PROPRIETÀ DELLE POTENZE

In questo articolo parliamo delle proprietà delle potenze distinguendo tra:

• Le 5 proprietà classiche
• Altre proprietà delle potenze

LE 5 PROPRIETÀ CLASSICHE DELLE POTENZE

Le 5 proprietà classiche delle potenze sono:

• Moltiplicazioni di potenze con la stessa base
• Divisioni di potenze con la stessa base
• Moltiplicazioni di potenze con lo stesso esponente
• Divisioni di potenze con lo stesso esponente
• Potenza di potenza

Riportiamo qui sotto le principali regole matematiche

MOLTIPLICAZIONE DI POTENZE CON LA STESSA BASE

REGOLA A PAROLE

Quando moltiplichiamo  due o più potenze con la stessa base il risultato è una potenza con la stessa base e con la somma degli esponenti.

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo esprimere questa regola con la seguente scrittura:

$$A^n·A^m=A^{n+m}$$

ESEMPI

$$2^2·2^3=2^{3+2}=2^5 \\ 3·3^2·3^3=3^{1+2+3}=3^6 \\ 3·3^2·3^3·3^4=3^{1+2+3+4}=3^10 $$$$ 5^7·5^5·5^3·5^1=5^{7+5+3+1}=5^{16} $$$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2·\left(\frac{2}{3}\right)^3·\left(\frac{2}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3+4}=\left(\frac{2}{3}\right)^9$$$$ \pi^2·π^φ·π^e=π^{2+φ+e}$$

MOTIVAZIONE DELLE REGOLA

Diamo una semplice motivazione di questa proprietà delle potenze considerando un esempio molto semplice:

$$2^2·2^3$$             

Riscriviamo le due potenze come moltiplicazioni con tanti fattori uguali quanto vale l’esponente:

$$(2·2)·(2·2·2)$$    

Le parentesi sono ovviamente superflue per cui possiamo scrivere:

$$2·2·2·2·2$$

Riconosciamo che si tratta della quinta potenza di 2:

$$2^5$$

Questo nuovo esponente 5 indica che nella moltiplicazione ci sono 5 fattori identici di valore 2, due dei quali vengono dalla prima potenza e tre dalla seconda.

DIVISIONE DI POTENZE CON LA STESSA BASE

REGOLA A PAROLE

Quando dividiamo due o più potenze con la stessa base il risultato è una potenza con la stessa base e con la differenza degli esponenti.

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo esprimere questa proprietà delle potenze con la seguente scrittura:

$$A^n\div A^m=A^{n-m}$$

ESEMPI

$$2^5\div2^3=2^{5-3}=2^2 \\ 3^4\div3=3^{4-1}=3^3$$$$ 5^7\div5^3\div5^1=5^{7-3-1}=5^3 $$$$ \left(\frac{2}{3}\right)^6\div\left(\frac{2}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\right)^{6-4}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 $$$$ \left(\frac{3}{5}\right)^8\div\left(\frac{3}{5}\right)^4\div\left(\frac{3}{5}\right)^2\div\left(\frac{3}{5}\right)^1=\left(\frac{3}{5}\right)^{8-4-2-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^1 $$$$ \pi^{10}\div\pi^\varphi\div\pi^e=\pi^{10-\varphi-e}$$

MOTIVAZIONE DELLE REGOLA

Diamo una semplice motivazione di questa proprietà delle potenze considerando un esempio molto semplice:

$$2^5\div2^3$$

Riscriviamo le due potenze come moltiplicazioni con tanti fattori uguali quanto vale l’esponente:

$$(2·2·2·2·2)÷(2·2·2)$$

Dividere per 2 alla terza è come dividere 3 volte per 2, quindi se togliamo le parentesi otteniamo:

$$2·2·2·2·2÷2÷2÷2$$

Possiamo quindi semplificare tre elementi con ·2   con tre elementi con ÷2

$$ 2 \cdot 2 \color{red}{\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \color{blue}{\div 2 \div 2 \div 2} $$

Che ci rimane è la moltiplicazione di due fattori identici quindi una potenza con esponente 2.

$$2·2=2^2$$

Un modo alternativo di comprendere la regola è tramite la frazione (che è divisione)

$$=2·2=2^2$$

MOLTIPLICAZIONE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE

REGOLA A PAROLE

Quando moltiplichiamo due potenze con lo stesso esponente il risultato è una potenza con lo stesso esponente e con base il prodotto delle basi.

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa proprietà delle potenze con la seguente scrittura matematica moderna:

$$A^n·B^n=(A·B)^n$$

ESEMPI

$$2^2·3^2=(2·3)^2=6^2 \\ 3^2·5^2=(3·5)^2=15^2 \\ 2^3·5^3=(2·5)^3=10^3 \\ 2^3·3^3·5^3=(2·3·5)^3=30^3 $$$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2·\left(\frac{3}{4}\right)^2=\left(\frac{2}{3} · \frac{3}{4} \right)^2 $$$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2· \left(\frac{3}{5}\right)^2·\left(\frac{5}{7}\right)^2· \left(\frac{7}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{3} · \frac{3}{5} ·\frac{5}{7} · \frac{7}{2} \right)^2= 1^2=1 $$$$ \pi^\varphi· e^\varphi·\varphi ^\varphi = (\pi·e·\varphi)^\varphi$$

MOTIVAZIONE DELLA REGOLA

Cerchiamo di spiegare il funzionamento di questa proprietà delle potenze prendendo un esempio molto semplice.

Consideriamo il seguente caso:

$$ 2^3 \cdot 5^3 $$

Estendendo il concetto di potenza alla moltiplicazione possiamo riscriverlo così:

$$ (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) $$

Le parentesi sono inutili quindi possiamo scrivere semplicemente:

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 $$

Applichiamo la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione separando tre coppie di (2·5)

$$ (2 \cdot 5 ) \cdot (2 \cdot 5 ) \cdot (2 \cdot 5 ) $$

 che possiamo tranquillamente scrivere (2·5) alla terza

$$ (2 \cdot 5)^ 3 $$

Che infine risulta essere:

$$ 10^3 $$

DIVISIONE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE

REGOLA A PAROLE

Quando dividiamo due potenze con lo stesso esponente il risultato è una potenza con lo stesso esponente e con base il quoziente delle basi.

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa la regola generale di questa proprietà delle potenze con la seguente scrittura matematica moderna:

$$A^n\div B^n=\left(A\div B\right)^n$$ 

ESEMPI

$$6^2\div2^2=\left(2\div3\right)^2=6^2 \\ 15^3\div3^3=\left(15\div3\right)^3=5^3 $$$$ 12^4\div3^4\div2^4=\left(12\div3\div2\right)^4=2^4 $$$$ \left(\frac{4}{9}\right)^5\div\left(\frac{2}{3}\right)^5=\left(\frac{4}{9}\div\frac{2}{3}\right)^5=\left(\frac{2}{3}\right)^5 $$$$ \left(\frac{30}{77}\right)^6\div\left(\frac{2}{11}\right)^6\div\left(\frac{3}{7}\right)^6\div\left(\frac{5}{1}\right)^6=\left(\frac{30}{77}\div\frac{2}{11}\div\frac{3}{7}\div\frac{5}{1}\right)^6=1^6=1 $$$$ \pi^\varphi\div e^\varphi\div\varphi^\varphi=\left(\pi\div e\div\varphi\right)^\varphi$$ 

MOTIVAZIONE DELLA REGOLA

Cerchiamo di spiegare il funzionamento di questa proprietà delle potenze prendendo un esempio molto semplice.

Consideriamo il seguente caso:

$$15^3\div3^3$$ 

Estendendo il concetto di potenza alla moltiplicazione possiamo riscriverlo così:

$$(15·15·15)÷(3·3·3)$$ 

Togliamo le parentesi cambiando il per col diviso nella seconda parentesi

$$15·15·15÷3÷3÷3$$ 

Applichiamo la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione  separando tre coppie di (15÷3)

$$\left(15\div3\right)·(15÷3)·(15÷3)$$ 

 che possiamo tranquillamente scrivere (15÷3) alla terza

$$\left(15\div3\right)^3$$ 

Che infine risulta essere:

$$5^3$$                                 

POTENZA DI POTENZA

REGOLA A PAROLE

Quando facciamo la potenza di una potenza il risultato è sempre una potenza che ha per base la basedella potenza originaria e per esponente il prodotto degli esponenti

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa la regola generale di questa proprietà delle potenze con la seguente scrittura matematica moderna:

$$ (A^n)^m = A ^{m \cdot n} $$

ESEMPI

$$ \begin{array}{c} \left(2^2 \right)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 & \left( 3^5 \right)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10} & \left( \left( 5^4 \right)^3 \right)^2 = 5 ^{4 \cdot 3 \cdot 2} = 5^{24} \\ \left( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^4 \right)^8 = \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 4 \cdot 8} = \left( \frac{2}{3} \right)^{64} & \left( \left( \left( \pi^a \right)^b \right)^c \right)^d = \pi^{abcd} \end{array}$$

MOTIVAZIONE DELLA REGOLA

Cerchiamo di spiegare il funzionamento di questa proprietà delle potenze prendendo un esempio molto semplice.

Consideriamo il seguente caso:

$$ \left( 2^2 \right)^3 $$

Applicando la definizione di potenza in termini di moltiplicazione possiamo scrivere una moltiplicazione dove il fattore “2 alla seconda” si ripete tre volte:

$$ 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 $$

Estendiamo ulteriormente il concetto di potenza:

$$ (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) $$

Queste parentesi ora sono inutili, quindi possiamo scrivere una potenza dove la base 2 si ripete 6 volte:

$$ 2^6 = 2^{2 \cdot 3} $$

Che è una potenza con base la base della potenza 2 e per esponente il prodotto degli esponenti (2·3)

RECUPERA LE BASI DI MATEMATICA!

Comincia un il tuo viaggio alla scoperta della matematica partendo da zero.

ALTRE PROPRIETÀ DELLE POTENZE

Accanto alle cinque classiche proprietà delle potenze possiamo individuarne altre proprietà che andiamo ad elencare:

• Esponente unitario
• Uno elevato a un numero
• Esponente negativo
• Zero elevato a un numero positivo
• Esponente nullo
• Zero elevato alla zero
• Esponente frazionario 

Vediamo sinteticamente queste regole nella figura sotto.

Vediamo ora di spiegarle meglio una ad una con degli esempi.

ESPONENTE UNITARIO

REGOLA A PAROLE

Quando eleviamo un qualsiasi numero ad un esponente  unitario, quindi con l’esponente che è pari ad 1, otteniamo ancora il numero stesso.

SCRITTURA MATEMATICA

Matematicamente scriviamo:

$$ A^1 = A $$

Ovviamente vale anche il fatto contrario, ovvero che possiamo vedere ogni numero come il numero stesso elevato ad 1:

$$ A^1 = A \leftrightarrow A = A^1 $$

ESEMPI

$$ \begin{array}{c} 2^1 = 2 & 3^1 = 3 & 5^1 = 5 & 7^1 = 7 \\ \left( \frac{2}{3} \right)^1 = \frac{2}{3} & \left( \frac{3}{5} \right)^1 = \frac{3}{5} & \left( \frac{7}{11} \right)^1 = \frac{7}{11} & \left( \frac{13}{11} \right)^1 = \frac{13}{11} \\ \pi^1 = \pi & e^1 = e & \varphi^1 = \varphi & \left( \sin \vartheta \right)^1 = \sin \vartheta \end{array} $$

MOTIVAZIONE

Stando alla definizione di potenza quando scriviamo:

$$ A^1 $$

Abbiamo una moltiplicazione in cui vi è un solo fattore di valore A, che quindi risulta essere anche il prodotto stesso della moltiplicazione:

$$ A^1 = A $$

UNO ELEVATO AD UN QUALSIASI NUMERO

REGOLA A PAROLE

Quando eleviamo uno ad un qualsiasi numero otteniamo sempre uno.

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa proprietà delle potenze in questo modo:

$$ 1^n = 1 $$

ESEMPI

$$ 1^1 = 1 \\ 1^2 = 1 \cdot 1 = 1 \\ 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ 1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1= 1 \\ 1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1= 1 $$

Come vedremo nelle prossime regole anche se eleviamo uno alla zero otteniamo sempre uno.

$$ 1^0 = 1 $$

Questa cosa avviene anche con gli esponenti negativi:

$$ 1^{-1} = 1 \quad 1^{-2} = 1 \quad 1^{-3} = 1 \quad 1^{-4} = 1 $$

In generale vale per un qualsiasi numero reale:

$$ 1^\frac{1}{2}= 1 \quad 1^{- \frac{2}{3}} \quad 1^\pi = 1$$

MOTIVAZIONE

Scrivere una potenza di uno significa scrivere una moltiplicazione in cui il fattore 1 si ripete tante volte quante ne dice l’esponente.

Noi sappiamo che 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, pertanto se moltiplichiamo 1 per 1 tante volte otteniamo sempre 1.

Se prendiamo ad esempio la potenza:

$$ 1^3 $$

Stiamo moltiplicando 1 per se stesso tre volte:

$$ 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$

Quindi risulta chiaro che il risultato finale di questa moltiplicazione è certamente 1.

ESPONENTE NEGATIVO

REGOLA A PAROLE

Quando eleviamo un numero ad un esponente negativo stiamo calcolando la potenza del reciproco di questo numero

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa proprietà delle potenze in questo modo:

$$ A^{-n} = \frac{1}{A^n} $$

ESEMPI

$$ \begin{array}{c} 2^{-1} = \frac{1}{2} & 3^{-1} = \frac{1}{3} & 5^{-1} = \frac{1}{5} & 7^{-1} = \frac{1}{7} \\ 2^{-2} = \frac{1}{2^2}= \frac{1}{4} & 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} & 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} & 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \\ \pi^{-1} = \frac{1}{\pi} & e^{-2} = \frac{1}{e^2} & \varphi^{-3} = \frac{1}{\varphi^3} & \varepsilon^{-5} = \frac{1}{\varepsilon^5} \end{array} $$

MOTIVAZIONE DELLA REGOLA

Mostriamo come questa proprietà delle potenze può essere valida attraverso un semplice esempio:

Consideriamo la seguente divisione numerica:

$$ 3 \div 9 $$

Possiamo certamente riscriverla come una frazione:

$$ 3 \div 9 = \frac{3}{9} $$

Semplificando questa frazione otteniamo:

$$ 3 \div 9 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$

Ora ripartiamo dalla divisione di partenza e vediamo il numero 9 come il quadrato di 3:

$$ 3 \div 9 = 3 \div 3^2 $$

Applichiamo la proprietà delle potenze secondo la quale la divisione di potenze con base uguale è una potenza in cui facciamo la differenza degli esponenti:

$$ 3 \div 9 = 3 \div 3^2 = 3^{1-2} = 3^{-1} $$

Ne deve necessariamente conseguire che:

$$ 3^{-1} = \frac{1}{3} $$

ESTENSIONE DELLA REGOLA ALLE FRAZIONI

Possiamo estendere questa regola al caso in cui la base della potenza sia un numero razionale, ovvero una frazione.

In questo caso la frazione viene ribaltata (reciproco della frazione) e l’esponente negativo si trasforma in esponente positivo

$$ \left( \frac{A}{B} \right)^{-n} = \left( \frac{B}{A} \right)^{n} $$

Ad esempio:

$$ \begin{array}{c} \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2} & \left( \frac{3}{5} \right)^{-1} = \frac{5}{3} & \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} = \frac{7}{5} \\ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} =\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} & \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} =\left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9} & \left( \frac{5}{7} \right)^{-2} =\left( \frac{7}{5} \right)^2 = \frac{49}{25} \\ \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} =\left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8} & \left( \frac{3}{5} \right)^{-3} =\left( \frac{5}{3} \right)^3 = \frac{125}{27} & \left( \frac{5}{7} \right)^{-3} =\left( \frac{7}{5} \right)^3 = \frac{343}{125} \\ \left( \frac{\pi}{e} \right)^{-\varphi} =\left( \frac{e}{\pi} \right)^\varphi & \left( \frac{\varphi}{e} \right)^{-\pi} =\left( \frac{\varphi}{e} \right)^\pi & \left( \frac{\pi}{\varphi} \right)^{-e} =\left( \frac{\varphi}{\pi} \right)^e \end{array} $$

ESPONENTE NULLO  (BASE DIVERSA DA ZERO) 

REGOLA A PAROLE

Quando eleviamo un qualsiasi numero diverso da zero elevato alla zero il risultato è 1

SCRITTURA MATEMATICA

Possiamo scrivere questa proprietà delle potenze in questo modo:

$$ A^0 = \quad \text{se }\ A \ne 0 $$

ESEMPI

$$ \begin{array}{c} 1^0=1 & 2^0=1 & 3^0=1 & 5^0=1 & 7^0=1 \\ 11^0=1 & 13^0=1 & 17^0=1 & 19^0=1 & 23^0=1 \\ \left( \frac{2}{3} \right)^0 = 1 & \left( \frac{3}{5} \right)^0 = 1 &\left( \frac{5}{7} \right)^0 = 1 &\left( \frac{7}{11} \right)^0 = 1 \\ \left( \frac{11}{13} \right)^0 = 1 & \left( \frac{13}{17} \right)^0 = 1 &\left( \frac{17}{23} \right)^0 = 1 &\left( \frac{23}{29} \right)^0 = 1 \\ e^0=1 & \pi^0=1 & \varphi^0=1 & \left( \frac{3^2 – \frac{e}{\pi}+2}{1.000+ \frac{5 \varphi}{0,12345}} \right)^0=1 \end{array} $$

MOTIVAZIONE

Proviamo a scrivere una semplice motivazione a questa proprietà delle potenze.

Consideriamo la scrittura:

$$3^0$$ 

Possiamo vedere l’esponente zero come la differenza tra 1 e 1:

$$3^0=3^{1-1}$$ 

Per le proprietà della potenze possiamo riscrivere:

$$3^0=3^{1-1}=3^1·3^{-1}$$ 

Ed in virtù dell’esponente negativo la scrittura diventa:

$$3^0=3^{1-1}=3^1·3^{-1}=3·\frac{1}{3}$$ 

 a questo punto  non dobbiamo far altro che dividere 3 per se stesso e otteniamo 1:

$$3^0=3^{1-1}=3^1·3^{-1}=3·\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$$ 

ZERO ALLA ZERO È FORMA INDETERMINATA

REGOLA A PAROLA

Quando eleviamo zero alla zero non riusciamo a determinare il risultato, perciò diciamo che è una forma indeterminata.

SCRITTURA MATEMATICA

$$ 0^0 =\ \ ??? \quad \to \quad \text{indeterminato} $$

ESEMPI

L’unico esempio che possiamo fare con i numeri è:

$$ 0^0 =\ \ ??? $$

MOTIVAZIONE

Proviamo a dare una motivazione di questa proprietà delle potenze in modo semplice.

Partiamo dall’espressione incriminata:

$$ 0^0 $$

Possiamo scrivere l’esponente zero come la differenza tra 1 e 1:

$$ =0 ^0 = 0^{1-1} $$

Per le proprietà delle potenze scriviamo:

$$ =0 ^0 = 0^{1-1} = 0 ^1 \cdot 0^{-1}$$

 ed in virtù dell’esponente negativo:

$$ =0 ^0 = 0^{1-1} = 0 ^1 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \frac{1}{0}$$

Quindi non ci resta che dividere 0 per 0 che è forma indeterminata:

$$ =0 ^0 = 0^{1-1} = 0 ^1 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \frac{1}{0} = \frac{0}{0} = ???$$

Notiamo che la dimostrazione appena fatta non è matematicamente corretta, però consideriamola una possibile via per mostrare che questo risultato è indeterminato.

ESPONENTE FRAZIONARIO: VERSO I RADICALI (RADICI) 

REGOLA A PAROLE

Quando in una potenza l’esponente è frazionario otteniamo come risultato un radicale (unaradice) che ha come indice il denominatore della frazione e come esponente del radicando il numeratore.

SCRITTURA MATEMATICA

$$ A^\frac{n}{k} = \sqrt[k]{a^n} $$

ESEMPI

$$ \begin{array}{c} 2^{1}{2} = \sqrt{2} & 2^{1}{3} = \sqrt[3]{2} & 2^{1}{4} = \sqrt[4]{2} & 2^{1}{5} = \sqrt[5]{2} \\ 3^{1}{2} = \sqrt{3} & 3^{1}{3} = \sqrt[3]{3} & 3^{1}{4} = \sqrt[4]{3} & 3^{1}{5} = \sqrt[5]{3} \\ 2^{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} =\sqrt[3]{4} = & 3^{3}{4} = \sqrt[4]{3^3}=\sqrt[3]{27} & 5^{4}{5} = \sqrt[5]{5^4}=\sqrt[5]{625} & 7^{5}{6} = \sqrt[6]{7^6} =\sqrt[6]{117.649}\\ \pi^\frac{1}{2} = \sqrt{\pi} & e^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{e^2} & \varphi ^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{\varphi^3} & \pi^\frac{e}{\varphi} = \sqrt[\varphi]{\pi^e} \end{array} $$

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