INTRODUZIONE AI LIMITI

Nella matematica i limiti sono un argomento molto ampio e rivestono un ruolo di primo piano.

Lo studio in senso moderno dei limiti si fa risalire ad un periodo compreso tra il sedicesimo e il diciassettesimo secolo ad opera di matematici europei.

Grazie alle nuove conoscenze dei limiti si sono potuti creare i concetti di derivate e integrali che hanno cambiato per sempre la storia della matematica e la storia dell’uomo.

Verso la fine del diciassettesimo secolo matematici come Newton e Leibnitz concepirono per la prima colta il concetto di calcolo differenziale e di derivate.

Possiamo dire che grazie ai limiti sono nate tutte la matematica e le scienze moderne.

In realtà questo argomento ha accompagnato l’uomo sin dalla nascita delle grandi civiltà.

Ad esempio già nell’antica Grecia esistevano ragionamenti e problemi che riguardavano i limiti.

Ne sono esempi il metodo di esaustione di Archimede di Siracusa nel III secolo a.C., o l’ancor più antico problema  della tartaruga risalente al V secolo a.C. ad opera di Zenone di Elea.

LIMITI NELLE FUNZIONI AD UNA VARIABILE REALE

I limiti che trattiamo oggi riguardano le funzioni.

Le più semplici nozioni dei limiti li troviamo a partire dalle funzioni più semplici ovvero quelli ad una variabile reale.

Partiamo da un caso basilare che riguarda la funzione:

Ovvero della più semplice iperbole equilatera.

Il dominio di questa funzione lo otteniamo ponendo il denominatore diverso da zero, ovvero:

$$ x \ne 0 $$

Potremo anche scriverlo come:

$$ D: (-\infty, 0) \cup (+\infty) $$

Sarebbe ora lecito chiedersi che valori assume la nostra funzione quando la $x$ si avvicina sempre di più allo zero.

Oppure ancora meglio quali valori tende ad assumere f(x) quando la x si “allontana sempre di più” andando verso l’infinito.

IL NOSTRO PRIMO LIMITE

Partiamo dal caso dello zero.

Per fare questa indagine prendiamo valori della $x$ (ad esempio positivi) che si avvicinano sempre più a zero e che quindi diventano sempre più piccoli.

Possiamo prendere ad esempio:

$$ 0,1 \quad 0,01 \quad 0,001 \quad 0,0001 \quad 0,00001 \quad $$

Insomma avete capito.

Calcoliamo ora i valori che la nostra funzione assume proprio in questi punti:

$$ \begin{array}{ccccccc} f(0,1) &=& \frac{1}{0,1} &=& \frac{1}{\frac{1}{10}} &=& 10 \\ f(0,01) &=& \frac{1}{0,01} &=& \frac{1}{\frac{1}{100}} &=& 100 \\ f(0,001) &=& \frac{1}{0,001} &=& \frac{1}{\frac{1}{1.000}} &=& 1.000 \\ f(0,0001) &=& \frac{1}{0,0001} &=& \frac{1}{\frac{1}{10.000}} &=& 10.000 \\ f(0,00001) &=& \frac{1}{0,00001} &=& \frac{1}{\frac{1}{100.000}} &=& 100.000 \end{array} $$

Come possiamo notare i valori della funzione al tendere verso lo zero (dalla parte positiva) diventano sempre più grandi.

Ma quanto più grandi?

Per ogni zero che aggiungiamo alla x (la dividiamo per 10) il valore della funzione si decuplica.

Come chiamiamo questa quantità molto grande, immensa potremmo dire?

La possiamo chiamare infinito, il cui simbolo è:

$$ \infty $$

Possiamo chiaramente dare un segno a questo infinito, in questo caso diremo:

$$ +\infty $$

E come possiamo fare per definire la situazione per cui se la x si avvicina allo zero (da destra) allora il valore della funzione va ad infinito ?

I matematici si sono inventati questa scrittura:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

Questa scrittura si legge:

” limite per x che tende a zero della funzione 1/x è uguale ad infinito”.

“PICCOLE CORREZIONI” NELLA SCRITTURA DEI LIMITI

In realtà all’interno di questa scrittura mancherebbe ancora qualcosa, ovvero il fatto di segnalare che ci stiamo avvicinando allo zero dai valori che si trovano alla sua destra.

E che il segno della funzione è positivo.

Allora prontamente correggiamo questa scrittura scrivendo:

$$ \lim_{x \to 0^\color{blue}{+}} \frac{1}{x} = \color{blue}{+} \infty $$

” limite per x che tende a zero più della funzione 1/x è uguale a più infinito”.

Questa correzione risulta “quasi necessaria” dal momento che se andiamo ad investigare cosa fa la funzione quando tende allo zero dalla parte sinistra.

Seguendo lo stesso ragionamento di primo andiamo a prendere questi valori della x:

$$ -0,1 \quad -0,01 \quad -0,001 \quad -0,0001 \quad -0,00001 \quad $$

Insomma avete capito.

Calcoliamo ora i valori che la nostra funzione assume proprio in questi punti:

$$ \begin{array}{ccccccc} f(-0,1) &=& \frac{1}{-0,1} &=& \frac{1}{-\ \frac{1}{10}} &=& -10 \\ f(-0,01) &=& \frac{1}{-0,01} &=& \frac{1}{-\ \frac{1}{100}} &=& -100 \\ f(-0,001) &=& \frac{1}{-0,001} &=& \frac{1}{-\ \frac{1}{1.000}} &=& -1.000 \\ f(-0,0001) &=& \frac{1}{-0,0001} &=& \frac{1}{-\ \frac{1}{10.000}} &=& -10.000 \\ f(-0,00001) &=& \frac{1}{-0,00001} &=& \frac{1}{-\ \frac{1}{100.000}} &=& -100.000 \end{array} $$

Anche in questo caso notiamo che se facciamo “sempre più piccola” la x la funzione diventa sempre più grande ma tutto in negativo però.

Quindi vale sempre la regola generale:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

Ma la correzione che apponiamo è:

$$ \lim_{x \to 0^\color{blue}{-}} \frac{1}{x} = \color{blue}{-} \infty $$

Che possiamo leggere:

” limite per x che tende a zero meno della funzione 1/x è uguale a meno infinito”.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI LIMITI

Come possiamo visualizzare questa situazione?

Esiste un modo in cui possiamo prendere coscienza di questa scrittura guardando semplicemente un grafico.

Andiamo a prendere proprio il grafico della funzione:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Per capire cosa sta succedendo intorno allo zero.

Partiamo proprio da quello che avviene quando la x tende allo zero dalla parte destra.

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Possiamo notare dal grafico che quando scorriamo verso sinistra (sempre più lentamente) fino ad avvicinarsi di più verso lo zero, la funzione tende a “fuggire” verso il più infinito.

Potremo immaginare che se ne vada nello spazio, fino a raggiungere il paradiso, in un ipotetico mondo dantesco.

Mentre se focalizziamo la nostra attenzione a quello che succede avvicinandoci allo 0 dal lato sinistro:

In questo caso vediamo che la funzione va verso il meno infinito, quindi scende gli inferi.

IL NOSTRO SECONDO LIMITE

Continuiamo ad avventurarci alla scoperta dei limiti della funzione che abbiamo preso come riferimento:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Il cui dominio ricordiamo è:

$$ D: (-\infty,0) \cup (0,+\infty) $$

In particolare volgiamo ora la nostra attenzione su cosa succede quando la x assume valori molto grandi, ovvero tendenti verso l’infinito.

Cominciamo a muoverci verso il più infinito.

Come sempre prendiamo a riferimento dei valori molto grandi, ad esempio:

$$ 10 \quad 100 \quad 1.000 \quad 10.000 \quad 100.000 $$

$$ \begin{array}{ccccc} f(10) &=& \frac{1}{10} &=& 0,1 \\ f(100) &=& \frac{1}{100} &=& 0,01 \\ f(1.000) &=& \frac{1}{1.000} &=& 0,001 \\ f(10.000) &=& \frac{1}{10.000} &=& 0,0001 \\ f(100.000) &=& \frac{1}{100.000} &=& 0,00001 \end{array} $$

Osserviamo che a mano a mano che la nostra x diventa più grande il valore della funzione diventa più piccolo.

Decresce sempre, ma lo fa in maniera sempre più cauta.

Non è difficile notare che la quantità verso la quale sta tendendo è proprio lo zero.

Per usare una notazione matematica scriviamo che:

$4 lim_{x \to \infty} = 0 $$

Mettendo la solita correzione possiamo scrivere che:

$$ lim_{x \to \color{blue}{+}\infty} = 0^\color{blue}{+} $$

Graficamente possiamo vedere la situazione nel seguente modo:

Immaginiamo pure questo spostamento come il movimento di un aereo che sta per atterrare

Senza fare ulteriori sostituzioni immagino che avrete certamente capito che:

$$ lim_{x \to \color{blue}{-}\infty} = 0^\color{blue}{-} $$

Il movimento è paragonabile ad un sottomarino che risale alla superficie.

Per andare oltre queste nozioni basilari vai a vedere questi altri argomenti:

• Interpretazione grafica dei limiti
• Limiti e calcoli di forme determinate
• Le forme indeterminate su infiniti +∞-∞ e ∞/∞
• Forma indeterminate con gli zeri 0/0
• Limiti notevoli
• Rapporti incrementali e derivate

HAI QUALCHE DOMANDA SUI LIMITI?

Se hai qualche domanda che riguarda i limiti falla nei commenti qui sotto.

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