Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Radicali

La regola fondamentale per la somma e la sottrazione di radicali è una sola: si possono sommare (o sottrarre) solo i radicali simili.

Un radicale è definito “simile” ad un altro solo se ha:

1. Lo stesso indice (es. $\sqrt[3]{…}$).
2. Lo stesso radicando (es. $\sqrt{… \text{di } 5}$).

Per sommare i radicali simili, si sommano i loro coefficienti (i numeri fuori dalla radice), lasciando la parte radicale invariata.

Esempio: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Attenzione: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ NON si può sommare. Il risultato NON è $\sqrt{5}$.

In questo articolo (e nel quiz) non useremo le regole di “portar fuori” (es. $\sqrt{8} \rightarrow 2\sqrt{2}$), ma ci concentreremo solo sulla somma di radicali già simili e sulla risoluzione di radici “perfette” (es. $\sqrt{9}=3$ o $\sqrt[3]{(a+b)^3} = a+b$).

Nota: Per tutti gli esercizi letterali con indice pari, supporremo che i radicandi siano $\ge 0$ per evitare l’uso del valore assoluto.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

---

Livello Base – Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Radicali

Esercizio 1: Somma di Radicali Simili

Domanda: Calcola $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – \sqrt{2}$.

Risposta Corretta: $7\sqrt{2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Identificazione: Tutti e tre i termini sono simili (hanno tutti $\sqrt{2}$).
2. Calcolo: Sommiamo i coefficienti: $(5 + 3 – 1)\sqrt{2}$.
3. Risultato: $7\sqrt{2}$.

---

Esercizio 2: Radicali Non Simili (La Trappola)

Domanda: Calcola $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Risposta Corretta: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ (Non sommabili)

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Identificazione: I radicali hanno lo stesso indice (2) ma radicando diverso (2 e 3). Non sono simili.
2. Calcolo: Non è possibile eseguire la somma. L’espressione $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ è già semplificata.
3. Attenzione: Il risultato NON è $\sqrt{5}$ (quella è la regola della moltiplicazione).

---

Esercizio 3: Radice Cubica Perfetta (Monomio)

Domanda: Calcola $\sqrt[3]{8a^3} + 5a$.

Risposta Corretta: $7a$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Risoluzione Radice: $\sqrt[3]{8a^3}$ è un cubo perfetto.
   • $\sqrt[3]{8} = 2$
   • $\sqrt[3]{a^3} = a$
   • Il termine è $2a$.
2. Calcolo: $2a + 5a = 7a$.

---

Livello Intermedio – Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Radicali

Esercizio 4: Espressione con Radici Perfette (Numeriche)

Domanda: Calcola $3 + \sqrt{9} – \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}$.

Risposta Corretta: $5.5$ (o $\frac{11}{2}$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Risoluzione Radici:
   • $\sqrt{9} = 3$
   • $\sqrt{25} = 5$
   • $\sqrt{100} = 10$
2. Riscrivi: $3 + 3 – \frac{5}{10}$.
3. Calcolo: $6 – 0.5 = 5.5$ (o $6 – \frac{1}{2} = \frac{12-1}{2} = \frac{11}{2}$).

---

Esercizio 5: Somma di Radicali Misti (Numerici)

Domanda: Calcola $2\sqrt{2} + 4\sqrt{3} – 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$.

Risposta Corretta: $-3\sqrt{2} + 7\sqrt{3}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Raggruppa Simili ( $\sqrt{2}$ ): $2\sqrt{2} – 5\sqrt{2} = (2 – 5)\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.
2. Raggruppa Simili ( $\sqrt{3}$ ): $4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4 + 3)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
3. Risultato Finale: $-3\sqrt{2} + 7\sqrt{3}$.

---

Esercizio 6: Radice Quadrata Perfetta (Binomio)

Domanda: Calcola $\sqrt{(x+1)^2} + 4x$. (Supponendo $x+1 \ge 0$)

Risposta Corretta: $5x + 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Risoluzione Radice: La radice quadrata di un quadrato perfetto è la base.
   • $\sqrt{(x+1)^2} = (x+1)$. (Non usiamo il valore assoluto grazie all’ipotesi $x+1 \ge 0$).
2. Calcolo: $(x+1) + 4x = x + 1 + 4x$.
3. Risultato: $5x + 1$.

---

Livello Avanzato – Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Radicali

Esercizio 7: Espressione con Quadrati di Binomio

Domanda: Calcola $\sqrt{(a+b)^2} – \sqrt{(a-b)^2}$. (Supponendo $a > b \ge 0$)

Risposta Corretta: $2b$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Constraint: L’ipotesi $a > b \ge 0$ assicura che sia $(a+b)$ sia $(a-b)$ siano positivi.
2. Risoluzione Radice 1: $\sqrt{(a+b)^2} = a+b$.
3. Risoluzione Radice 2: $\sqrt{(a-b)^2} = a-b$.
4. Calcolo: $(a+b) – (a-b)$.
5. Rimuovi Parentesi: $a + b – a + b$.
6. Risultato: $2b$.

---

Esercizio 8: Espressione con Cubi di Binomio

Domanda: Calcola $\sqrt[3]{(x+1)^3} + \sqrt[3]{(x-1)^3}$.

Risposta Corretta: $2x$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Risoluzione Radici: Le radici cubiche non richiedono ipotesi.
   • $\sqrt[3]{(x+1)^3} = x+1$.
   • $\sqrt[3]{(x-1)^3} = x-1$.
2. Calcolo: $(x+1) + (x-1)$.
3. Rimuovi Parentesi: $x + 1 + x – 1$.
4. Risultato: $2x$.

---

Esercizio 9: Radicali Letterali Simili

Domanda: Calcola $5\sqrt{a} – 3\sqrt{b} + 2\sqrt{a} – 8\sqrt{b}$.

Risposta Corretta: $7\sqrt{a} – 11\sqrt{b}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Identificazione: I termini $\sqrt{a}$ sono simili tra loro; i termini $\sqrt{b}$ sono simili tra loro.
2. Raggruppa ( $\sqrt{a}$ ): $5\sqrt{a} + 2\sqrt{a} = 7\sqrt{a}$.
3. Raggruppa ( $\sqrt{b}$ ): $-3\sqrt{b} – 8\sqrt{b} = (-3 – 8)\sqrt{b} = -11\sqrt{b}$.
4. Risultato Finale: $7\sqrt{a} – 11\sqrt{b}$.

---

Livello Molto Difficile – Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Radicali

Esercizio 10: Espressione Mista (Quadrati, Cubi e Monomi)

Domanda: Calcola $4x + \sqrt{(x-1)^2} – \sqrt[3]{-8x^3}$. (Supponendo $x-1 \ge 0$)

Risposta Corretta: $7x – 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Risoluzione Radice 1 (Quadrato): (Usando l’ipotesi $x-1 \ge 0$)
   • $\sqrt{(x-1)^2} = x-1$.
2. Risoluzione Radice 2 (Cubo):
   • $\sqrt[3]{-8x^3}$. La radice cubica di $-8$ è $-2$. La radice cubica di $x^3$ è $x$.
   • Il risultato è $-2x$.
3. Calcolo: $4x + (x-1) – (-2x)$.
4. Rimuovi Parentesi: $4x + x – 1 + 2x$.
5. Risultato: $7x – 1$.

💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Inizia oggi a scoprire i corsi di matematica! Accetta la sfida e intraprendi un viaggio affascinante che riparte dai numeri, attraversa monomi e polinomi, padroneggia lo studio di funzione e l’algebra lineare, fino a immergerti nel rigore profondo dell’Analisi I e delle funzioni a due variabili. Il futuro ti aspetta, e parla in formule.