ELLISSE – DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE

In questo articolo vediamo come passare dal grafico di un’ellisse all‘equazione

GRAFICO ELLISSE UNO – DAL GRAFICO DELL’ELLISSE ALL‘EQUAZIONE

Determiniamo l’equazione e le caratteristiche della seguente ellisse a partire dal suo grafico:

Dal disegno capiamo immediatamente che i vertici sull’asse delle xdell’ellisse con centro nell’origine sono:

$$ (-3,0) \quad (3,0) $$

Da questi capiamo immediatamente il valore di a che è pari a 3 dunque il suo quadrato risulta 9.

$$ a= 3 \to a^2 = 9 $$

Mentre i vertici sull’asse delle y sono:

$$ (0,2) \quad (0,-2) $$

Dunque il valore di b è pari a 2 e il suo quadrato vale 4.

$$ b= 2 \to b^2 = 4 $$

L’equazione dell’ellisse è quindi:

$$ \gamma_1: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

Possiamo anche riscriverla moltiplicando a destra e sinistra per il denominatore comune:

$$ \gamma_1: \quad 4x^2 +9 y^2 = 36 $$

I fuochi dell’ellisse si trovano sull’asse x dal momento che a è maggiore di b

Per trovare il valore dei fuochi  sfruttiamo la relazione pitagorica esistente tra i parametri a,b e c:

$$ c^2= a^2-b^2 = 9-4= 5 \to c = sqrt{5} $

L’eccentricità si calcola come il rapporto tra la semi-distanza focale e il semi-asse maggiore 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$

GRAFICO ELLISSE DUE – DAL GRAFICO DELL’ELLISSE ALL‘EQUAZIONE

Determiniamo l’equazione e le caratteristiche della seguente ellisse a partire dal suo grafico:

Dal disegno capiamo immediatamente che i vertici sull’asse delle x dell’ellisse con centro nell’origine sono:

$$ (-3,0) \quad (3,0) $$

Da questi capiamo immediatamente il valore di a che è pari a 3 dunque il suo quadratorisulta 9.

$$ a= 3 \quad a^2= 9 $$

Mentre i vertici sull’asse delle y sono:

$$ (0-3) \quad (0,3) $$

Dunque il valore di b è pari a 3 e il suo quadrato vale 9.

$$ b= 3 \quad b^2 = 9 $$

L’equazione dell’ellisse è quindi:

$$ \gamma_2: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1 $$

Possiamo anche riscriverla moltiplicando a destra e sinistra per il denominatore comune:

$$ \gamma_2: \quad x^2+y^2= 9 $$

Si tratta dunque dell’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio pari a 3

I fuochi dell’ellisse si trovano sia sull’asse x che sull’asse y dal momento che a è uguale a b

Dunque essi sono sovrapposti e coincidono con il centro dell’ellisse, origine del sistema cartesiano

Potremmo trovare i fuochi  anche sfruttando la relazione pitagoricaesistente tra i parametri a,b e c:

$$ c^2= a^2-b^2 = 9-9 = \to c = 0 $$

Oppure possiamo che scrivere:

$$ c^2= b^2-a^2 = 9-9 = \to c = 0 $$

I fuochi coincidono con il centro della circonferenza

L’eccentricità si calcola come il rapporto tra la semi-distanza focale e il semi-asse maggiore 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{0}{3} =0 $$

La circonferenza può essere intesa come una particolare ellisse di eccentricità pari a zero.

GRAFICO ELLISSE TRE – DAL GRAFICO ALL‘EQUAZIONE

Determiniamo l’equazione e le caratteristiche della seguente ellisse a partire dal suo grafico:

Dal disegno capiamo immediatamente che i vertici sull’asse delle xdell’ellisse con centro nell’origine sono:

$$ (-1,0) \quad (1,0) $$

Da questi capiamo immediatamente il valore di a che è pari a 1 dunque il suo quadrato risulta 1.

$$ a= 1 \to a^2= 1 $$

Mentre i vertici sull’asse delle y sono:

$$ (0,-5) \quad (0,5) $$

Dunque il valore di b è pari a 5 e il suo quadrato vale 25.

$$ b= 5 \to b^2=25 $$

L’equazione dell’ellisse è quindi:

$$ \gamma_3: \quad x^2 + \frac{y^2}{25} = 1 $$

Possiamo anche riscriverla moltiplicando a destra e sinistra per il denominatore comune:

$$ \gamma_3: \quad 25x^2 +y^2 = 25 $$

I fuochi dell’ellisse si trovano sull’asse x dal momento che a è maggiore di b

Per trovare il valore dei fuochi  sfruttiamo la relazione pitagoricaesistente tra i parametri a,b e c:

$$ c^2 = b^2-a^2 = 25-1= 24 \to c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} $$

L’eccentricità si calcola come il rapporto tra la semi-distanza focale e il semi-asse maggiore 

$$ e = \frac{c}{b} = \frac{2 \sqrt{6}}{5} $$

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GRAFICO ELLISSE QUATTRO – DAL GRAFICO ALL‘EQUAZIONE

Determiniamo l’equazione e le caratteristiche della seguente ellisse a partire dal suo grafico:

Dal disegno evinciamo che i fuochi sull’asse delle x dell’ellisse con centro nell’origine sono:

$$ (-150, 0) \quad (150, 0) $$

Da questi capiamo immediatamente il valore di c che è pari a 150 dunque il suo quadrato risulta 22.500.

$$ c= 150 \to c^2= 22.500 $$

Mentre i vertici sull’asse delle y sono:

$$ (0,-100) \quad (0,100) $$

Dunque il valore di b è pari a 100 e il suo quadrato vale 10.000.

$$ b= 100 \to b^2 = 10.000 $$

Per trovare il valore dei vertici sull’asse x  sfruttiamo la relazione pitagoricaesistente tra i parametri a,b e c:

$$ a^2 = b^2+c^2 \to a^2= 10.000 + 22.500 = 32.500 $$

Da cui ricaviamo il valore della a:

$$ a = \sqrt{32.500} = \sqrt{50^2 \cdot 13} = 50 \sqrt{13} $$

L’equazione dell’ellisse è quindi:

$$ \gamma_4: \quad \frac{x^2}{32.500} + \frac{y^2}{10.000} = 1 $$

L’eccentricità si calcola come il rapporto tra la semi-distanza focale e il semi-asse maggiore 

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{150}{50 \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{13}} $$

GRAFICO ELLISSE CINQUE

Determiniamo l’equazione e le caratteristiche della seguente ellisse a partire dal suo grafico:

Dal disegno osserviamo che i fuochi sull’asse delle y dell’ellisse con centro nell’origine sono:

$$ (0,- \sqrt{6}) \quad (0, \sqrt{6} ) $$

Da questi capiamo immediatamente il valore di c che è pari a radice di 6 dunque il suo quadrato risulta 6.

$$ c = \sqrt{6} \to c^2 = 6 $$

Mentre i vertici sull’asse delle x sono:

$$ (- \sqrt{17} , 0 ) \quad (\sqrt{17} , 0) $$

Dunque il valore di b è pari a radice di 17 e il suo quadrato vale 17.

Per trovare il valore dei vertici sull’asse x  sfruttiamo la relazione pitagorica esistente tra i parametri a,b e c:

$$ b^2 = a^2+c^2 = 23 \to b = \sqrt{23} $$

L’equazione dell’ellisse è quindi:

$$ \gamma_5: \quad \frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{23} = 1 $$

L’eccentricità si calcola come il rapporto tra la semi-distanza focale e il semi-asse maggiore 

$$ e = \frac{c}{b} = \sqrt{ \frac{6}{23} } $$

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