Esercizi Svolti sui Limiti: Forme Determinate e Algebra degli Infiniti

In questo articolo inauguriamo la sezione dedicata ai Limiti con gli Esercizi Svolti sulle Forme Determinate.

Prima di affrontare le forme indeterminate (come $0/0$ o $\infty – \infty$), è essenziale padroneggiare l’Algebra dei Limiti: cosa succede quando divido un numero per zero? O quando elevo $e$ a meno infinito?

Questi esercizi, ispirati a tracce d’esame reali, ti alleneranno a gestire i segni ($0^+$ e $0^-$) e le operazioni con l’infinito. Sono presenti nel quiz correlato.

Ripasso: L’Algebra dei Limiti

Ecco le regole fondamentali che non sono forme indeterminate, ma risultati immediati (dove $c$ è un numero costante $c \ne 0$):

1. Divisione per Zero:
   • $\frac{c}{0^{\pm}} = \pm \infty$ (Il segno dipende dai segni di $c$ e dello $0$).
   • Esempio: $\frac{5}{0^+} = +\infty$, mentre $\frac{5}{0^-} = -\infty$.
2. Divisione per Infinito:
   • $\frac{c}{\infty} = 0$.
3. Esponenziali ($a > 1$, es. $e^x$):
   • $e^{+\infty} = +\infty$.
   • $e^{-\infty} = 0^+$ (Tende a zero restando positivo).
4. Logaritmi ($a > 1$, es. $\ln x$):
   • $\ln(+\infty) = +\infty$.
   • $\ln(0^+) = -\infty$.

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Esercizi Svolti (Calcolo Diretto e Studio del Segno)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Sostituzione e Algebra Base)

Esercizio 1: Polinomio all’infinito

Domanda: Calcola $\lim_{x \to -\infty} (x^3 – 2x + 1)$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: In un polinomio a $\pm \infty$, “comanda” il termine di grado massimo.
• Calcolo: Il termine dominante è $x^3$.$(-\infty)^3 = -\infty$.
• Nota: Gli altri termini ($-2x$, $+1$) sono trascurabili rispetto a $x^3$.

Esercizio 2: Numero su Infinito

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5}{x^2} + 3 \right)$.

Risposta Corretta: $3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Algebra: $\frac{5}{(+\infty)^2} = \frac{5}{+\infty}$.
• Regola: Un numero diviso infinito tende a $0$.
• Risultato: $0 + 3 = 3$.

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Livello Intermedio (Lo Zero al Denominatore)

Esercizio 3: Numero su Zero (Segno concorde)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 2^+} \frac{4}{x – 2}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Sostituzione: Al numeratore abbiamo $4$. Al denominatore $2^+ – 2 = 0^+$.
• Analisi del segno: Stiamo dividendo un numero positivo ($4$) per una quantità piccolissima ma positiva ($0^+$).
• Calcolo: $\frac{4}{0^+} = +\infty$.

Esercizio 4: Numero su Zero (Segno discorde)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1^-} \frac{-3}{x – 1}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Sostituzione: Numeratore $-3$. Denominatore $1^- – 1$ (un numero leggermente minore di 1 meno 1) dà $0^-$.
• Analisi Segni: $\frac{\text{Negativo}}{\text{Negativo}} = \text{Positivo}$.
• Calcolo: $\frac{-3}{0^-} = +\infty$.

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Livello Avanzato (Esponenziali con Fratte)

Esercizio 5: Esponenziale con esponente infinito

(Ispirato ai tuoi appunti)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{2}{x-1}}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Studio dell’Esponente: Analizziamo $\frac{2}{x-1}$ per $x \to 1^+$.$\frac{2}{1^+ – 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$.
• Limite Esterno: L’esercizio diventa $e^{+\infty}$.
• Risultato: $+\infty$.

Esercizio 6: Esponenziale che va a zero

(Ispirato ai tuoi appunti)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{3}{x-1}}$.

Risposta Corretta: $0$ (o $0^+$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Studio dell’Esponente: Analizziamo $\frac{3}{x-1}$ per $x \to 1^-$.$\frac{3}{1^- – 1} = \frac{3}{0^-} = -\infty$.
• Limite Esterno: L’esercizio diventa $e^{-\infty}$.
• Regola: L’esponenziale a meno infinito tende a zero.
• Risultato: $0$.

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Livello Molto Avanzato (Logaritmi e Radici)

Esercizio 7: Logaritmo di funzione fratta

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \ln\left( \frac{1}{x} \right)$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Argomento: Per $x \to +\infty$, la frazione $\frac{1}{x} \to 0^+$.
• Limite Esterno: L’esercizio diventa $\lim_{t \to 0^+} \ln(t)$.
• Regola: Il logaritmo naturale tende a $-\infty$ quando l’argomento tende a $0$ da destra.
• Risultato: $-\infty$.

Esercizio 8: Composizione Logaritmo e Radice

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{\sqrt{4-x}}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Radicando: Per $x \to 4^-$, $4 – x \to 0^+$.
• Radice: $\sqrt{0^+} \to 0^+$.
• Frazione: $\frac{2}{0^+}$.
• Risultato: $+\infty$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Somme e Prodotti “Tosti”)

Esercizio 9: Somma di Infiniti (Non Indeterminata)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0^+} (\ln x – \frac{1}{x})$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Analisi Primo Termine: $\ln(0^+) = -\infty$.
• Analisi Secondo Termine: $\frac{1}{0^+} = +\infty$. C’è un meno davanti: $-\infty$.
• Somma: $(-\infty) + (-\infty)$. Questa NON è una forma indeterminata. Due quantità che vanno entrambe a $-\infty$ si sommano.
• Risultato: $-\infty$.

Esercizio 10: Esponenziale e Logaritmo Misti

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} 3^{\ln x}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Esponente: Per $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$.
• Base: La base è $3 > 1$.
• Limite: $3^{+\infty} = +\infty$.
• (Nota: Se la base fosse stata $1/3$, il risultato sarebbe stato $0$).

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