PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE X

GENERICA PARABOLA CON ASSE || ALL’ASSE X

L’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle x è:

$$ \large{x= ay^2+by+c} $$

Grazie ai parametri a, b e c è possibile calcolare le coordinate e l’e equazioni di:

• Vertice
• Fuoco
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con gli assi

Andiamo ad elencarli:

$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE}: & V\left( -\frac{\Delta}{2a}, – \frac{b}{2a} \right) & \text{con }\ \Delta= b^2-4ac \\ \text{FUOCO}: & F \left( \frac{-\Delta +1}{2a}, – \frac{b}{2a} \right) & \\ \text{DIRETTRICE}: & d:\ x= \frac{-\Delta -1}{2a} & \\ \text{ASSE DI SIMMETRIA}: & a:\ y= \frac{-b}{2a} & \\ \text{INTERS. ASSE X}: & (c,0) & \\ \text{INTERS. ASSE Y}: & \left( 0, \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \right) & \end{array} $$

In pratica sono ottenute scambiando le x con le y nell’equazione della classica parabola con asse parallelo all’asse delle y:

$$ y= ax^2+bx+c $$

STUDIO DI PARABOLE CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE X

Andiamo ora a studiare le caratteristiche di tre parabole con asse parallelo all’asse delle x:

$$ x= y^2-4 \quad x= y^2-y \quad x= y^2-y-6 $$

PRIMA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE X

La prima parabola con asse parallelo all’asse delle x è:

$$ \large{ x= y^2-4} $$

Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:

$$ a= 1 \quad b=0 \quad c=-4 $$

 e calcoliamo il valore del delta o discriminante:

$$ \Delta = b^2-4ac = 0^2-4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 $$

Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x.

VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE

Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( – \frac{16}{4 \cdot 1} , – \frac{0}{2 \cdot 1} \right) = \left( -4, 0 \right)$$

Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( \frac{-16+1}{4 \cdot 1} , – \frac{0}{2 \cdot 1} \right) = \left( -\frac{15}{4}, 0 \right)$$

Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} $$

Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} = \frac{-16-1}{4 \cdot 1} \to x = – \frac{17}{4}$$

Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:

$$ a: \quad y= – \frac{b}{2a} = – \frac{0}{2 \cdot 1} \to y= 0 $$

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

L’intersezione con l’asse delle x coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:

$$ \text{intersezione asse x} = (c,0) = (-4, 0 ) $$

Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle y, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:

$$ y^2-4= 0 $$

che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva

$$ y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \pm 2 \to (0, \pm 2) $$

Oppure ricorrendo ad una scomposizione di una differenza di quadrati e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:

$$ y^2-4= 0 \to (y+2)(y-2)= 0 \to y= \pm 2 $$

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SECONDA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE X

La seconda parabola con asse parallelo all’asse delle x è:

$$ \large{x= y^2-2y} $$

Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:

$$ a= 1 \quad b= -2 \quad c= 0 $$

 e calcoliamo il valore del delta o discriminante:

$$ \Delta = b^2-4ac = (-2)^2 – \cdot 1 \cdot 0 = 4 $$

Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:

VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE

Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( – \frac{4}{4 \cdot 1} , – \frac{-2}{2 \cdot 1} \right) = \left( -1, 1 \right)$$

Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( \frac{-4+1}{4 \cdot 1} , – \frac{-2}{2 \cdot 1} \right) = \left( -\frac{3}{4}, 1 \right)$$

Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} $$

Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} = \frac{-4-1}{4 \cdot 1} \to x = – \frac{5}{4}$$

Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:

$$ a: \quad y= – \frac{b}{2a} = – \frac{-2}{2 \cdot 1} \to y= 1 $$

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

L’intersezione con l’asse delle x coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:

$$ \text{intersezione asse x} = (c,0) = (0, 0 ) $$

Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle y, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:

$$ y^2-2y= 0 $$

che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva

$$ y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \to y= o \lor y= 2

I punti di intersezione con l’asse y sono dunque:

$$ (0,0) \quad (0,2) $$

Oppure ricorrendo ad una scomposizione a fattor comune e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:

$$ y^2-2y= 0 \to y(y-2)= 0 \to y=0 \lor y= 2 $$

TERZA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE X

La terza parabola con asse parallelo all’asse delle x è:

$$ \large{x= y^2-y-6} $$

Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:

$$ a= 1 \quad b=-2 \quad c= -6 $$

 e calcoliamo il valore del delta o discriminante:

$$ \Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1+24 = 25 $$

Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:

VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE

Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:

$$ V \left( – \frac{\Delta}{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( – \frac{25}{4 \cdot 1} , – \frac{-1}{2 \cdot 1} \right) = \left( -\frac{25}{4}, \frac{1}{2} \right)$$

Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) $$

Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:

$$ F \left( \frac{- \Delta +1 }{4a} , – \frac{b}{2a} \right) = \left( \frac{-25+1}{4 \cdot 1} , – \frac{-1}{2 \cdot 1} \right) = \left( -6, \frac{1}{2} \right)$$

Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} $$

Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:

$$ d: \quad x = \frac{- \Delta -1}{4a} = \frac{-25-1}{4 \cdot 1} \to x = – \frac{13}{2}$$

Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:

$$ a: \quad y= – \frac{b}{2a} = – \frac{-1}{2 \cdot 1} \to y= -\frac{1}{2} $$

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

L’intersezione con l’asse delle x coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:

$$ \text{inters. asse x}: \quad (c,0)= (-6, 0) $$

Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle y, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:

$$ y^2-y-6=0 $$

che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva

$$ y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \to y= -2 \lor y= 3 $$

Oppure ricorrendo alla scomposizione del trinomio speciale di secondo grado e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:

$$ y^2-y-6=0 \to (y+2)(y-3)= 0 \to y=-2 \lor y= 3 $$

Dunque i punti di intersezione con l’asse delle y sono:

$$ (0,-2) \quad (0,3) $$

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