Le retta tangente alla parabola possono essere calcolata da un punto esterno oppure da un punto appartenente alla parabola stessa
INDICE
RETTE TANGENTI ALLA PARABOLA DA UN PUNTO ESTERNO
Vediamo prima come calcolare le rette tangenti ad una parabola condotte da un punto esterno.
Consideriamo la parabola di equazione:
$$ y= ax^2+bx+c $$
ed un punto P esterno ad essa di coordinate:
$$ P(x_0, y_0) $$
Consideriamo ora il fascio di rette passanti per il punto P
$$ y-y_0 = m (x-x_0) \to y = mx-m x_0 + y_0 $$
Quello che dobbiamo fare è mettere a sistema l’equazione del fascio con la parabola.
$$ \begin{cases} y = ax^2 +bx+c \\ y = mx-m x_0 + y_0 \end{cases} $$
Dalla risoluzione del sistema si determina un’equazione di secondo grado parametrica rispetto ad m
Per trovare i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola dobbiamo porre il ∆(m)(discriminante) in funzione di m uguale a zero.
$$ \begin{cases} y = ax^2 +bx+c \\ y = mx-m x_0 + y_0 \end{cases} \to \Delta (m) = 0 $$
CALCOLI DEL SISTEMA
Per quelli più tecnici di noi riportiamo quali sono i principali passaggi da seguire nella risoluzione del sistema.
A partire dal sistema fascio-parabola:
$$ \begin{cases} y = ax^2 +bx+c \\ y = mx-m x_0 + y_0 \end{cases} $$
Andiamo a risolverlo eguagliando il valore della y della parabola a quello del fascio ottenendo:
$$ ax^2+bx+c= mx-m x_0 + y_0 $$
Riordiniamo il polinomio in x in maniera decrescente sul lato sinistro, eventualmente raccogliendo i termini simili
$$ ax^2 + (b-m)x +(c+mx_0-y_0) = 0 $$
In questo modo otteniamo un’equazione di secondo grado in x dove i vari coefficienti sono espressi in funzione del parametro m, coefficiente angolare del fascio.
Possiamo scrivere questa equazione nella forma generica:
$$ a(m) x^2 + b(m) x + c(m) = 0 $$
Andiamo ora ad imporre la condizione di tangenza tra la retta e la parabola, ovvero che il discriminante (delta) dell’equazione di secondo grado risulti pari a zero.
$$ \Delta (m) = 0 \to \left( b(m) \right)^2 – 4 a(m)\ b(m) = 0 $$
In tal modo siamo sicuri che mettendo a sistema la retta con la parabola vi sia una sola soluzione:
Da questa condizione ne deriverà una ulteriore equazione di secondo grado questa volta in funzione di m che possiamo scrivere nella forma generale:
$$ a’ m^2 + b’ m + c’ = 0 $$
Se il punto è esterno alla parabola il delta di questa equazione risulterà certamente positivo
$$ \Delta’ = (b’)^2 -4 a’c’ >0 $$
Se il punto fosse stato appartenente alla parabola il delta sarebbe nullo.
Mentre nella situazione in cui il punto fosse interno il delta risulterebbe negativo.
Possiamo dunque risolvere l’equazione di secondo grado con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
$$ m_{1,2} = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta ‘}}{2a’} $$
Per trovare le due rette tangenti andiamo dunque a sostituire tali valori di m all’interno del fascio:
$$ \begin{array}{l} t_1: & y= m_1 x -m_1 x_0 +y_0 \\ t_2: & y= m_2 x -m_2 x_0 +y_0 \end{array} $$
RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA DA UN PUNTO ESTERNO – ESEMPIO
Trova l’equazione della retta tangente alla parabola 𝛾 condotta dal punto P:
$$ \gamma:\ y= x^2+4x+6 \quad P(-4,5) $$
Cominciamo per prima cosa a rappresentare graficamente la situazione:
FASCIO DI RETTE PASSANTI PER P
Prendiamo ora in considerazione il fascio di rette passanti per il punto P:
$$ P(-4, 5) \to y-5 = m(x+4) $$
Che possiamo meglio riscrivere in questo modo esplicito:
$$ y= mx+4m+5 $$
Ora mettiamo a sistema il fascio di rette con la parabola:
$$ \begin{cases} y = x^2+4x+6 \\ y= mx+4m+5 \end{cases} $$
CALCOLI DEL SISTEMA FASCIO – PARABOLA
Ripartendo dal sistema del fascio con la parabola:
$$ \begin{cases} y = x^2+4x+6 \\ y= mx+4m+5 \end{cases} $$
Applichiamo il confronto eguagliando il valore della y della parabola a quello del fascio:
$$ x^2+4x+6 = mx+4m+5 $$
Riorganizziamo sul lato sinistro il polinomio in x dal grado maggiore, con eventuali raccoglimenti
$$ x^2 + (4-m)x + (1-4m) = 0$$
Abbiamo dunque ottenuto un’equazione di secondo grado in x dipendente dal parametro m che è il coefficiente angolare del fascio.
CONDIZIONE DI TANGENZA
Adesso applichiamo la condizione di tangenza tra la retta e la parabola.
Se vogliamo la retta tangente alla parabola dovremo avere un unico punto di intersezione e questo si verifica imponendo il delta (discriminante) uguale a zero.
$$ \Delta =0 \to (4-m)^2 – 4(1-4m) = 0 $$
Sviluppiamo ora il quadrato di binomio e giungiamo ad una equazione di secondo grado con incognita m.
$$ \begin{array}{l} 16-8m+m^2-4+16m = 0 \\ m^2+8m+12 = 0 \end{array} $$
Possiamo risolvere questa equazione applicando la formula risolutiva oppure come in questo caso sfruttando la scomposizione del trinomio speciale di secondo grado:
(m+6)(m+2)= 0 $$
Applicando la legge di annullamento del prodotto ricaviamo le soluzioni dell’equazione:
$$ m= -6 \lor m= -2 $$
Questi sono i coefficienti angolari delle rette tangenti.
RETTE TANGENTI
Per trovare le due rette tangenti basta che inseriamo questi due coefficienti trovati nell’equazione del fascio.
$$ \begin{array}{l} m_1= -6 &\to& t_1: \quad y= -6x-19 \\ m_2= -2 &\to& t_2: \quad y= -2x-3 \end{array} $$
TROVARE IL PUNTO DI TANGENZA
Per calcolare i punti di tangenza dobbiamo mettere a sistema ognuna delle due rette tangenti con la parabola.
Partiamo dalla prima retta:
$$ t_1 \cap \gamma: \quad \begin{cases} y= x^2+4x+6 \\ y= -6x-19 \end{cases} $$
Eguagliando le y per confronto e sviluppando i conti perveniamo ad una equazione di secondo grado.
$$ \begin{array}{l} x^2+4x+6= -6x-19 \\ x^2+10x+25 = 0 \end{array} $$
Siccome il delta polinomio di secondo grado è uguale a zero si tratta di un quadrato di binomio, che posto uguale a zero ci da l’ascissa del primo punto di intersezione:
$$ (x+5)^2 \to x+5= 0 \to x=-5 $$
Sostituendo questo valore nell’equazione della retta (o equivalentemente della parabola) troviamo il valore dell’ordinata
$$ y= -6 \cdot (-5) -19= 11 $$
Il primo punto di tangenza è:
$$ A(-5,11) $$
SECONDO PUNTO DI TANGENZA
Effettuiamo un’operazione analoga con la seconda retta tangente per trovare il secondo punto di intersezione
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RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA IN UNO SUO PUNTO
Quando vogliamo calcolare la retta tangente alla parabola in un suo punto abbiamo due opzioni.
La prima è quella di agire esattamente come prima, ovvero applicando il metodo del delta.
Mettiamo cioè il fascio di rette a sistema con la parabola e ne imponiamo la tangenza con il delta nullo.
$$ \begin{cases} y = ax^2 +bx+c \\ y = mx-m x_0 + y_0 \end{cases} \to \Delta (m) = 0 \\ \ \\ a(m) x^2 + b(m) x + c(m) = 0 \\ \Delta (m) = 0 \to \left( b(m) \right)^ 2 – 4 a(m) c(m) = 0 $$
In questo caso il polinomio che ne deriva avrà certamente un delta uguale a zero dal momento che è possibile trovare una sola retta tangente alla parabola condotta da un suo punto
$$ a’m^2 +b’m +c’=0 \\ \Delta’ = (b’)^2-4a’c’=0 $$
LA FORMULA DI SDOPPIAMENTO – RETTA TANGENTE IN UN PUNTO DELLA PARABOLA
Il secondo modo per calcolare la tangente da un punto della parabola è nota come formula di sdoppiamento e alla fine scopriremo perché si chiamo così.
Questa procedura ricavata ovviamente dalla precedente e si basa sul fatto di ricavare in modo immediato il coefficiente angolare della retta tangente.
Tale coefficiente nel punto di tangenza vale:
$$ m = 2ax_0+b$$
Dunque è ottenuto facendo il doppio del coefficiente quadratico della x moltiplicata per l’ascissa del punto cui viene aggiunto il valore del coefficiente della x.
Se dunque andiamo ad inserire tale coefficiente nell’equazione del fascio passante per il punto:
$$ y-y_0 = m (x-x_0) $$
otteniamo l’equazione della retta tangente:
$$ y-y_0 = (2ax_0+b= (x-x_0) $$
RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA IN UN SUO PUNTO – ESEMPIO
Trova l’equazione della retta tangente alla parabola 𝛾 nel suo punto di ascissa 2.
$$ \gamma:\ y = \frac{3}{2} x^2-x+5 \quad x_0= 2 $$
SVOLGIMENTO
L’equazione della parabola è:
$$ \gamma:\ y = \frac{3}{2} x^2-x+5 $$
Consideriamo ora il suo punto di ascissa 2.
Per calcolare la seconda coordinata sostituiamo nella sua equazione al posto della x proprio tale valore:
$$ x_0= 2 \to y_0 = \frac{3}{2} \cdot 2^2-2+5 = 9 $$
Dunque il nostro punto di tangenza è:
$$ P(2,9) $$
Determiniamo ora l’equazione del fascio di rette passanti per P:
$$ y-9 = m(x-2) $$
Ora noi sappiamo che il coefficiente angolare della retta tangente in tale punto si trova con la formula:
$$ m = 2ax_0+b $$
Sostituendo abbiamo che:
$$ m = 2ax_0+b= 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2-1 = 5 $$
Non ci resta quindi che inserire tale coefficiente nel fascio per trovare la retta tangente
$$ y-9 = 5(x-2) $$
Sviluppando i conto otteniamo l’equazione finale:
$$ \begin{array}{l} y = 5x-10+9 \\ y= 5x-1 \end{array} $$
PERCHE’ SI CHIAMA FORMULA DI SDOPPIAMENTO?
Per i più tecnici di voi andiamo a spiegare il significato della “formula di sdoppiamento“
Ripartiamo dall’equazione della retta tangente vista prima:
$$ y-y_0 = (2ax_0 +b)(x-x_0) $$
Sviluppandola ulteriormente scriviamo:
$$ \begin{array}{l} y-y_0 = 2ax_0x-2ax_0^2+bx-bx_0 \\ y-y_0 = (2ax_0+b) x-2ax_0^2-bx_0 $$
Questa formula potrebbe essere un po’ difficile da ricordare a memoria, per cui qualcuno si è inventato questo ragionamento.
Supponiamo che l’equazione di partenza della parabola sia:
$$ y = ax^2+bx+c $$
Siccome il punto P di tangenza appartiene alla parabola deve essere soddisfatta la seguente equazione:
$$ P(x_0, y_0) \in \gamma: \to \quad y_0 = ax_0^2 +bx_0+c $$
Raddoppiando ambo i membri dell’equazione otteniamo:
$$ 2y_0 = 2ax_0^2+2bx_0+2c $$
Andiamo ora a sommare membro a membro questa equazione a quella della retta tangente che ricordiamo è:
$$ y-y_0= 2ax_0x-2ax_0^2+bx-bx_0 $$
Otteniamo:
$$ y+y_0 = 2ax_0x+bx+bx_0+2c $$
Raccogliendo b al secondo membro e dividendo per 2 otteniamo la seguente formula:
$$ \frac{y+y_0}{2} = ax_0x+b \frac{x+x_0}{2} +c $$
Ora è un po’ più chiaro del perché si chiamo formula di sdoppiamento.
Infatti consideriamo ancora una volta l’equazione iniziale della parabola:
$$ y= ax^2+bx+c $$
Facciamo le seguenti sostituzioni troviamo la nostra retta tangente
$$ y= ax^2+bx+c \overset{\begin{array}{l} y \to \frac{y+y_0}{2} \\ x^2 \to x x_0 \\ x \to \frac{x+x_0}{2} \end{array}}{\longrightarrow} \frac{y+y_0}{2} = ax_0x+b \frac{x+x_0}{2} +c $$
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