali sono i valori accettabili delle nostre soluzioni procediamo elevando alla seconda entrambi i membri della nostra equazione:

$$ \sqrt{5-x^2} = x+3 \to \color{red}{ ( \color{black}{\sqrt{5-x^2}})^2 \color{black}{=} ( \color{black}{x+3})^2} \to 5-x^2= (x+3)^2 $$

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio, poi ordiniamo l’equazione di secondo grado.

$$ 5-x^2 = x^2+6x+9 \to 2x^2 +6x+4= 0 \to x^2+3x+2 = 0 $$

Si tratta di un’equazione di secondo grado che possiamo risolvere applicando la formula risolutiva oppure scomponendo il polinomio di sinistra con un trinomio speciale di secondo grado da cui troviamo le soluzioni con l’annullamento del prodotto si arriva alle due soluzioni:

$$ x^2+3x+2 = 0 \to (x+2)(x+1) = 0 \to x= -2 \lor x= -1 $$

Tutte e due le soluzioni sono accettabili.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ESEMPIO 6

Cerchiamo anche qui di dare un’interpretazione grafica all’equazione irrazionale:

$$ \sqrt{5-x^2} = x+3 $$

Come si può notare dal grafico sottostante la retta (lato destro dell’equazione)

$$ y= x+ 3 $$

Incontra in due punti distinti la funzione irrazionale:

$$ y = \sqrt{5-x^2} $$

Da notare che la funzione che abbiamo sul lato sinistro

$$ y = \sqrt{5-x^2} $$

è una semicirconferenza con centro nell’origine e raggio pari a √5, la cui equazione per esteso si ottiene elevando alla seconda entrambi i membri dell’equazione:

$$ y = \sqrt{5-x^2} \to y^2 = 5-x^2 \to x^2+y^2 = 5 $$

Mentre la funzione che si trova a destra è una retta con pendenza (coefficiente angolare) pari a 1 e intercetta all’origine pari a 3.

$$ y = x+3 $$

Si tratterebbe dunque di stabilire la posizione reciproca tra la retta e la circonferenza e di stabilire se la retta interseca la parte alta della circonferenza.

In questo caso entrambe le soluzioni cadono nella parte superiore della circonferenza.

Un terzo modo di analizzare l’equazione è tramite l’intersezione tra due parabole.

Infatti dopo il primo elevamento alla seconda dell’equazione irrazionale abbiamo ottenuto:

$$\sqrt{5-x^2} = x+3 \to 5-x^2 = (x+3)^2$$

La parabola sul lato sinistro 

$$ y = 5-x^2 $$

ha una concavità verso il basso ed è simmetrica rispetto all’asse delle y

Mentre quella sul lato destro:

$$ y = (x+3)^2 = x^2+6x+9 $$

Ha una concavità verso l’alto ed è tangente all’asse delle x nel punto di ascissa –3.

L’ultimo modo che vediamo per visualizzare graficamente l’equazione è l’intersezione tra una parabola e l’asse delle x.

Questo modo di lettura avviene quando ci troviamo nella forma:

$$ x^2+3x+2 = 0 \to \begin{cases} y= x^2+3x+2 \\ y = 0 \end{cases} $$

In questo caso le intersezione le vediamo direttamente come i punti sull’asse delle x.

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

ESEMPIO 7 – EQUAZIONI IRRAZIONALI

$$ \sqrt{x^3 +2x^2 -x -2} = x+2 $$

In questo caso dovremo mettere a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} x^3 +2x^2 -x -2 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} $$

Il problema più grosso qui risiede nella disequazione di terzo grado, di cui esplicitiamo i calcoli:

$$ x^3 +2x^2 -x -2 \ge 0 $$

Il polinomio di terzo grado può essere scomposto mediante un raccoglimento a fattor parziale , per poi concludere con una differenza di quadrati:

$$ x^2 (x+2) -1( x+2) = (x+2) ( x^2-1) = (x+2)(x+1)(x-1) $$

Adesso che abbiamo scomposto tutto in fattori primi dobbiamo risolvere la disequazione fattorizzata

$$ (x+2)(x+1)(x-1) \ge 0 $$

Studiamo quindi il segno dei fattori e rappresentiamo il grafico dei segni:

La zona che ci interessa è quella in cui i fattori sono maggiori o uguali a zero

$$ -2 \le x \le -1 \lor x \ge 1 $$

Mettendo poi a sistema questa soluzione con la seconda soluzione ricaviamo la C.E. :

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} x^3 +2x^2 -x -2 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} -2 \le x \le -1 \lor x \ge 1 \\ x\ge -2 \end{cases} \to -2 \le x \le -1 \lor x \ge 1 $$

Adesso che abbiamo imposto le condizioni di esistenza possiamo finalmente risolverel’equazione irrazionale di partenza:

$$ \sqrt{x^3 +2x^2 -x -2} = x+2 $$

Eleviamo ambo i membri alla seconda:

Sul lato sinistro la radice se ne va, mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio e spostiamo a sinistra dove troviamo un’equazione di terzo grado:

$$ x^3 +2x^2 -x-2 = (x+2)^2 \\ x^3 +2x^2 -x-2 = x^2+4x-4 \\ x^3 + x^2 -5x-6 = 0 $$

Essendo un’equazione di terzo grado e supponendo di non ricordarci la formula che è veramente complessa, andiamo a vedere se l’equazione ammette soluzioni razionali.

Applichiamo dunque il procedimento di Ruffini fissando l’attenzione sul termine noto e i suoi divisori che sono:

$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 3 $$

Andando a tentativi ci rendiamo conto che il polinomio calcolato nella x=-2 vale zero.

$$ p(-2) = (-2)^2 + (-2)^2 -5 \cdot (-2) -6 = -8+4+10-6 = 0 $$

Dunque applichiamo la divisione di Ruffini:

In definitiva abbiamo ottenuto che:

$$ (x^3 +x^2 -5x-6) \div (x-(-2)) = x^2-x-3 $$

Dunque possiamo anche scrivere che:

$$ x^3 +x^2 -5x-6 = (x^2-x-3) (x+2) $$

Quindi ora risolviamo l’equazione da cui abbiamo interrotto:

$$ x^3 + x^2 -5x-6 = 0 \to (x^2-x-3) (x+2) = 0 $$

Studiando il secondo fattore uguale a zero risolviamo un’equazione di primo grado:

$$ x+2 = 0 \to x= -2 $$

Questa soluzione è accettabile per le c.e..

Mentre se studiamo il primo fattore uguale a zero troviamo un’equazione di secondo grado, dove studiamo il delta e applichiamo la formula risolutiva:

$$ x^2 -x -3 = 0 \\ \Delta = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1+12 = 13 \\ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2} $$

Soluzioni entrambe accettabili!

ESEMPIO 8 – EQUAZIONI IRRAZIONALI CON FRAZIONI 

Proseguiamo gli esempi sulle equazioni irrazionali con una frazione algebrica al radicando:

$$ \sqrt{ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1}} = \frac{x}{x^2-1} $$

Mettiamo a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} \ge 0 \\ \frac{x}{x^2-1}\ge 0 \end{cases}$$

Si tratta di risolvere due disequazioni fratte (o frazionarie).

La prima disequazione è:

$$ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} \ge 0 $$

Sul lato sinistro dobbiamo fare la somma di frazioni algebriche, perciò facciamo il denominatore comune:

$$ \frac{1 \cdot (x-1) -\ \cdot (x+1) }{(x+1)(x-1)} \ge 0 \to \frac{-2}{(x+1)(x-1)} \ge 0 $$

Il segno del numeratore è sempre negativo, mentre i fattori al denominatore sono positivi se:

$$ x+1 >0 \to x>-1 \\ x-1 >0 \to x>1 $$

Rappresentiamo ora la tabella dei segni:

La disequazione è verificata per i valori della x compresi tra –1 e +1:

$$ -1<x<1 $$

Passiamo  ora alla seconda disequazione fratta in cui scomponiamo il denominatore come una differenza di quadrati:

$$ \frac{x}{x^2-1}\ge 0 \to \frac{x}{(x+1)(x-1)} \ge 0 $$

Studiamo il segno dei tre fattori, ricordando che al numeratore mettiamo anche l’uguale mentre al denominatore no:

$$ x \ge 0 \\ x+1>0 \to x>-1 \\ x-1 >0 \to x >1 $$

Rappresentiamo ora la tabella dei segni:

La disequazione è verificata per:

$$ -1 <x \le 0 \lor x> 1 $$

Ora possiamo mettere a sistema i risultati delle disequazioni per trovare la condizione di accettabilità dell’incognita:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} \ge 0 \\ \frac{x}{x^2-1}\ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} -1 <x< 1 \\ -1 <x \le 0 \lor x> 1 \end{cases} \to -1<x \le 0$$

Adesso che conosciamo la condizione di accettabilità della x torniamo alla nostra disequazione irrazionale:

$$ \sqrt{ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1}} = \frac{x}{x^2-1} $$

 che per i calcoli visti prima possiamo anche riscrivere così:

$$ \sqrt{- \frac{2}{x^2-1} } = \frac{x}{x^2-1} $$

Eleviamo entrambi i membri alla seconda:

$$ – \frac{2}{x^2-1} = \frac{x^2}{(x^2-1)^2}$$

Si tratta ora di risolvere un’equazione fratta (o frazionaria)

Spostiamo tutto a destra facendo il denominatore comune e leggendo il testo da destra verso sinistra:

$$ \frac{x^2 + 2(x^2-1) }{(x^2-1)^2} = 0 \to \frac{3x^2-2}{(x^2-1)^2} = 0 $$

Eliminiamo il denominatore e risolviamo un’equazione pura di secondo grado:

$$ 3x^2-2 =0 \to x^2 = \frac{2}{3} \to x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} $$

La soluzione che accettiamo è quella negativa:

$$ x = – \sqrt{\frac{2}{3}} $$

ESEMPIO 9 – EQUAZIONI IRRAZIONALI CON VALORE ASSOLUTO

Vediamo un esempio di disequazione irrazionale che presenta un valore assoluto all’interno del radicando:

$$ \sqrt{|x|+1} = 2x+1 $$

Poniamo a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} |x|+1\ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} \\ x \ge – \frac{1}{2} \end{cases} \to x \ge – \frac{1}{2} $$

Da notare che la prima disequazione è sempre verificata poiché si tratta di una somma di quantità positive, che è certamente positiva, per ogni valore di x reale.

Ora torniamo alla disequazione irrazionale ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$ \sqrt{|x|+1} = 2x+1 \to |x|+1 = (2x+1)^2$$

Ricordiamo che il modulo di x vale x se x è maggiore di zero, e vale -x se x è negativo:

$$ |x| = \begin{cases} x &\text{ se}& x\ge 0 \\ -x &\text{ se}& x< 0 \end{cases}

Apriamo dunque i due casi con l’unione dei seguenti due sistemi:

$$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x+1 = (2x+1)^2 \end{cases} \cup \begin{cases} x<0 \\ -x+1 = (2x+1)^2 \end{cases} $$

Passiamo all’equazione di secondo grado del primo sistema:

$$ x+1 = 4x^2+4x+1 \to 4x^2+3x=0 \to x(4x+3)=0 \to x= 0 \lor x = -\frac{3}{4} $$

La soluzione accettabile è x=0.

Sviluppiamo adesso l’equazione di secondo grado del secondo sistema:

$$ -x+1 = 4x^2+4x+1 \to 4x^2+5x=0 \to x(4x+5)=0 \to x= 0 \lor x = -\frac{5}{4} $$

In questo caso nessuna soluzione è accettabile.

Dunque l’unica soluzione è x=0.

ESEMPIO 10 – EQUAZIONI IRRAZIONALI CON ESPONENZIALI

Vediamo un esempio di disequazione irrazionale che presenta un valore assoluto all’interno del radicando:

$$ \sqrt{3 e^x-1} = e^x+1 $$

Poniamo a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 3 e^x-1 \ge 0 \\ e^x+1 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ge – \ln 3\\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases} \to x \ge – \ln 3 $$

Da notare che si tratta di due disequazioni esponenziali.

La prima la abbiamo risolta con i logaritmi, applicando le relative proprietà

Mentre la seconda è sempre verificata poiché si tratta di una somma di quantità positive.

Ora torniamo all’equazione irrazionale iniziale:

$$ \sqrt{3 e^x-1} = e^x+1 $$

ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$ \sqrt{3 e^x-1} = e^x+1 \to 3e^x-1 = (e^x+1)^2$$

Prima di fare i calcoli andiamo ad effettuare una sostituzione ponendo e^x = t , ricavando pertanto un’equazione di secondo grado in t

$$ 3e^x-1 = (e^x+1)^2 \overset{e^x= t}{\longrightarrow} 3t-1 = (t+1)^2 \to 3t-1 = t^2+2t+1 \to t^2-t+2 =0 $$

Possiamo risolvere questa equazione di secondo grado applicando la formula oppure scomponendo il membro di sinistra come un trinomio speciale di secondo grado:

$$ t^2-t+2 =0 \to (t+2)(t-1)=0 \to t= -2 \lor t=1 $$

Dalla prima soluzione in t non ne deriva alcuna in x poichè l’esponenziale è una quantità sempre strettamente positiva:

$$ t= -2 \to e^x = -2 \to \not \exists x \in \mathbb{R} $$

Mentre dalla seconda equazione troviamo che la x vale zero:

$$ t= 1 \to e^x = 1 \to e^x = e^0 \to x = 0 $$

Da punto di vista grafico risolvere le equazioni esponenziali

$$ e^x = -2 \lor e^x = 1 $$

significa trovare le intersezioni tra la funzione esponenziale:

$$ y = e^x $$

 e le rette orizzontali

$$ y= -2 \quad y= 1 $$

ESEMPIO 11 – EQUAZIONI IRRAZIONALI CON LOGARITMI

Vediamo un esempio di disequazione irrazionale che presenta un logaritmo all’interno del radicando:

$$ \sqrt{2 \ln x -1} = \ln x $$

Poniamo a sistema le due condizioni, sul segno del radicando e della radice:

$$ \text{C.E.}: \quad \begin{cases} 2 \ln x -1 \ge 0 \\ \ln x \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ge e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \\ x \ge e^0 = 1 \end{cases} \to x \ge \sqrt{e} \approx 1,6487 $$

Da notare che si tratta di due disequazioni logaritmiche, risolta con gli esponenziali.

Ora torniamo all’equazione irrazionale iniziale ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$$ \sqrt{2 \ln x -1} = \ln x \to 2 \ln x -1 = (\ln x )^2$$

Chiamiamo il logaritmo di x uguale a t (sostituzione) e giungiamo ad una equazione di secondo grado in t:

$$ 2 \ln x -1 = (\ln x )^2 \to 2t-1 = t^2 \to t^2 -2t + 1 =0$$

Possiamo risolvere questa equazione di secondo grado applicando la formula oppure scomponendo il polinomio di sinistra come un quadrato di binomio:

Imponiamo la base del quadrato uguale a zero, e ritrasformiamo in equazione logaritmica:

$$ (t-1)=0 \to t= 1 \to \ln x = 1 \to x= e^1 = e \approx 2,7182 $$

La nostra soluzione coincide con la costante di Nepero.

Da punto di vista grafico risolvere l’equazione logaritmica: 

$$ \ln x = 1 $$

significa trovare le intersezioni tra la funzione logaritmica con una retta orizzontale

$$ y = \ln x \quad y = 1$$

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