Iniziamo la sezione sui logaritmi con gli Esercizi Svolti sui Logaritmi Base. Questi esercizi si concentrano sulla definizione e sulle Condizioni di Esistenza (C.E.) e sono fondamentali per affrontare equazioni e disequazioni successive.
INDICE
- 1 Ripasso: Definizione e Condizioni di Esistenza (C.E.)
- 2 Esercizi Svolti (Livello Base)
- 3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche
Ripasso: Definizione e Condizioni di Esistenza (C.E.)
Il logaritmo di $a$ in base $b$, $\log_b a$, è quell’esponente $x$ a cui si deve elevare la base $b$ per ottenere l’argomento $a$.
$$\log_b a = x \iff b^x = a$$
Le Tre Condizioni di Esistenza (C.E.) Cruciali:
Affinché un logaritmo $\log_b a$ sia definito nel campo reale, la base $b$ e l’argomento $a$ devono rispettare:
- Base Positiva: $b > 0$.
- Base Diversa da 1: $b \ne 1$.
- Argomento Positivo: $a > 0$.
Esercizi Svolti (Livello Base)
1. Calcolo Diretto del Logaritmo: Trova $x$ in $\log_b a = x$
In questi esercizi, si chiede di calcolare il valore del logaritmo, ovvero l’esponente $x$.
Esercizio 1: Base intera $b > 1$
Domanda: Calcola $\log_2 8$.
Risposta Corretta: $3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
Dalla definizione, $2^x = 8$. Poiché $8 = 2^3$, si ha $x = 3$.
Esercizio 2: Argomento Frazionario
Domanda: Calcola $\log_3 \left(\frac{1}{9}\right)$.
Risposta Corretta: $-2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
Dalla definizione, $3^x = \frac{1}{9}$. Poiché $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, si ha $x = -2$.
Esercizio 3: Base Frazionaria $0 < b < 1$
Domanda: Calcola $\log_{1/2} 4$.
Risposta Corretta: $-2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
Dalla definizione, $(\frac{1}{2})^x = 4$. Poiché $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ e $4 = 2^2$, si ha $(2^{-1})^x = 2^2 \rightarrow 2^{-x} = 2^2 \rightarrow -x = 2$. Soluzione $x = -2$.
Esercizio 4: Logaritmo Decimale
Domanda: Calcola $\log_{10} 1000$ (scritto anche $\log 1000$).
Risposta Corretta: $3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
Dalla definizione, $10^x = 1000$. Poiché $1000 = 10^3$, si ha $x = 3$.
2. Incognita all’Argomento: Trova $x$ in $\log_b x = k$
In questi esercizi, $x$ è l’argomento. La soluzione si trova elevando la base all’esponente $k$. Ricorda: L’argomento $x$ deve sempre essere positivo ($x > 0$).
Esercizio 5: Argomento da trovare
Domanda: Risolvi $\log_2 x = 5$.
Risposta Corretta: $x = 32$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
Dalla definizione, $x = 2^5$. $2^5 = 32$. La condizione $x > 0$ è soddisfatta. Soluzione $x = 32$.
Esercizio 6: Esponente Frazionario (Radice)
Domanda: Risolvi $\log_4 x = \frac{1}{2}$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
Dalla definizione, $x = 4^{1/2}$. $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$. Soluzione $x = 2$.
Esercizio 7: Base Frazionaria ed Esponente Negativo
Domanda: Risolvi $\log_{1/3} x = -2$.
Risposta Corretta: $x = 9$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
Dalla definizione, $x = (\frac{1}{3})^{-2}$. $x = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$. Soluzione $x = 9$.
3. Incognita alla Base: Trova $x$ in $\log_x a = k$
In questi esercizi, $x$ è la base. La soluzione si trova risolvendo un’equazione esponenziale elementare. Ricorda: La base $x$ deve essere positiva e diversa da 1 ($x > 0$ e $x \ne 1$).
Esercizio 8: Base da trovare
Domanda: Risolvi $\log_x 27 = 3$.
Risposta Corretta: $x = 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
Dalla definizione, $x^3 = 27$. L’unica soluzione reale è $x = \sqrt[3]{27} = 3$. La condizione ($x>0, x \ne 1$) è soddisfatta. Soluzione $x = 3$.
Esercizio 9: Esponente Negativo (Frazione)
Domanda: Risolvi $\log_x \left(\frac{1}{4}\right) = -2$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
Dalla definizione, $x^{-2} = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} \rightarrow x^2 = 4$.
Le soluzioni algebriche sono $x = \pm 2$. Per le C.E. ($x>0$), scartiamo $x=-2$. La soluzione è $x = 2$.
Esercizio 10: Esponente Frazionario (Radice e Potenza)
Domanda: Risolvi $\log_x 8 = \frac{3}{2}$.
Risposta Corretta: $x = 4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
Dalla definizione, $x^{3/2} = 8$.
Per isolare $x$, eleviamo entrambi i membri all’esponente reciproco $\frac{2}{3}$:
$$(x^{3/2})^{2/3} = 8^{2/3}$$
$$x = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$$
La condizione ($x>0, x \ne 1$) è soddisfatta. Soluzione $x = 4$.
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