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rendimento e varianza di un portafoglio: immagine

Per calcolare il rendimento e la varianza di un portafoglio dobbiamo tenere presente i rendimenti, i rischi, le correlazioni e le quote dei titoli presenti nel portafoglio.

RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Partiamo dal caso più semplice di portafoglio, ovvero quello che contiene due titoli.

Per calcolare il rendimento del portafoglio usiamo la formula:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo lo del rendimento

Dove:

Mentre per calcolare la varianza possiamo usare la seguente formula:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo della varianza

Ricordando il fatto che la covarianza tra i rendimenti dei titoli è data dal prodotto delle deviazioni standard per la correlazione:

Possiamo riscrivere la formula della deviazione standard del portafoglio nel seguente modo:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo della varianza con le correlazioni

La volatilità del portafoglio, nota meglio come deviazione standard, è la radice quadrata della varianza.

ESEMPIO DI RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Prendiamo in considerazione due titoli con le seguenti caratteristiche:

Sappiamo inoltre che la loro correzione è pari a:

Vogliamo calcolare il rendimento, la varianza e la deviazione standard del portafoglio con le seguenti quote:

Per quanto riguarda il rendimento abbiamo che:

Ovvero:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo del rendimento

Mentre se vogliamo calcolare la varianza del portafoglio usiamo la formula:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula della varianza

Inserendo i dati otteniamo:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo varianza

A questo punto per calcolare la deviazione standard o rischiosità del portafoglio mettiamo sotto radice quadrata la varianza:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo deviazione standard

PORTAFOGLIO CON PIU’ DI DUE TITOLI

Come generalizzare la situazione quando abbiamo a disposizione più di due titoli.

Andiamo a vedere quindi come calcolare il rendimento, la varianza e la volatilità (deviazione standard) di un portafoglio con n titoli.

Il tasso di rendimento del portafoglio è la media dei rendimenti dei titoli ponderata per le quote presenti nel portafoglio.

rendimento e varianza di un portafoglio: formula generale per i rendimenti

Mentre per quanto riguarda la varianza del portafoglio è la media delle varianze ponderata per i quadrati delle quote sommata al doppio del prodotto dei rischi ponderata per le correlazioni e le quote.

rendimento e varianza di un portafoglio: formula generale della varianza

Consideriamo un portafoglio con tre titoli di cui riportiamo le caratteristiche:

rendimento e varianza di un portafoglio: dati di partenza

Le correlazioni tra i tre titoli sono inoltre:

rendimento e varianza di un portafoglio: dati sulle correlazioni

Calcoliamo in primo luogo il tasso di rendimento del portafoglio:

In secondo luogo passiamo alla varianza:


Da cui possiamo facilmente calcolare la deviazione standard o il rischio del titolo, facendo la radice quadrata:

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RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON LE MATRICI

Le matrici offrono un modo certamente singolare per affrontare la questione delrendimento e della varianza di un portafoglio.

RENDIMENTO DI UN PORTAFOGLIO

Per calcolare il rendimento di un portafoglio ci servono il vettore dei rendimenti e il vettore delle quote di portafoglio:

rendimento e varianza di un portafoglio: vettori rendimento e quote

Se andiamo a fare il prodotto scalare tra questi due vettori (riga per colonna) otteniamo proprio il rendimento del portafoglio.

Da notare che se i due vettori sono scritti in riga per rappresentare il primo vettore in riga dobbiamo fare il trasposto:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula del rendimento con le matrici

In questo caso non importa l’ordine con cui facciamo il prodotto.

L’importante è che il primo sia scritto in riga, mentre il secondo in colonna.

rendimento e varianza di un portafoglio: formula rendimento con matrici

Per un rapido ripasso sulle operazioni tra matrici scopri l’articolo correlato.

Per una più ampia visione dell’argomento algebra lineare scopri il corso.

VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UN PORTAFOGLIO

Quando vogliamo calcolare la varianza le cose si fanno un po’ più complicate in quanto dobbiamo utilizzare delle matrici.

La matrice che ci serve per tale opera è quella delle varianze e delle covarianze.

rendimento e varianza di un portafoglio: matrice delle varianze (simmetrica)

Oltre che il vettore delle quote:

Per ottenere la varianza di un portafoglio andiamo a moltiplicare il vettore trasposto delle quote per la matrice Q delle varianze e covarianze per il vettore delle quote:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula della varianza con le matrici

MATRICE DELLE VARIANZE

La matrice delle varianze viene calcolata a partire dai rendimenti storici dei titoli:

rendimento e varianza di un portafoglio: varianza a matrice dei rendimenti storici

Oppure anche come:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula alternativa con le matrici dei dati storici

Tale matrice delle varianze è inoltre collegata alla matrice delle correlazioni, mediante la matrice degli scarti dei titoli.

Se P è la matrice delle correlazioni:

rendimento e varianza di un portafoglio: matrice delle correlazioni

E la matrice S è quella degli scarti o deviazioni standard dei titoli (scritti sulla diagonale principale):

rendimento e varianza di un portafoglio: matrice degli scarti

Allora è possibile scrivere la matrice delle varianze Q come:

rendimento e varianza di un portafoglio: matrice delle varianze e covarianze

Da cui possiamo anche ricavare la matrice P delle correlazioni come:

Sviluppando la formula della varianza del portafoglio vista in precedenza:

 la possiamo riscrivere anche così:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo della varianza con la matrice delle correlazioni

ESEMPIO DEL CALCOLO DEL RENDIMENTO DELLA VARIANZA CON LE MATRICI

Consideriamo il portafoglio di tre titoli visto in precedenza.

Riportiamone ancora una colta tutte le caratteristiche:

rendimento e varianza di un portafoglio: dati di un portafoglio con tre titoli

Sapevamo inoltre che le correlazioni erano:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo del rendimento con le matrici

Da cui possiamo scrivere i vettori dei rendimenti e delle quote.

Il tasso di rendimento del portafoglio può dunque essere calcolato come:

Passiamo ora alla volatilità (rischio) del portafoglio.

In questo caso ci servono le seguenti matrici:

  •  x: vettore quote
  • S: matrice degli scarti
  • P: matrice delle correlazioni
rendimento e varianza di un portafoglio: vettore quote, matrice scarti e matrice di correlazione

per calcolare la varianza del portafoglio usiamo la formula:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo varianza con matrice di correlazione

Ovviamente la deviazione standard o il rischio del titolo è la radice quadrata della varianza

rendimento e varianza di un portafoglio: Calcolo deviazione standard

CALCOLI DEL RENDIMENTO E DELLA VARIANZA DI PORTAFOGLIO CON EXCEL

Un modo certamente indolore per calcolare rendimento, varianza e rischio è quello di utilizzare Excel.

Ammesso che tutti i vettori siamo scritti in colonna il calcolo del rendimento di portafoglioè:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula excel per il calcolo del rendimento

Ricordiamoci di fare Ctrl + Shift + Invio al termine dell’operazione.

rendimento e varianza di un portafoglio: immagine con formula di excel per il calcolo del rendimento

Se vogliamo invece calcolare la varianza, dopo aver costruito le matrici dei rischi e delle correlazioni possiamo prima calcolare la matrice delle varianze.

Ricordiamo la formula:

rendimento e varianza di un portafoglio: formula per la matrice delle varianze e covarianze

Dove:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo in excel per la matrice delle varianze e covarianze

Ricordiamoci sempre il  Ctrl + Shift + Invio al termine dell’operazione.

Nel nostro caso la matrice Q risulta:

Una volta che abbiamo trovato la matrice Q delle varianze e covarianze possiamo andare a calcolare la varianza del portafoglio mediante la formula:

In Excel inseriamo dunque:

rendimento e varianza di un portafoglio: calcolo in excel con le matrici per la varianza

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