Quando studiamo la diagonalizzazione di una matrice, capire la differenza tra la molteplicità algebrica e geometrica è il passaggio fondamentale per stabilire se la matrice può essere trasformata in una forma diagonale o meno.
Spesso si commette l’errore di fermarsi al calcolo degli autovalori, ma per una comprensione completa è necessario analizzare la dimensione degli spazi vettoriali che essi generano.
INDICE
Definizioni fondamentali
Dato un autovalore $\lambda$ di una matrice quadrata $A$ di dimensione $n \times n$:
- Molteplicità Algebrica ($m_a$): È il numero di volte che l’autovalore $\lambda$ compare come soluzione (radice) del polinomio caratteristico $\det(A – \lambda I) = 0$.
- Molteplicità Geometrica ($m_g$): È la dimensione dell’autospazio relativo a $\lambda$, ovvero il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a quell’autovalore. Si calcola come:$$m_g(\lambda) = n – \text{rango}(A – \lambda I)$$
Vale sempre la relazione fondamentale:
$$1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)$$
Il criterio di diagonalizzazione
Una matrice $A$ è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore, la molteplicità algebrica e geometrica coincidono.
Inoltre, la somma delle molteplicità algebriche deve essere uguale alla dimensione della matrice $n$ (il polinomio deve essere interamente scomponibile nel campo reale).
Vediamo due casi pratici per capire la differenza.
Esempio 1: Autovalori distinti (Diagonalizzazione sicura)
Consideriamo la matrice $2 \times 2$ vista nell’articolo precedente (PDF 9.1):
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
Il polinomio caratteristico è $(\lambda – 4)(\lambda + 1) = 0$.
- Analisi per $\lambda = 4$: Compare 1 volta come soluzione. Quindi $m_a(4) = 1$. Poiché $1 \le m_g \le m_a$, allora necessariamente $m_g(4) = 1$.
- Analisi per $\lambda = -1$: Compare 1 volta. Quindi $m_a(-1) = 1 \Rightarrow m_g(-1) = 1$.
Conclusione: Se tutti gli autovalori sono distinti (hanno $m_a=1$), allora automaticamente $m_g=1$ per tutti. Le molteplicità coincidono sempre e la matrice è diagonalizzabile.
Esempio 2: Autovalori coincidenti (Verifica necessaria)
Consideriamo una matrice $B$ che ha il seguente polinomio caratteristico:
$$P(\lambda) = (\lambda – 2)^2$$
Qui abbiamo un solo autovalore $\lambda = 2$ con molteplicità algebrica $m_a = 2$.
Affinché la matrice sia diagonalizzabile, dobbiamo verificare se anche la sua molteplicità geometrica è 2.
Supponiamo che la matrice associata al sistema $(B – 2I)$ sia:
$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Il rango di questa matrice è 0.
Calcoliamo la molteplicità geometrica:
$$m_g(2) = n – \text{rango} = 2 – 0 = 2$$
In questo caso $m_a = m_g = 2$, quindi la matrice è diagonalizzabile.
Se invece la matrice $(B – 2I)$ avesse avuto rango 1 (es. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$), avremmo avuto:
$$m_g(2) = 2 – 1 = 1$$
Poiché $m_g (1) \neq m_a (2)$, la matrice non sarebbe stata diagonalizzabile.
Hai bisogno di rivedere come si calcolano le radici del polinomio?
Vuoi superare l’esame di Algebra Lineare?
L’algebra lineare è un meccanismo perfetto dove ogni definizione si incastra con le altre. Se vuoi avere una visione chiara, esercizi guidati e un metodo di studio che ti porti dritto al 30, scopri i nostri corsi di algebra lineare. Non lasciare nulla al caso.