Il rischio in finanza non è uniforme: possiamo infatti suddividerlo in due categorie principali.
Da un lato troviamo il rischio non sistematico (o specifico), che può essere eliminato con una buona diversificazione
Dall’altro abbiamo il rischio sistematico (o di mercato), che non può essere eliminato.
Questo articolo esplora come si misura il rischio sistematico e come la sua trattazione matematica si espande da un singolo titolo a un portafoglio complesso.
Il rischio sistematico di un titolo è la parte di rischio che deriva dalla sua sensibilità ai movimenti dell’intero mercato. Non è legato a specifici eventi aziendali, ma a fattori macroeconomici come i tassi di interesse o le crisi economiche.
La misura di questo rischio per un singolo titolo ($i$) è il prodotto del suo beta ($\beta_i$) e della deviazione standard del mercato ($\sigma_m$):
$$ \text{Rischio Sistematico} = \beta_i \times \sigma_m $$
Questa relazione è strettamente collegata alla scomposizione del rischio totale di un titolo. Possiamo suddividere la deviazione standard di un titolo ($\sigma_i$) in una componente sistematica e una non sistematica, evidenziando il ruolo del coefficiente di correlazione ($\rho_{i,m}$):
$$ \sigma_i = {\text{Rischio Sistematico}} + {\text{Rischio Non Sistematico}} $$
$$ \sigma_i = \underbrace{|\rho_{i,m}| \times \sigma_i}+ \underbrace{\sqrt{1-\rho_{i,m}^2} \times \sigma_i} $$
Da questa scomposizione si può ricavare la relazione fondamentale tra beta e correlazione: $\beta_i \times \sigma_m = \sigma_i \times \rho{i,m}$.
Per identificare il rischio sistematico e specifico, è preferibile lavorare sulla scomposizione della varianza del titolo.
INDICE
L’analisi della Varianza
Questa analisi appena vista sul rischio del titolo può essere ampliata analizzando la varianza.
La varianza totale del titolo ($\sigma_i^2$) può essere scomposta nella somma della varianza sistematica e della varianza non sistematica (o residua):
$$ \sigma_i^2=\sigma_{i,sist}^2+\sigma_{i,non-sist}^2 $$
La varianza sistematica è la porzione di varianza totale spiegata dai movimenti del mercato ed è data dal prodotto della varianza del titolo per il quadrato del coefficiente di correlazione. La varianza non sistematica è la parte residua della varianza totale. Le formule sono le seguenti:
Varianza Sistematica:
$$ \sigma_{i,sist}^2=\rho_{i,m}^2 \times \sigma_i^2 $$
Varianza Non Sistematica:
$$ \sigma_{i,non-sist}^2=(1-\rho_{i,m}^2) \times \sigma_i^2 $$
Questo aspetto della varianza non sistematica può essere inteso anche come la somma dei quadrati degli errori (in inglese, Sum of Squared Errors – SSE) in un modello di regressione lineare. La formula del rischio sistematico è basata sul Capital Asset-Pricing Model (CAPM), che modella il rendimento di un titolo come una funzione lineare del rendimento del mercato. Il rischio specifico, infatti, è rappresentato dal termine di errore, o residuo, dell’equazione. La sua varianza è calcolata proprio a partire da questi residui, che catturano tutti i movimenti del rendimento del titolo non spiegati dal mercato.
Espansione a un Portafoglio con un Mercato di Riferimento
Analizziamo ora un portafoglio composto da due titoli (A e B) con quote ($w_A,w_B$) e un solo mercato di riferimento. Il rischio totale del portafoglio ($\sigma_P^2$) si scompone in:
$$ \sigma_P^2=\text{Varianza Sistemica}+\text{Varianza Non Sistemica} $$
La varianza sistematica del portafoglio dipende dal beta del portafoglio ($\beta_P$). Questa è la media ponderata dei beta dei singoli titoli, e dalla varianza del mercato ($\sigma_m^2$).
$$ \beta_P = w_A\beta_A+w_B\beta_B $$
$$ \text{Varianza Sistematica} = \beta_P^2\sigma_m^2 $$
La varianza non sistematica del portafoglio è una media ponderata delle varianze non sistematiche dei singoli titoli, e può essere ridotta tramite la diversificazione:
$$ \text{Varianza Non Sistemica} = w_A^2\sigma_{\epsilon A}^2+w_B^2\sigma_{\epsilon B}^2 $$
Un Solo Titolo e Più Mercati
Se consideriamo un singolo titolo esposto a due mercati (1 e 2), il suo rischio totale deve tenere conto dell’esposizione a entrambi i mercati e della loro interazione. La varianza totale del titolo A ($\sigma_A^2$) è:
$$ \sigma_A^2 = {\text{Rischio Sistematico}} +{\text{Rischio Non Sistematico}} $$
$$ \sigma_A^2 = \underbrace{\beta_{A,1}^2\sigma_{m1}^2+\beta_{A,2}^2\sigma_{m2}^2+2\beta_{A,1}\beta_{A,2}\text{Cov}(R_{m1},R_{m2})}+ \underbrace{\sigma{\epsilon A}^2}$$
In questa formula, che scompone il rischio di un singolo titolo esposto a più fattori di mercato, le variabili in gioco sono le seguenti:
$\sigma_A^2$: Rappresenta la varianza totale del titolo A. È una misura del rischio complessivo del titolo, cioè quanto il suo rendimento tende a discostarsi dalla media.
$\beta{A,1}$ e $\beta_{A,2}$: Questi sono i beta del titolo A. Misurano la sensibilità del rendimento del titolo A ai movimenti dei rispettivi mercati di riferimento.
$\beta_{A,1}$ è il beta rispetto al Mercato 1
$\beta_{A,2}$ è il beta rispetto al Mercato 2.
Un beta elevato indica che il titolo tende a muoversi molto in risposta ai movimenti del mercato.
$\sigma_{m1}^2$ e $\sigma_{m2}^2$: Rappresentano le varianze dei mercati 1 e 2. Misurano il rischio complessivo di ogni mercato considerato come fattore di rischio.
$\text{Cov}(R_{m1},R_{m2})$: Questa è la covarianza tra i rendimenti del Mercato 1 e del Mercato 2. Questo termine è fondamentale perché cattura la relazione tra i due mercati, cioè come si muovono l’uno rispetto all’altro. Se si muovono insieme, la covarianza sarà positiva; se si muovono in direzioni opposte, sarà negativa.
$\sigma_{\epsilon A}^2$: Questa è la varianza non sistematica (o specifica) del titolo A. Rappresenta la porzione di rischio del titolo che non è correlata ai mercati e che può essere eliminata tramite la diversificazione.
Due Titoli e Due Mercati
Con un portafoglio composto da due titoli (A e B) e due mercati di riferimento, il rischio totale del portafoglio si scompone in modo più complesso.
Il rischio totale si basa su un’espressione per la varianza sistemica del portafoglio e una per la varianza non sistemica.
La varianza sistematica del portafoglio dipende dai beta del portafoglio rispetto a ciascun mercato e dalla covarianza tra i mercati stessi.
I beta del portafoglio sono:
$$ \beta_{P,1} = w_A\beta_{A,1} + w_B\beta_{B,1} $$
$$ \beta_{P,2} = w_A\beta_{A,2} + w_B\beta_{B,2} $$
La varianza sistematica del portafoglio è:
$$ \beta_{P,1}^2\sigma_{m1}^2+\beta_{P,2}^2\sigma_{m2}^2+2\beta_{P,1}\beta_{P,2}\text{Cov}(R_{m1},R_{m2}) $$
La varianza non sistematica (specifica) del portafoglio continua a essere la somma ponderata delle varianze non sistematiche dei singoli titoli, poiché si assume che non siano correlate tra loro:
$$ w_A^2\sigma_{\epsilon A}^2+w_B^2\sigma_{\epsilon B}^2 $$
La formula finale della varianza del portafoglio diventa la somma di queste due componenti.
La Generalizzazione con le Sommatorie
Quando si espande l’analisi a un portafoglio di $n$ titoli esposto a $k$ mercati, la formulazione generale si esprime al meglio attraverso le sommatorie e, in modo ancora più compatto, con l’algebra lineare.
La varianza totale del portafoglio ($\sigma_P^2$) si scompone in:
$$ \sigma_P^2=\sigma_{P,sist}^2+\sigma_{P,non-sist}^2 $$
Varianza Sistemica:
$$ \sigma_{P,sist}^2=\sum_{j=1}^{k}\sum_{l=1}^{k}\beta_{P,j}\beta_{P,l}\text{Cov}(R_{mj},R_{ml}) $$
Qui, il beta del portafoglio rispetto al mercato $j$ è dato da $\beta_{P,j}=\sum_{i=1}^{n}w_i\beta_{i,j}$.
Varianza Specifica
$$ \sigma_{P,non-sist}^2=\sum_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_{\epsilon i}^2 $$
Rischio Sistematico e Specifico con Vettori e Matrici
La notazione matriciale rende queste formule più compatte e adatte all’analisi quantitativa e all’elaborazione computazionale.
I vettori
I vettori sono usati per rappresentare in modo efficiente serie di dati.
Vettore dei pesi (${w}$): un vettore colonna di dimensione $n \times 1$ che contiene le quote di investimento ($w_i$) in ciascun titolo del portafoglio. $$ {w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix} $$
Vettore dei beta di portafoglio (${\beta_P}$): un vettore colonna di dimensione $k \times 1$ in un modello a $k$ fattori, i cui elementi rappresentano il beta del portafoglio rispetto a ciascun mercato. $$ {\beta_P} = \begin{pmatrix} \beta_{P,1} \\ \beta_{P,2} \\ \vdots \\ \beta_{P,k} \end{pmatrix}$$
Le Matrici
Le matrici sono usate per descrivere le relazioni tra i dati.
Matrice di varianza e covarianza dei titoli (${\Sigma}$): una matrice quadrata $n \times n$. Contiene le varianze dei singoli titoli sulla diagonale principale e le covarianze tra le coppie di titoli fuori dalla diagonale.
$$ {\Sigma} = \begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1n} \\
\sigma_{21} & \sigma_2^2 & \cdots & \sigma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_n^2
\end{pmatrix} $$
Matrice dei beta (${\beta}$): una matrice di dimensione $n \times k$. Ogni elemento $\beta_{ij}$ rappresenta la sensibilità del rendimento del titolo $i$ al mercato $j$. Le righe corrispondono ai titoli, le colonne ai mercati.
$$ {\beta} = \begin{pmatrix}
\beta_{11} & \beta_{12} & \cdots & \beta_{1k} \\
\beta_{21} & \beta_{22} & \cdots & \beta_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\beta_{n1} & \beta_{n2} & \cdots & \beta_{nk}
\end{pmatrix} $$
Matrice di varianza e covarianza dei mercati (${\Omega}$): una matrice quadrata $k \times k$. Contiene le varianze dei $k$ mercati sulla diagonale e le covarianze tra i mercati fuori dalla diagonale.
$$ {\Omega} = \begin{pmatrix}
\sigma_{m1}^2 & \text{Cov}(R_{m1},R_{m2}) & \cdots & \text{Cov}(R_{m1},R_{mk}) \\
\text{Cov}(R_{m2},R_{m1}) & \sigma_{m2}^2 & \cdots & \text{Cov}(R_{m2},R_{mk}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\text{Cov}(R_{mk},R_{m1}) & \text{Cov}(R_{mk},R_{m2}) & \cdots & \sigma_{mk}^2
\end{pmatrix} $$
Matrice di varianza non sistematica (${\Psi}$): una matrice diagonale $n \times n$. Gli elementi sulla diagonale principale, $\sigma_{\epsilon i}^2$, sono le varianze specifiche (non sistematiche) di ogni titolo. Tutti gli elementi fuori dalla diagonale sono zero, poiché si assume che i rischi specifici dei titoli non siano correlati tra loro.
$$ {\Psi} = \begin{pmatrix}
\sigma_{\epsilon 1}^2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{\epsilon 2}^2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{\epsilon n}^2
\end{pmatrix} $$
Formule in Notazione Matriciale
La varianza totale del portafoglio è espressa come:
$$ \sigma_P^2 = {w}^T {\Sigma} {w} $$
La scomposizione del rischio è:
$$ \sigma_P^2 = {\text{Rischio Sistematico}} + {\text{Rischio Non Sistematico}} $$
$$ \sigma_P^2 = \underbrace{{w}^T {\beta} {\Omega} {\beta}^T {w}} + \underbrace{{w}^T {\Psi} {w}}$$
Questa formalizzazione compatta mostra come il rischio di un portafoglio diversificato sia principalmente determinato dai rischi e dalle interazioni dei mercati (fattori), e non dai rischi specifici dei singoli titoli.
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