Esercizi Svolti sulle Proprietà dei Logaritmi

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Proprietà dei Logaritmi. Imparerai a semplificare espressioni complesse trasformandole in numeri interi o razionali, utilizzando le regole di calcolo logaritmico.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.

Ripasso: Le 4 Regole d’Oro dei Logaritmi

Per manipolare i logaritmi, devi conoscere a memoria queste proprietà (valide per basi $a, c > 0, \ne 1$ e argomenti $A, B > 0$):

1. Logaritmo del Prodotto (Somma):

Il logaritmo di un prodotto diventa la somma dei logaritmi.

$$\log_a (A \cdot B) = \log_a A + \log_a B$$

2. Logaritmo del Quoziente (Differenza):

Il logaritmo di una frazione diventa la differenza dei logaritmi.

$$\log_a \left(\frac{A}{B}\right) = \log_a A – \log_a B$$

3. Logaritmo della Potenza (Coefficiente):

L’esponente dell’argomento “scende” davanti al logaritmo.

$$\log_a (A^n) = n \cdot \log_a A$$

(Corollario: $\log_a \sqrt[n]{A} = \frac{1}{n} \log_a A$)

4. Cambio di Base:

Per calcolare un logaritmo con una base “scomoda” (es. $\log_4 8$), si cambia la base in una più comoda (es. base 2).

$$\log_a B = \frac{\log_c B}{\log_c a}$$

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Esercizi Svolti (Proprietà dei Logaritmi)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Somma e Differenza)

Esercizio 1: Somma di Logaritmi

Domanda: Calcola il valore di $\log_6 4 + \log_6 9$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Proprietà: $\log(A) + \log(B) = \log(A \cdot B)$.
• Calcolo: $\log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.
• Soluzione: $6^x = 36 \rightarrow x = 2$.

Esercizio 2: Differenza di Logaritmi

Domanda: Calcola il valore di $\log_5 50 – \log_5 2$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Proprietà: $\log(A) – \log(B) = \log(A / B)$.
• Calcolo: $\log_5 \left(\frac{50}{2}\right) = \log_5 25$.
• Soluzione: $5^x = 25 \rightarrow x = 2$.

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Livello Intermedio (Potenze e Coefficienti)

Esercizio 3: Regola della Potenza

Domanda: Calcola il valore di $2 \log_3 \sqrt{27}$.

Risposta Corretta: $3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Metodo 1 (Proprietà Inversa): Portiamo il 2 dentro come esponente.$\log_3 (\sqrt{27})^2 = \log_3 27$.
• Soluzione: $3^x = 27 \rightarrow x = 3$.
• Metodo 2 (Semplificazione Radicale):$2 \cdot \log_3 (3^3)^{1/2} = 2 \cdot \log_3 3^{3/2} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.

Esercizio 4: Combinazione Somma e Potenza

Domanda: Calcola $2\log_{10} 5 + \log_{10} 4$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Step 1 (Potenza): $2\log_{10} 5 = \log_{10} (5^2) = \log_{10} 25$.
• Step 2 (Espressione): Diventa $\log_{10} 25 + \log_{10} 4$.
• Step 3 (Somma): $\log_{10} (25 \cdot 4) = \log_{10} 100$.
• Soluzione: $10^x = 100 \rightarrow x = 2$.

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Livello Avanzato (Cambio di Base Semplice)

Esercizio 5: Basi Potenze l’una dell’altra

Domanda: Calcola $\log_4 8$.

Risposta Corretta: $3/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: 4 e 8 sono entrambe potenze di 2. Usiamo la formula del cambio base con $c=2$.
• Formula: $\frac{\log_2 8}{\log_2 4}$.
• Calcolo:
  • Numeratore: $\log_2 8 = 3$.
  • Denominatore: $\log_2 4 = 2$.
• Soluzione: $3/2$ (o $1.5$).

Esercizio 6: Base Radicale

Domanda: Calcola $\log_{\sqrt{3}} 9$.

Risposta Corretta: $4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Cambio Base (c=3): $\frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}}$.
• Calcolo:
  • Numeratore: $\log_3 9 = 2$.
  • Denominatore: $\log_3 3^{1/2} = 1/2$.
• Frazione: $\frac{2}{1/2} = 2 \cdot 2 = 4$.

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Livello Molto Avanzato (Proprietà del Reciproco e Identità)

Esercizio 7: Somma di Reciproci (Proprietà Inversa)

Domanda: Calcola $\frac{1}{\log_2 6} + \frac{1}{\log_3 6}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Proprietà del Cambio Base Inverso: $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.
• Applicazione:$\frac{1}{\log_2 6} = \log_6 2$.$\frac{1}{\log_3 6} = \log_6 3$.
• Nuova Espressione: $\log_6 2 + \log_6 3$.
• Proprietà Somma: $\log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6$.
• Soluzione: $1$.

Esercizio 8: Identità Esponenziale-Logaritmica

Domanda: Calcola $5^{\log_5 7} + 3^{\log_3 2}$.

Risposta Corretta: $9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Identità Fondamentale: $a^{\log_a b} = b$.
• Applicazione:$5^{\log_5 7} = 7$.$3^{\log_3 2} = 2$.
• Calcolo: $7 + 2 = 9$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Frazioni Complesse e Basi Frazionarie)

Esercizio 9: Basi Frazionarie

Domanda: Calcola $\log_{1/4} \left(\frac{1}{8}\right)$.

Risposta Corretta: $3/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Cambio Base (c=2): $\frac{\log_2 (1/8)}{\log_2 (1/4)}$.
• Calcolo Numeratore: $\log_2 2^{-3} = -3$.
• Calcolo Denominatore: $\log_2 2^{-2} = -2$.
• Soluzione: $\frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.

Esercizio 10: Espressione Mista (Radici e Frazioni)

Domanda: Calcola $\log_2 \sqrt[3]{32} – \log_2 \left(\frac{1}{4}\right)$.

Risposta Corretta: $11/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Termine 1: $\log_2 (2^5)^{1/3} = \log_2 2^{5/3} = 5/3$.
• Termine 2: $\log_2 (2^{-2}) = -2$.
• Espressione: $5/3 – (-2) = 5/3 + 2$.
• Somma: $\frac{5 + 6}{3} = \frac{11}{3}$.

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